Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Teste de MATEMÁTICA A 12.º Ano
Duração: 90 minutos
Classificação
Fevereiro/ 2013
____________
Nome ________________________ Nº ___ T: __
O Prof.__________________
(Luís Abreu)
1ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe são
apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo
acontecendo em caso de resposta ambígua.
1. De quantas maneiras distintas x rapazes e y raparigas se podem colocar em fila, de maneira a que
e y )
as raparigas fiquem sempre juntas? ( x 
(A) ( x  1)!  y !
(B) x ! 
 y  1!
2. Considere as funções f e g, de domínio
(C) x !  y !
(D) x ! 
 y  1!
,definidas por f ( x)  ex e g ( x)   x .
Qual é o conjunto solução da inequação f ( x)  g ( x)  0 ?
(A)
(B)

(C)

(D)
3. Na figura está representada parte da representação gráfica de
\ 1 . As retas de equações
uma função h, cujo domínio é
x  1 e y  x são assintotas do gráfico de h.
 n 1 
 , com n  .
 n 
Seja  xn  a sucessão tal que xn  1  ln 

y
h
-1
o
Qual é o valor de lim h  xn  ?
4. A expressão simplificada de log a
(A)
1
2
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(C) 
(B) 
(A) 0
(B) 
1
2


ln a e , com a 
(C) loga e
(D) 1
\ 1 é:
(D) nenhuma das anteriores
x
5. Na figura abaixo está parte da representação gráfica da função m, de domínio

, definida por:
m( x)  log3 x .
y
C
D
A
o
B
a
3a
x
m
Os pontos A e C, que pertencem ao gráfico da função m, são vértices de um retângulo  ABCD , de
lados paralelos aos eixos do referencial.
As abcissas de A e C são a e 3a, respetivamente, sendo a um número real positivo.
Qual a expressão que dá a área do retângulo  ABCD em função de a?
(A) a
(C) 2a  log3 (2a)
(B) 2a
(D) log3 (6a)
2ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efectuados e as justificações necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto.
1. Considere as funções f e g definidas por:
f ( x)  log 2  x 2  x   log 2  x 
e
g ( x)  e2 x  ex  7
Recorrendo a processos exclusivamente analíticos resolva as seguintes alíneas.
1.1. Determine os valores de x tais que g ( x)  f (3)
1.2. Determine o conjunto dos números reais que são soluções da inequação f ( x) 
g (0)
.
5
Apresente o conjunto-solução na forma de intervalo de números reais.
1.3. Caracterize a função f 1 , função inversa de f.
2. Um lago está contaminado por uma colónia de bactérias. Desde o momento em que a colónia foi
detetada, o número de bactérias cresceu segundo a lei:
t
N (T )  104  log e  2 4 , t  0, com t em dias
Sem recorrer à calculadora, a não ser efetuar eventuais cálculos numéricos, resolva as alíneas
seguintes.
2.1. Qual o número de bactérias da colónia uma semana após ter sido detetada?
Apresente o resultado aproximado às unidades.
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2.2. Quantos dias demora a colónia de bactérias a triplicar o seu número inicial?
Apresente o resultado em dias e horas, horas arredondadas às unidades.
2.3. Verifique que para qualquer valor de t, existe um valor constante k, tal que
N (t  1)  k  N (t )
Determine o valor da constante k, aproximado às centésimas, e interprete esse valor no
contexto da situação descrita.
3. Considere as funções f e g, representadas no referencial da figura, e a função h definida por:
y
2 x  2
se x  1

 x  1
h( x )   4
se x  1
 x3  1

se x  1
 x  1
f
2
o
3
x
g
Determine, caso exita, o valor de:
3.1. lim
x 3
f ( x)
g ( x)
3.2. lim h( x)
3.3. lim h( x )
x 
x 1
4. Sete automóveis diferentes estão estacionados num parque de estacionamento de dez lugares que
tem o seguinte aspeto.
4.1. Quantas são as maneiras possíveis de estacionar os sete automóveis no parque, sabendo que
dois deles têm lugar marcado?
4.2. O João, um oitavo automobilista, pretende estacionar de modo a que o seu automóvel não
tenha automóveis ao lado. Suponha que todos os automóveis são estacionados ao acaso,
qual a probabilidade da vontade do João ser satisfeita?
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.
Fim
Cotações:
1ª Parte
2ª Parte
Questões
10 pontos cada
questão. Total :
1.1
1.2.
1.3.
2.1.
2.2.
2.3.
3.1
3.2.
3.3.
4.1.
4.2.
Total
Pontos
50
15
15
15
10
15
15
10
15
15
10
15
200
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Formulário
Comprimento de um arco de circunferência
 .r (  amplitude,
em radianos, do ângulo ao
 u  v   u  v '
centro; r – raio)
Áreas de figuras planas
Losango:
Diagonal maior  Diagonal menor
2
Trapézio:
Regras de Derivação
Base maior  Base menor
 Altura
2
u×v   u×v  u×v
 u  u×v  u×v
  
v
v2
Polígono regular: Semiperímetro  Apótema
(u n )  n×u n1×u
r2
 sen u   u× cos u
Sector circular:
2
(α – amplitude, em radianos,
 cos u   u× sen u
do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone:
tg u  
 rg
(r – raio da base; g – geratriz)
Área de uma superfície esférica:
(r – raio)
4 r
2
Volumes
Pirâmide:
1
 Área da base  Altura
3
1
Cone:  Área da base  Altura
3
Esfera:
4 3
r
3
(n  )
u
cos2 u
 eu   u×eu
(au )  u×au × ln a
u
 ln u  
u
u
(log a u ) 
u× ln a
(a 

(a 

Limites notáveis
(r – raio)
n
Trigonometria
sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a
cos (a + b) = cos a .cos b − sen a. sen b
tga  tgb
tg (a + b) =
1  tga.tgb
Complexos
(  cis  )   cis (n. )
n  cis   n  cis   2k , k  0,...,n-1
n
n
n
Probabilidades
 1
lim  1    e
 n
sen x
1
x 0 x
lim
ex 1
1
x 0 x
lim
ln( x  1)
1
x 0
x
lim
  x1 p1  ...  xn pn
  ( x1   ) 2 p1  ...  ( xn   ) 2 pn
Se X é
lim
x
N(μ,σ) , então:
P(     X     )  0,6827
P(   2  X    2 )  0,9545
P(   3  X    3 )  0,9973
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lim
x 
ln x
0
x
ex
xp
 
(p  )
\{1})
\{1})
Soluções
1.ª Parte
1 2 3 4 5
A B C B B
2.ª Parte
1.1. x=ln2 1.2. x  3 1.3. f 1 ( x)  1  2x e D f 1 
2.1. 14608 2.2. 6 dias e 8 horas 2.3. k=1.19 O acréscimo do número de bactérias entre dois
dias consecutivos é de 0,19.
3.1. não existe 3.2. não existe 3.3. não existe
4.1. 8 A5  6720
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4.2.
2  8 A7  8  7! 1

10
A8
15