Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Teste de MATEMÁTICA A 12º Ano
Duração: 90 minutos
Classificação
Março/ 2013
____________
Nome ________________________ Nº ___ T: __
O Prof.__________________
(Luís Abreu)
1ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, selecione a resposta correta de entre as alternativas que lhe são
apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo
acontecendo em caso de resposta ambígua.
1. O João comprou 6 livros todos diferentes, sendo 2 deles policiais e os restantes romances.
Pretende oferecer esses livros à Sofia e à Anabela, de modo que:
 Cada uma delas fique com mesmo número de livros;
 A Sofia fique exatamente com dois romances;
De quantas maneiras diferentes o poderá fazer?
(A) 4C2  2C1
(B) 4C2  2C1

(C) 2  4C2  2C1

(D) 6C2  4C1
2. De duas funções m e n sabe-se que m( x  y )  m( x)  m( y ) e n( x  y)  n( x)  n( y) , para
quaisquer dois números reais positivos x e y.
Quais das seguintes expressões podem representar as expressões analíticas de m e n?
(A) m( x)  ex e n( x)  ln x
(B) m( x)  ln x e n( x)  e x
(C) m( x)  x2 e n( x) 
(D) m( x)  x e n( x)  x2
x
3. Seja g uma função de domínio  .
Sabe-se que a reta de equação y  6 x  1 é assintota do gráfico de g.
 x

  g ( x)  6 x   ?
 g ( x)

Qual o valor de lim 
x 
(A) 6
(B) 
1
6
(D) 
(C) 0
4. Sejam a, b, c e d quatro números reais, tais que a 

\ 1 e b e c 

.
 
Sabe-se que log a b3  c e c  a d .
Indique qual das expressões seguintes é igual a log a bc
c2 d
(A)

6 2
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(B) c  d
(C)
c d

6 2
(D)
c
d
6
5. Na figura está parte da representação gráfica de uma função f, de domínio
.
y
1
f
o
x
Tal como a figura sugere, a reta de equação y  1 é uma assintota do gráfico de f. Seja w a função,
de domínio
\ 0 , definida por: w( x)  log  f ( x)
Numa das opções seguintes está parte da representação gráfica da função w.
Em qual delas?
(A)
(B)
y
y
(C)
o
o
x
x
y
o
(D)
x
y
o
x
2ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efetuados e as justificações necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exato.
1. Considere a função h, de domínio
, definida por:
 5x2  5
se x  0

h( x )   x 2  2 x  1
2 x  ln x  e1 x se x  0

Recorrendo a processos exclusivamente analíticos resolva as quatro alíneas seguintes.
1.1. Estude a função h quanto à continuidade.
1.2. Estude a função h quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.
Indique uma equação para cada uma das assíntotas encontradas.
1.3. Mostre que o gráfico da função h interseta a bissetriz dos quadrantes pares no intervalo
1 
 2 , 2  .
1.4. Calcule a taxa média de variação da função h, no intervalo 1, e . Apresente o resultado
aproximado às centésimas.
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1.5. Na figura está representada, em referencial o.n. xOy ,
y
parte do gráfico da função h.

O retângulo
 ABCD
B
h
C
tem dois vértices no eixo
Ox , estando os outros dois no gráfico de h.
O ponto A tem abcissa 3 .

Determine, com aproximação às centésimas, a área do
o
A
D
x
retângulo  ABCD .
Nota: Na resolução deste problema vai necessitar determinar
a abcissa do ponto C. Para tal, utilize as capacidades gráficas
da sua calculadora e apresente o valor aproximado às centésimas.
2. Um para quedista salta de um avião. Ao fim de seis segundos, o paraquedas abre.
Um minuto depois de ter saltado, o paraquedista atinge o solo.
Admita que a velocidade do paraquedista, medida em metros por
segundo, t segundos após ele ter saltado do avião, é dada, para um
certo valor de k, por:
45 1  ekt 
se t  6
v(t )  
1,8 t 6
7  29e   se t  6
Sabendo que a função v é contínua, determine o valor de k.
3. Admita que o número, em dezenas, de membros de uma associação é dado em função do tempo t,
em anos, aproximadamente por:
N (t ) 
30
1  5e0,1t
(t  0)
Sabe-se ainda que a associação foi fundada em 1 de janeiro de 2000.
3.1. Determine N (0) e lim N (t ) . Interprete os valores obtidos no contexto do problema.
x 
3.2. Determine, em que ano e mês, é que o número de membros da associação atingirá os 250
elementos.
4. Seja m uma função, de domínio  , tal que m( x)  0 , para qualquer x 
de equação y  0,5 x é uma assintota do seu gráfico.
Seja w a função de domínio


. Sabe-se que a reta
, definida por:
w( x) 
x2
m( x)
Prove que a reta de equação y  2 x é uma assintota do gráfico de w.
Fim
Cotações:
1ª Parte
2ª Parte
Questões
10 pontos cada
questão. Total :
1.1
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.
3.1
3.2.
4.
Total
Pontos
50
20
25
15
10
15
20
15
15
15
200
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Soluções
1.ª Parte
1 2
A B
3 4 5
B C A
2.ª Parte
1.1. contínua em
\{0} 1.2. x=0 e y=5 1.4. 3,06 1.5. 11,03
1
2. k  5
6
ln
3.1. 5 e 30. Passado muito tempo o número de membros tende para 30 dezenas.
3.2. Em março de 2032
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Formulário
Comprimento de um arco de circunferência
 .r (  amplitude,
em radianos, do ângulo ao
 u  v   u  v '
centro; r – raio)
Áreas de figuras planas
Losango:
Diagonal maior  Diagonal menor
2
Trapézio:
Regras de Derivação
Base maior  Base menor
 Altura
2
u×v   u×v  u×v
 u  u×v  u×v
  
v
v2
Polígono regular: Semiperímetro  Apótema
(u n )  n×u n1×u
r2
 sen u   u× cos u
Sector circular:
2
(α – amplitude, em radianos,
 cos u   u× sen u
do ângulo ao centro; r – raio)
Áreas de superfícies
Área lateral de um cone:
tg u  
 rg
(r – raio da base; g – geratriz)
Área de uma superfície esférica:
(r – raio)
4 r
2
Volumes
Pirâmide:
1
 Área da base  Altura
3
1
Cone:  Área da base  Altura
3
Esfera:
4 3
r
3
(n  )
u
cos2 u
 eu   u×eu
(au )  u×au × ln a
u
 ln u  
u
u
(log a u ) 
u× ln a
(a 

(a 

Limites notáveis
(r – raio)
n
Trigonometria
sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a
cos (a + b) = cos a .cos b − sen a. sen b
tga  tgb
tg (a + b) =
1  tga.tgb
Complexos
(  cis  )   cis (n. )
n  cis   n  cis   2k , k  0,...,n-1
n
n
n
Probabilidades
 1
lim  1    e
 n
sen x
1
x 0 x
lim
ex 1
1
x 0 x
lim
ln( x  1)
1
x 0
x
lim
  x1 p1  ...  xn pn
  ( x1   ) 2 p1  ...  ( xn   ) 2 pn
Se X é
lim
x
N(μ,σ) , então:
P(     X     )  0,6827
P(   2  X    2 )  0,9545
P(   3  X    3 )  0,9973
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lim
x 
ln x
0
x
ex
xp
 
(p  )
\{1})
\{1})