CONTABILOMETRIA
EAC-303
Professor
Antonio Carlos Coelho
Modelo de inferência
estatística
Passos na Construção de um
Modelo Estatístico
Especificar um modelo estatístico:
fórmula e premissas
Estimar os parâmetros do modelo a
partir dos dados amostrais
Examinar os resíduos e testar a
adequação do modelo
Se o modelo
não for
aprovado
Usar o modelo para seu propósito
pretendido
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Modelo de Regressão
tipos e técnicas
Regressão
TIPOS
LINEAR
Simples Uma variável independente
Múltipla Duas ou mais variáveis
NÃO-LINEAR
 Curvilínea
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Regressão Linear
Objetivos
Encontrar uma equação matemática
que permita
 Descrever e compreender a relação
entre 2 ou mais variáveis aleatórias
 Projetar ou estimar uma nova
observação
Ajustar uma reta a partir dos dados
amostrais
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Regressão Linear
Utilidades
•
•
•
•
Busca de relações de Causa e Efeito
Predição de valores
Economia em custos de projeção
Estabelecer explanação sobre uma
população a partir de uma amostra
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Regressão Linear Simples
Na análise de regressão linear simples buscase encontrar a equação de uma reta que permita
 Descrever e compreender a relação entre duas
variáveis
 Projetar e estimar uma das variáveis em
função da outra.
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Regressão Linear Simples
Supondo uma variável X denominada de
independente e uma variável Y, a qual
chamada de dependente (de X),
diremos que
Y = f(X)
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Regressão Linear Simples
Dado um conjunto de valores observados
de x e y, construímos um modelo de
regressão linear de y sobre x, baseado
numa equação de uma reta do tipo:
ýi = a + bxi
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Função Linear
• f(x) se modifica a uma taxa constante em
relação à sua variável independente
• Gráfico da função linear: reta
y
• Em termos algébricos:
– f(x) = b.x + a
– a e b são constantes
– b: coeficiente angular
– a: coeficiente linear
x
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Coeficiente Angular (b) e Linear (a)
y
(x2,y2)
b = tg 
y2-y1 = ∆ y
(x1,y1)
x2-x1 = ∆ x
x
variação de y
b = variação de x
a → intersecção da reta com o eixo y
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Exercício
Determine o coeficiente angular e a interseção da
reta 3y + 2x = 6 com o eixo dos y. Construa o
respectivo gráfico.
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Formas de Equação da Reta
• Forma Inclinação-Intersecção:
• y = b.x + a
– Inclinação: m (coeficiente angular)
– Intersecção com o eixo dos y é (0,b)
• Forma Ponto-Inclinação:
• y – y0 = b (x – x0)
– Passa pelo ponto (x0,y0)
– Inclinação: b (coeficiente angular)
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Equação da Reta
ýi = a + bxi
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A Reta de Regressão
• Equação: ý = a + bx
• b = declividade da reta: define o aumento ou diminuição da variável y
por unidade de variação de x
• a = intercepto em y: define o valor médio de y com x=0, isto é, sem a
interferência de x
• Nesse modelo se verifica que:
–
–
–
–
para um valor xi podem existir um ou mais valores de yi amostrados
para esse mesmo valor xi haverá um valor projetado ý
para cada valor xi existirá um dado desvio di dos valores de ý
sempre haverá observações que não são pontos da reta.
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Método dos Mínimos Quadrados
Cálculo de a (coeficiente linear) e
b (coeficiente angular).
Considera as seguintes condições:
1. Somatória de todos os desvios verticais dos
pontos em relação a reta é zero.
2. A soma do quadrado destes desvios é
mínima.
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Desvio do valor projetado
yi
di = yi - ýc
ý = a + bx
ýc
xi
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Onde: Di = (Yi – Yc)
 Di = 0
(Di)2 é mínimo
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Diferenciação – O que é?
• É uma técnica matemática de excepcional
força e versatilidade;
• Derivada de uma função: exprime o
coeficiente angular da tangente à curva f(x)
em função de um ponto x de tangência
• Possui grande variedade de aplicações:
– Traçado de curvas
– Otimização de Funções
– Análise de Taxas de Variação
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Taxa de Variação
• Função Linear:
• Função Não Linear:
f(x)
f(x)
Taxa
constante
Taxa
variável
x
x
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Problemas de Otimização
• Exemplo: Lucro em função do Preço
• P(x) = 400(15-x)(x-2)
P(x)(lucro)
Coeficiente angular
= zero
Coeficiente
angular
positivo
Coeficiente
angular
negativo
x (preço)
2
15
22
Técnicas de Diferenciação
Função
Derivada da Função
constante (c)
0
[c.f]
c.f'
n
n-1
x
n.x
x
1
[f±g]
f' + g'
[f.g]
f'.g + f.g'
[f/g]
f'.g - f.g'
2
g
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Regra da Cadeia - Potências
• Seja y em função de u: f(u) = un
• Seja u em função de x: u(x)
dy dy du
n 1 du

 n  f (u )  .
dx du dx
dx
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Regra da Cadeia – Exemplo
• Calcule f(x) , sendo:
f ( x)  (2 x3  3)2
• Nesse caso, a função f(x) pode ser derivada
de três modos distintos:
– Desenvolver a fatoração e aplicar a regra da soma
– Aplicar a regra do produto
– Aplicar a regra da cadeia para potências:
f '( x)  2(2 x  3)(6 x )  12 x (2 x  3)
• Terceira opção: possibilita uma derivação mais
simples e um resultado fatorado!
3
2
2
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Regressão Linear Simples
• Calculando os coeficientes a e b
a=
 y  b x
n
b=
( x).( y)
 xy 
n
2
(
x
)

2
x  n
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Regressão Linear Simples
• Calculando a e b por medidas estatísticas
a = y - bx
Cov (x,y)
b=
Var (x)
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Regressão Linear Simples
• Calculando a e b por medidas estatísticas
b
Cov  x, y 
Var  x 
rxy X  Y
Y


r
xy
2
X
X
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Regressão Linear Simples
a e b servem como estimativas dos dois
parâmetros populacionais correspondentes a A
e B, sendo a equação
ýc = a + bx
uma estimativa da relação populacional
y = A + Bx + e
onde e representa a dispersão na população.
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Regressão Linear Simples
Distribuição Condicional
A análise de regressão supõe que, para
cada valor de x, há uma distribuição de
y’s potenciais que segue a lei normal.
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Regressão Linear Simples
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Regressão Linear Simples
Hipóteses
* Existem dados de mensurações tanto
para x quanto para y.
* A variável independente é aleatória.
* Para cada valor de x há uma distribuição
condicional de y’s que é normal.
* Os desvios padrões de todas as
distribuições condicionais são iguais.
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