Parte 1 - Cálculo Diferencial em R
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Definição 1. Seja f uma função real de variável real. Define-se por domínio de f ,
comummente denotado por Df , o conjunto de todos os pontos onde f está definida,
e por contradomínio ou imagem, o conjunto das imagens de todos os pontos do
domínio, ou seja, Df′ = {y ∈ R : y = f (x), x ∈ Df }.
1. Para as funções que se seguem, indique o domínio e o contradomínio:
(a) f (x) = x2 ;
(h) f (x) =
√
(b) f (x) = x3 ;
(i) f (x) =
√
(c) f (x) = x2 + 6;
(j) f (x) =
√
3
x + 1;
(q) f (x) = sen (x);
(d) f (x) = 4 − x2 ;
(k) f (x) =
1
;
4 − x2
(r) f (x) = cos (x);
1
;
x
1
;
(f) f (x) =
x+2
√
(g) f (x) = x;
(e) f (x) =
2 − x;
(o) f (x) = ln(x);
x + 1;
(p) f (x) = ln(x − 3);
(l) f (x) = ex ;
(m) f (x) = e−x ;
(n) f (x) = e1/x ;
(s) f (x) = tg(x);
(t) f (x) = cotg(x);
(u) f (x) =
1
.
sen(x)
2. Apresente um esboço para o gráfico de cada uma das funções apresentadas no exercício anterior.
3. Indique o domínio e o contradomínio da função f , admitindo que f definida pela se√
2
guinte regra f (x) = e −x +2x+1 .
4. Localize o vértice da parábola dada por f (x) = 2x2 + 3x − 20.
5. Quais as soluções da equação x2 − 2x + 1 = 0.
6. Considere f (x) = −x2 + x + 2.
(a) Determine todos os valores reais que resolvem a equação f (x) = 0.
(b) Identifique os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(c) Determine a abcissa do vértice da parábola.
(d) Faça o esboço gráfico de f .
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7. Considere f (x) = x2 − 3x − 2.
(a) Determine todos os valores reais que resolvem a equação f (x) = 0.
(b) Identifique os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(c) Determine a abcissa do vértice da parábola.
(d) Faça o esboço gráfico de f .
8. Considere a parábola dada por f (x) = 3x2 + 6x − 45.
(a) Identifique os pontos de interseção com os eixos coordenados.
(b) Indique o sentido da concavidade.
(c) Quantas raízes reais possui a parábola? Justifique a resposta dada.
(d) Determine o vértice da parábola.
(e) Qual o contradomínio de f ?
(f) Faça o esboço gráfico de f .
9. Uma epidemia está a espalhar-se sobre uma região de grande área. Os especialistas
estimam que o número de indivíduos infetados pela doença é dado por uma função
dependente do tempo, medido em relação ao ponto de referência que corresponde ao
momento em que a doença foi detetada. Admite-se assim que a função que exprime o
número de infetados é dada por
n(t) = 0.05t3 + 1.4
onde n representa o número de indivíduos infectados (em centenas) e t é medido em
dias. Deve salientar-se que a validade do modelo é apenas assumida para os primeiros
trinta dias, subsequentes ao momento em que foi detetado o vírus.
(a) Estime o número de indivíduos que se encontram afetados pelo vírus ao fim de
10 dias?
(b) Qual o número de dias que decorrerá após a deteção do vírus, por forma a que
se possa afirmar que 700 indivíduos estão infetados?
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(c) Qual a interpretação que dá ao fator 1.4 que consta na equação do modelo?
10. Sabendo que x = −1 é uma das soluções da equação x3 − x2 − x + 1 = 0, identifique
todas as soluções da equação.
11. Determine todas as soluções reais para as equações que se seguem:
(a) 2x4 − 5x2 + 3 = 0;
(c) x4 + 2x2 + 1 = 0;
(b) x4 − 2x2 + 1 = 0;
(d) x9 − x = 0.
12. Seja
f (x) =
x3 − 2x2 + x
.
x−3
(a) Indique o domínio da função f .
(b) Determine os zeros da função f .
(c) Simplifique a expressão f , procedendo à divisão dos polinómios.
(d) O que pode dizer cerca do comportamento do gráfico quando se consideram valores infinitamente grandes positivos e infinitamente grandes negativos para x?
Definição 2. Uma função f : A → B diz-se:
• par se f (−x) = f (x), para todo o x ∈ A;
• ímpar se f (−x) = −f (x), para todo o x ∈ A.
13. Estude a paridade de cada uma das funções que se seguem:
(a) f (x) = x3 − x;
(b) f (x) = x3 + 4x2 ;
x
(c) f (x) =
;
1 − x2
x2
(d) f (x) =
;
x − x3
x3
(e) f (x) =
;
x − x3
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(f) f (x) =
x2
;
1 − x4
2
(g) f (x) = ex ;
√
1 + x2
;
(h) f (x) =
x2
√
1 + x3
.
(i) f (x) =
x3
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14. Sejam f (x) = 1 + x + x2 e h 6= 0.
(a) f (2 + 1) = f (2) + f (1)?
(b) Determine f (1 + h) e f (x + h).
(c) f (x + h) = f (x) + f (h)?
(d) f (x + h) = f (x) + h?
(e) Determine
f (x + h) − f (x)
. Simplifique o resultado.
h
15. Considere as funções f (x) = x − 1 e g(x) = x2 − 3. Indique a expressão e o domínio
para cada uma das seguintes funções:
(a) (f + g) (x);
(c) (f · g) (x);
(b) (f − g) (x);
(d) (f /g) (x).
16. Determine todos os pontos de interseção dos gráficos das funções f (x) = 3x + 2 e
g(x) = x2 .
17. Sejam f (x) = x + 1 e g(x) = x2 − x. Indique a expressão e o domínio para cada uma
das seguintes funções:
(a) (f ◦ g)(x);
(b) (g ◦ f )(x).
18. Considere as funções f (x) = 8x3 + 1 e g(x) =
1
. Indique a expressão e o domínio para
x
cada uma das seguintes funções:
(a) (f ◦ g)(x);
(b) (g ◦ f )(x).
√
19. Sejam f (x) = 2 x e g(x) = x2 + 4. Indique a expressão e o domínio para cada uma
das seguintes funções:
(a) (g − f ) (x);
(d) (f ◦ g) (x);
(b) (f · g) (x);
(e) (g ◦ f ) (x);
(c) (f /g) (x);
(f) (f ◦ f ) (x).
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Círculo Trigonométrico
Os valores das funções trigonométricas podem igualmente ser obtidos através da análise ao círculo trigonométrico.
Eixo das tangentes
Eixo dos senos
cotg(α)
1
sen(α)
Eixo das co-tangentes
tg(α)
α
0
−1
cos(α)
1
Eixo dos co-senos
−1
Da análise ao círculo trigonométrico é possível inferir as seguintes relações:
• sen(α) =
• cos(α) =
• tg(α) =
cateto oposto
hipotenusa
cateto adjacente
hipotenusa
;
sen(α)
cateto oposto
=
;
cos(α)
cateto adjacente
• cotg(α) =
• sec(α) =
;
1
cos(α)
cateto adjacente
=
=
;
tg(α)
sen(α)
cateto oposto
hipotenusa
1
=
;
cos(α)
cateto adjacente
• cosec(α) =
1
hipotenusa
=
;
sen(α)
cateto oposto
• sen2 (α) + cos2 (α) = 1 (Fórmula fundamental da trigonometria).
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Da fórmula fundamental da trigonometria facilmente se conclui que:
tg2 (α) + 1 = sec2 (α)
e que
1 + cotg2 (α) = cosec2 (α).
Alguns valores que se devem memorizar são os que aparecem na seguinte tabela:
α
0
π/6
sen(α)
0
cos(α)
1
tg(α)
0
cotg(α)
→ +∞
1/2
√
3/2
√
3/3
√
3
função
π/4
√
2/2
√
2/2
1
1
π/3
√
3/2
π/2
1/2
√
3
√
3/3
0
1
→ +∞
0
SENO
A função seno é uma função trigonométrica com domínio R e contradomínio [−1, 1].
O gráfico da função é dado por:
y
1
−2π
−3π
2
−π
−π
2
−1
π
2
π
3π
2
2π
x
20. Mostre que:
(a) sen(−x) = − sen(x), ∀x ∈ R;
(b) sen(2x) = 2 sen(x) cos(x), ∀x ∈ R;
(c) sen2 (x) =
1 − cos(2x)
, ∀x ∈ R;
2
(d) sen(kπ) = 0, ∀k ∈ Z;
(e) sen(
π
± x) = cos(x), ∀x ∈ R;
2
(f) sen(π ± x) = ∓ sen(x), ∀x ∈ R;
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x−y
x+y
sen
, ∀x, y ∈ R;
2
2
x−y
x+y
cos
, ∀x, y ∈ R;
(h) sen(x) − sen(y) = 2 sen
2
2
cos(x − y) − cos(x + y)
(i) sen(x) sen(y) =
, ∀x, y ∈ R;
2
sen(x − y) + sen(x + y)
, ∀x, y ∈ R.
(j) sen(x) cos(y) =
2
(g) sen(x) + sen(y) = 2 cos
CO-SENO
A função co-seno é uma função trigonométrica com domínio R e contradomínio [−1, 1].
O gráfico que carateriza esta função é dado por:
y
1
−2π
−3π
2
−π
−π
2
−1
π
2
π
3π
2
2π
x
21. Mostre que:
(a) cos(−x) = cos(x), ∀x ∈ R;
(b) cos(2x) = cos2 (x) − sen2 (x), ∀x ∈ R;
(c) cos2 (x) =
1 + cos(2x)
, ∀x ∈ R;
2
(d) cos(kπ) = (−1)k , ∀k ∈ Z;
(e) As funções seno e co-seno são funções periódicas com período 2π , ou seja,
sen(x + 2π) = sen(x) e cos(x + 2π) = cos(x), ∀x ∈ R;
(f) cos(
π
± x) = ∓ sen(x), ∀x ∈ R;
2
(g) cos(π ± x) = − cos(x), ∀x ∈ R;
cos(x − y) + cos(x + y)
, ∀x, y ∈ R;
2
x+y
x−y
cos
, ∀x, y ∈ R;
(i) cos(x) + cos(y) = 2 cos
2
2
x−y
x+y
(j) cos(x) − cos(y) = −2 sen
sen
, ∀x, y ∈ R.
2
2
(h) cos(x) cos(y) =
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TANGENTE
A função tangente é uma função trigonométrica que traduz a razão entre o valor do
sen(x)
. Por essa razão, o domínio da função
cos(x)
o
nπ
+ kπ, k ∈ Z e o contradomínio é R.
tangente é dado por R \
2
seno e do co-seno, ou seja, tg(x) =
O gráfico que carateriza a função tangente é o seguinte:
y
−2π
−3π
2
−π
−π
2
π
2
π
3π
2
2π
x
CO-TANGENTE
A função co-tangente é uma função trigonométrica que traduz a razão entre o valor
cos(x)
1
=
. Por conseguinte, o domínio
sen(x)
tg(x)
da função tangente é dado por R \ {kπ, k ∈ Z} e o contradomínio é R.
y
do co-seno e do seno, ou seja, cotg(x) =
−2π
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−3π
2
−π
−π
2
π
2
π
3π
2
2π
x
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22. Determine todos os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem as seguintes equações:
(a) 2 sen2 (x) + 3 cos(x) = 0;
(d) sen(x) cos(x) − sen(x) − cos(x) = −1;
(b) cos2 (x) + cos(x) = 2;
(e) 2 cotg 2 (x) + cosec2 (x) − 2 = 0;
(c) 2 sen2 (x) + sen(x) = 1;
(f) tg(x) + cotg(x) = 2 cosec(2x).
Funções hiperbólicas
As funções hiperbólicas são análogas às funções trigonométricas ou circulares. À
semelhança do círculo unitário, que é gerado pelos pontos (cos(t), sen(t)), os pontos (cosh(t), senh(t)) formam a metade direita da hipérbole equilátera, sendo a parte
esquerda construída com os pontos (− cosh(t), − senh(t)). As funções hiperbólicas tomam valores reais para um argumento real designado por ângulo hiperbólico.
y
senh : R → R
x 7→ senh(x) =
cosh(x)
cosh : R → [1, +∞[
x 7→ cosh(x) =
cotgh(x)
ex − e−x
2
ex + e−x
2
1
sech(x)
tgh(x)
csch(x)
0
x
tgh : R → ]−1, 1[
x 7→ tgh(x) =
senh(x)
e2x − 1
= 2x
cosh(x)
e +1
senh(x)
cotgh : R \ {0} → R \ [−1, 1]
x 7→ cotgh(x) =
sech : R → ]0, 1]
1
x →
7
sech(x) =
cosh(x)
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csch : R \ {0} → R \ {0}
x 7→ csch(x) =
1
tgh(x)
1
senh(x)
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23. Prove que:
(a) senh(−x) = − senh(x);
(e) tgh2 (x) = 1 − sech2 (x);
(b) cosh(−x) = cosh(x);
(f) ex = cosh(x) + senh(x);
(c) cosh2 (x) − senh2 (x) = 1;
(g) e−x = cosh(x) − senh(x);
(d) cosh(2x) = 2 senh(x) + 1;
(h) cotgh 2 (x) = 1 + csch2 (x).
Definição 3. Uma função f : A → B diz-se injetiva sse não existem dois, ou mais,
objetos diferentes com a mesma imagem, ou seja,
f é injetiva se e só se ∀x1 , x2 ∈ A : x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ).
Atendendo a esta definição é óbvio que nenhuma das funções trigonométricas elementares é injetiva. Nestes casos, para obter a função inversa, é necessário considerar
uma restrição ao domínio onde a função seja injetiva.
Definição 4. Uma função f : A → B diz-se sobrejetiva se e somente se todo o ele-
mento do conjunto de chegada, contradomínio, é imagem de, pelo menos, um objecto,
ou seja,
f é sobrejetiva sse ∀y ∈ B, ∃x ∈ A : f (x) = y.
Definição 5. Uma função que é simultaneamente injetiva e sobrejetiva diz-se bije-
tiva.
Apenas é possível garantir a existência de função inversa para uma função injetiva.
24. Utilize o teste da linha horizontal (prova de que a função é injectiva) para mostrar
que:
(a) f (x) = x2 não possui inversa;
(b) f (x) = x3 possui inversa.
25. Prove que a função f (x) = ax é inversa da função g(x) = loga (x), com b, x ∈ R, tais
que b > 0, b 6= 1 e x > 0.
26. Seja f uma função que admite inversa com f (3) = 5. Qual o valor de f −1 (5)?
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27. Obtenha a expressão para a inversa da função f (x) = x + 1 e indique o domínio de
f −1 .
28. Dada a função f (x) =
√
3x − 2, obtenha a expressão para f −1 e indique o domínio da
função obtida. O que pode dizer acerca do contradomínio da função f ?
29. Prove que:
x
(a) A função inversa de f (x) = 2x é f −1 (x) = .
(b) A função inversa de f (x) =
x3
é
f −1 (x)
=
2
√
3
x.
Funções trigonométricas inversas
São as funções inversas das funções trigonométricas, por vezes são designadas por
função de arco, uma vez que fornecem o arco que corresponde à função trigonométrica em causa.
h π πi
, designada por
2 2
Assim, para a função seno escolhe-se a restrição ao domínio, − ,
restrição principal, visto que para esta restrição do domínio da função seno é possível
garantir a bijetividade da função. Portanto, a inversa da função seno, arco-seno,
define-se da seguinte forma:
y
h π πi
− ,
2 2
x →
7
arcsen(x)
sen−1 : [−1, 1] →
π/2
sen(x)
1
−π/2
−1
1
π/2
x
−1
arcsen(x)
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−π/2
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Procedendo da mesma forma para as restantes funções trigonométricas temos que:
• para a função co-seno a restrição ao domínio que se considera é a que corresponde ao intervalo [0, π];
y
π
arccos(x)
cos−1 : [−1, 1] → [0, π]
π/2
x 7→ arccos(x)
1
π/2
−1
π
x
1
−1
cos(x)
• para a função tangente a restrição ao domínio que garante uma função bijetiva
i π πh
;
2 2
é a que é dada pelo intervalo − ,
y
i π πh
− ,
2 2
x →
7
arctg(x)
tg(x)
tg−1 : R →
π
2
arctg(x)
− π2
π
2
x
− π2
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• para a função co-tangente considera-se a restrição ao domínio dada pelo intervalo ]0, π[;
y
cotg(x)
π
arccotg(x)
cotg−1 : R → ]0, π[
x 7→ arccotg(x)
π
2
π
π
2
0
x
• para a função secante a restrição ao domínio que garante uma função bijetiva é
a que é dada pelo intervalo [0, π] \
nπo
2
;
y
sec−1 : R \ ]−1, 1[ → [0, π] \
2
x 7→ arcsec(x)
π
arcsec(x)
nπ o
π
2
1
−1 0
1
π
2
π
x
sec(x)
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• para a função co-secante a restrição ao domínio que garante uma função bijetiva
h π πi
\ {0};
2 2
é a que é dada pelo intervalo − ,
y
h π πi
− ,
\ {0}
2 2
x →
7
arccsc(x)
cosec−1 : R \ ]−1, 1[ →
π
2
1
− π2 −1
arccsc(x)
0
1
π
2
x
−1
− π2
cosec(x)
Algumas das propriedades importantes para as funções trigométricas inversas são:
• arcsec(x) = arccos (1/x);
• arccsc(x) =
π
− arcsec (x);
2
• arccsc(x) = arcsen (1/x);
π
− arcsen (x);
2
π
• arccotg(x) = − arctg (x);
2
• arccos(x) =
• arcsen(−x) = − arcsen (x);
• arccos(−x) = π − arccos (x).
30. Prove as seguintes identidades:
√
1 − x2 ;
√
(b) cos (arcsen(x)) = 1 − x2 ;
1
(c) cos (arctg(x)) = √
;
1 + x2
(a) sen (arccos(x)) =
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(d) tg (arcsen(x)) = √
(e) tg (arccos(x)) =
√
x
;
1 − x2
1 − x2
.
x
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31. Seja f (x) = sen (x + 4) − 2 e g = f −1 . Indique Dg e Dg′ .
32. Para cada uma das funções que se seguem, defina a função inversa:
(a) f (x) = sen (x + 2);
(c) f (x) = cos(x) + 2.
1
(b) f (x) = tg
;
x
1
(d) f (x) = sen
.
x
33. Indique o domínio e o contradomínio das seguintes funções:
(a) f (x) = arctg
√
1 − x2 ;
(b) f (x) = arccotg
√
3 − x2 .
Funções hiperbólicas inversas
As inversas das funções hiperbólicas são funções hiperbólicas de área. Os seus nomesa derivam do facto de fornecerem a área de uma secção da hipérbole unitária
x2 − y 2 = 1, da mesma forma que as funções trigonométricas inversas fornecem o
comprimento de arco de uma secção do círculo unitário x2 + y 2 = 1.
y
senh(x)
senh−1 : R → R
x 7→ argsenh(x)
argsenh(x)
0
x
y
cosh(x)
argcosh(x)
cosh−1 : [1, +∞[ → R+
0
x 7→ argcosh(x)
a
1
0
1
x
Em Portugal usa-se argsenh(x), que se designa por argumento do seno hiperbólico, no entanto, na
notação internacional é comum utilizar-se a designação arsinh(x), como designação de area sinus hy-
perbolicus.
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y
tgh−1 : ]−1, 1[ → R
x 7→ argtgh(x)
argtgh(x)
tgh(x)
1
0
−1
x
1
−1
y
cotgh−1 : R \ [−1, 1] → R \ {0}
x 7→ argcotgh(x)
argcotgh(x)
cotgh(x)
1
0
−1
1
x
−1
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LEI
y
csch−1 : R \ {0} → R \ {0}
x 7→ argcsch(x)
0
csch(x)
argcsch(x)
x
y
sech−1 : ]0, 1] → [0, +∞[
x 7→ argsech(x)
argsech(x)
1
sech(x)
0
1
x
Alguns dos resultados importantes para as funções hiperbólicas inversas são os seguintes:
• argsech(x) = argcosh (1/x);
• argcsch(x) = argsenh (1/x);
• argcotgh(x) = argtgh (1/x).
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Parte 1 - Cálculo Diferencial em R
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LEI
34. Prove que:
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
√
x2 + 1 ;
√
argcosh(x) = ln x + x2 − 1 , x ≥ 1;
1+x
1
argtgh(x) = ln
, −1 < x < 1;
2
1−x
!
√
1 + 1 − x2
argsech(x) = ln
, 0 < x ≤ 1;
x
x
, −1 < x < 1;
senh (argtgh(x)) = √
1 − x2
√
cosh (argsenh(x)) = 1 + x2 ;
(a) argsenh(x) = ln x +
1
, −1 < x < 1;
1 − x2
x
;
(h) tgh (argsenh(x)) = √
1 + x2
1
(i) sech argcosh
= x.
x
(g) cosh (argtgh(x)) = √
Definição 6. Seja x um valor real qualquer. Define-se por valor absoluto ou módulo
de x a função



x,
se x > 0




|x| = max {−x, x} = 0,
se x = 0 .






−x, se x < 0
35. Resolva, em R, as seguintes inequações:
(a) |x| < 1;
(g) |x − 2| < |x + 2|;
(b) |x − 2| < 1;
(h) |x + 2| < |x − 2|;
(c) |x − 2| <
1
;
1000
(j) |x + 1| + |x − 1| < |x + 2|;
(d) |x − 2| > 1;
(e) |3x − 4| ≥ x2 ;
(f) |x − 1| x2 − 4 ≥ 0;
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(i) |x + 2| < 2 |x − 2|;
x − 1
≥ 1;
(k) x + 4
x2 − |x|
(l)
≤ 0.
x−3
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Definição 7. Uma função real de variável real, f : Df ⊆ R → R, diz-se limitada se
existe um valor real L > 0 tal que |f (x)| ≤ L, para todo o ponto x ∈ Df .
36. Averigúe quais das funções que se seguem são limitadas:
(a) f (x) =
√
x + 1,
1
,
4 − x2
1
(c) f (x) =
,
4 − x2
(b) f (x) =
x ∈ [−1, 1];
(d) f (x) =
x ∈ ]−1, 1[;
(e) f (x) =
x ∈ ]−1, 2[;
p
x ∈ ]0, π/2[;
sen(2x),
sen(3x)
,
cos(x)
sen(4x)
(f) f (x) =
,
cos(x)
x ∈ [0, π/4];
x ∈ [π/4, π/2[ .
Definição 8. Seja X ⊂ R e a ∈ R, diz-se que a é um ponto de acumulação de X
quando todo o intervalo centrado em a, ou seja, todo o intervalo da forma ]a − ǫ, a + ǫ[,
com ǫ > 0, contém um número infinito de pontos de X .
Definição 9 (Cauchy). Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real, a um
ponto de acumulação de Df e α ∈ R. Diz-se que f tende para α, quando x tende
para a, se, para todo o número real ε > 0, existe δ > 0, tal que, para todo o x que
verifique as condições x ∈ Df \ {a} ∧ |x − a| < δ , se garante que |f (x) − α| < ε.
Matematicamente escreve-se
lim f (x) = α ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : (x ∈ Df \ {a} ∧ |x − a| < δ) ⇒ |f (x) − α| < ε.
x→a
Definição 10. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real, admitindo que
Df não é limitado superiormente. Diz-se que o limite de f quando x → +∞ é α se
∀ε > 0, ∃δ > 0 :
1
x ∈ Df ∧ x >
δ
⇒ |f (x) − α| < ε.
e escreve-se lim f (x) = α.
x→+∞
Definição 11. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real, admitindo que
Df não é limitado inferiormente. Diz-se que o limite de f quando x → −∞ é α se
∀ε > 0, ∃δ > 0 :
x ∈ Df ∧ x < −
1
δ
⇒ |f (x) − α| < ε.
e escreve-se lim f (x) = α.
x→−∞
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Definição 12. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e a um ponto
de acumulação de Df . Diz-se que o limite de f quando x tenda para a é +∞ se
∀ε > 0, ∃δ > 0 : (x ∈ Df ∧ |x − a| < δ) ⇒ f (x) >
1
.
ε
e escreve-se lim f (x) = +∞.
x→a
Definição 13. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e a um ponto
de acumulação de Df . Diz-se que o limite de f quando x tenda para a é −∞ se
1
∀ε > 0, ∃δ > 0 : (x ∈ Df ∧ |x − a| < δ) ⇒ f (x) < − .
ε
e escreve-se lim f (x) = −∞.
x→a
37. Prove, por definição, os seguintes limites:
(a) lim 3x + 1 = 7;
x→2
x2 − 4
= 4.
x→2 x − 2
(b) lim
38. Determine cada um dos limites que se seguem:
2x2 − 3x + 1
;
x→1
x−1
x2 + x − 2
;
lim
x→−2 x2 + 2x
x2 − (a + 1)x + a
;
lim
x→a
x 3 − a3
(t + h)2 − t2
;
lim
h→0
h
√
x−1
lim
;
x→1 x − 1
√
3
x−1
lim √
;
x→1 4 x − 1
√
1 − 1 − x2
;
lim
x→0
x2
πx ;
lim (1 − x) tg
x→1
2
√
x
lim q
p
√ ;
x→+∞
x+ x+ x
sen(2x)
;
x→0
x
1
lim x sen
;
x→+∞
x
√
x−1
lim
;
x→+∞ x − 1
√
3
x−1
lim √
;
4
x→1
x−1
√
√
1+x− 1−x
;
lim
x→0
x
p
lim
x(x + a) − x , a ∈ R;
x→+∞
√
lim
x + 3 1 − x3 ;
(a) lim
(j) lim
(b)
(k)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
DM, FCT, UAlg
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
x→+∞
cos(x) − cos(a)
,a ∈ R
x−a
ln x2 + 1 − x2 ;
(r) lim
x→+∞
p
1 − cos(x)
(s) lim
.
x→0
x2
(q) lim
x→a
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39. Estude os limites que se seguem em função do parâmetro a:
|x|
, para a = −1, a = 0, a = −∞, a = +∞;
x→a x
x4 − 1
(b) lim 3
, para a ∈ R.
x→a x − 1
(a) lim
Devem ainda ser do conhecimento geral os resultados que se seguem:
•
sen(f (x))
−−−−−→ 1;
f (x)
f (x)→0
•
cos(f (x)) − 1
−−−−−→ 0;
f (x)
f (x)→0
•
ef (x) − 1
−−−−−→ 1;
f (x)
f (x)→0
•
k
1+
f (x)
f (x)
−−−−−−→ ek .
f (x)→±∞
40. Calcule cada um dos limites que se seguem:
x2
;
x→0 (x + sin x)2
sen(2x) [cos(2x) + sec(2x)]
lim
.
x→0
tg(2x)
sen(4x) 1+x
;
lim
x→0
x
sen(2x) 1+x
lim
;
x→0
x
2
x+1 x
lim
;
x→+∞
3x − 2
2
x+1 x
;
lim
x→+∞
2x + 1
4 x
lim
1+
;
x→+∞
x
x − 1 x+2
;
lim
x→+∞
x+3
x
x
;
lim
x→+∞
x+1
x − 1 1+x
;
lim
x→1
x2 − 1
(a) lim
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
DM, FCT, UAlg
(k)
lim
x→+∞
1
x2
2x
1+x
;
1
(l) lim (1 + sen(x)) x ;
x→0
(m)
1
lim (1 + x2 ) x ;
x→+∞
sen(x)
x
x2 − 2x + 3
;
(n) lim
2
x→0
x − 3x + 2
2
x 2
x +2
(o) lim
;
x→+∞
2x2 + 1
1
(p) lim (cos(x)) x ;
x→0
1
(q) lim (sen(x)) x ;
x→0+
1
(r) lim (sen(x)) x2 ;
x→0+
1
(s) lim (cos(x)) x2 ;
x→0
ln(1 + x)
;
x→0
x
1
1
−
(u) lim
;
ln (x) x
x→0+
(v) lim x ln(x).
(t) lim
x→0+
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Teorema
1
(Teorema do limite das funções enquadradas). Suponha-se que
h(x) ≤ f (x) ≤ g(x), para todo o valor de x pertencente a um intervalo aberto I ⊂ Df ,
que c ∈ I , e que
lim h(x) = L = lim g(x),
x→c
x→c
então o limite lim f (x) existe e é igual a L.
x→c
41. Prove que:
(c) lim cos(x) = 1;
(a) lim sen(x) = 0;
x→0
x→0
(b) lim
x→0
sen(x)
= 1;
x
(d) lim
x→0
1 − cos(x)
= 0.
x
42. Determine o valor dos seguintes limites:
tg(x)
;
x→0
x
sen(4x)
lim
;
x→0
x
tg2 (x)
;
lim
x→0
x
cos(x) − cos(2x)
;
lim
x→0
1 − cos(2x)
1 − cos(x)
lim
;
x→0
x2
(a) lim
(f) lim x sec(x);
(b)
(g) lim
(c)
(d)
(e)
x→π
1 − x2
;
x→1 sen(πx)
(h) limπ
sen(x) − cos(x)
;
1 − tg(x)
(i) limπ
sen(x) − cos(x)
.
4x − π
x→ 4
x→ 4
Definição 14. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e a um ponto de
acumulação de Df , com a ∈ Df . Diz-se que f é contínua no ponto x = a, se existem
os limites laterais lim f (x) e lim f (x), e se
x→a+
x→a−
lim f (x) = lim f (x) = f (a).
x→a−
x→a+
A função dir-se-á descontínua se:
• os limites laterais, lim f (x) e lim f (x), existem, mas são diferentes (descontix→a−
x→a+
nuidade de primeira espécie);
• pelo menos um dos limites laterais, lim f (x) ou lim f (x), não existe ou é infix→a−
x→a+
nito (descontinuidade de segunda espécie).
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43. Considere-se a função sgn : R → {−1, 0, 1} definida da seguinte forma
y = sgn(x) =
e a função y : R → Z, definida por




+1, se x > 0




0,
se x = 0 ,






−1, se x < 0
y(x) = ⌊x⌋ = max {p ∈ Z : p ≤ x} ,
normalmente designada por chão de x.
Atendendo às definições de sgn(x) e de ⌊x⌋ calcule, para as funções que se seguem,
os valores de f (a + ε) e f (a − ε), com 0 < ε ≪ 1:
(a) f (x) = sgn(x2 + x), a = −1;
(c) f (x) = x − ⌊x⌋, a = 2;
(b) f (x) = sgn
(d) f (x) = sgn(|x| + 1), a = −1.
x2
+ 3x + 2
, a = −1;
x−1
44. Estude, quanto à continuidade, cada uma das funções que se seguem:
x+1
;
x3 + x
√
1
(b) g(x) = x − 2
;
x +x
(a) f (x) =
(c) h(x) =
(d) t(x) =
x
;
|x|
2
x − 1
x2 − 1
.
45. Determine o domínio de continuidade de cada uma das funções que se seguem, em
função do parâmetro a,


3x + 1


, se x ≤ 0
1−x
(a) f (x) =
;

x−a


, se x > 0
x+1



 sen(ax) , se x 6= 0
x
.
(b) g(x) =


1,
se x = 0
DM, FCT, UAlg


x2 − 4


, se x 6= 2
x−2
(c) h(x) =
;


a,
se x = 2

1


x sen
, se x 6= 0
x
.
(d) t(x) =



a,
se x = 0
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46. Considere a função f : R → R definida por



 ln(1 + x) , x > 0
x
f (x) =


k + cos(x), x ≤ 0
Indique o valor de k para o qual a função é contínua no ponto x = 0.
47. Considere a função f : R → R definida por
f (x) =




x
, x 6= 0
ex+2 − e2


a,
x=0
Indique o valor de a para o qual a função é contínua no ponto x = 0.
Definição 15. Admita-se que f é uma função real de variável real com domínio Df ,
f : Df ⊂ R → R, e que a é um ponto pertencente ao domínio de f , a ∈ Df . As
derivadas laterais da função f no ponto x = a definem-se por
f ′ (a− ) = lim
f (a + h) − f (a)
,
h
(1)
f ′ (a+ ) = lim
f (a + h) − f (a)
.
h
(2)
h→0−
e
h→0+
As expressões (1) e (2) definem as derivadas de f à esquerda e direita do ponto x = a,
respetivamente.
Se f ′ (a− ) e f ′ (a+ ) existem e possuem o mesmo valor finito, então diz-se que a função
f é diferenciável no ponto x = a, verificando-se f ′ (a) = f ′ (a− ) = f ′ (a+ ).
Atendendo à definição de limite é possível exprimir f ′ (a) da seguinte forma
f ′ (a) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
= lim
.
x→a
h
x−a
48. Utilizando a definição, prove que, para a ∈ R,
(a) se f (x) = a, então f ′ (x) = 0;
(b) se f (x) = ax, então f ′ (x) = a;
DM, FCT, UAlg
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(c) se f (x) = axk , então f ′ (x) = akxk−1 ;
k
k−1
(d) se f (x) = [u(x)] , então f ′ (x) = ku′ (x) [u(x)]
;
(e) se f (x) = eax , então f ′ (x) = aeax ;
1
(f) se f (x) = ln(ax), então f ′ (x) = ;
x
(g) se f (x) = sen(ax), então f ′ (x) = a cos(ax);
(h) se f (x) = cos(ax), então f ′ (x) = −a sen(ax).
49. Obtenha, por definição, as derivadas de cada uma das funções que se seguem:
√
x;
(a) f (x) = 2x − 1;
(c) h(x) =
(b) g(x) = 2x3 ;
(d) t(x) = cos(x).
50. Para as funções que se seguem, obtenha, por definição, as derivadas laterais em x = 0.
Conclua acerca da existência de derivada, para cada uma das funções, no ponto x = 0.
(a) λ(x) = |x|;
(c) ϕ(x) = x − ⌊x⌋;
(b) γ(x) = x |x|;
(d) φ(x) = x⌊x⌋.
Teorema 2 (Derivada da função composta). Seja h = f ◦ g uma função composta,
onde g é derivável em x e f é derivável em g(x), então a função h é derivável em x,
com
h′ (x) = (f ◦ g)′ (x) = f ′ (g(x)) g ′ (x).
51. Sendo f (x) = x3 e g(x) = 3x2 − x, obtenha:
(a) (f ◦ g)(2);
(b) (f ◦ g)(x).
52. Determine a expressão de cada uma das derivadas que se seguem:
(a)
DM, FCT, UAlg
"
x−2
x−1
2 #′
;
(b)
"
x2 − 4
3x
5 #′
.
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53. Sejam f, g duas funções diferenciáveis, verificando-se g(0) = π/4, g ′ (0) = 1 e
Calcule o valor de f ′ (0).
f (x) = ln tg x2 + g(x) + esen(g(x)) .
54. Seja f : R → R uma função diferenciável, com f (0) = f ′ (0) = 1, e
g(x) = arctg (f (x)) + f (arctg(x)) .
Calcule o valor de g ′ (0).
55. Assuma-se que
h(x) = f (g(x)) ,
onde f (x) e g(x) são duas funções diferenciáveis. Sabendo que g(−1) = 2, g ′ (−1) = 3
e que f ′ (2) = −4, determine o valor de h′ (−1).
56. Seja f uma função par e diferenciável, com f (1) = 1, f ′ (1) = −1 e
g(x) = earctg((f (2−x
2 )+x
)(f (x2 −2)−x)) .
Calcule o valor de g ′ (1).
57. Seja
g(x) = f sen2 (x) + f cos2 (x) .
Calcule o valor da derivada de g no ponto x = 0.
58. Sabendo que f é uma função diferenciável e que f ′ (0) = 2, indique o valor da derivada
da função
g(x) = f (x + ln(x + 1)) − f (x + 1)2 − 2x
no ponto x = 0.
Teorema 3 (Derivada da função inversa). Seja f uma função diferenciável num inter-
valo I . Se f possuir inversa, tal que g = f −1 , então g é diferenciável em todo o ponto
x que verifique a condição f ′ (x) 6= 0, verificando-se para y = f (x),
g ′ (y) =
DM, FCT, UAlg
1
f ′ (x)
.
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59. Utilizando o teorema de derivada da função inversa, prove que:
(a)
(b)
(c)
1
d
(arcsin(x)) = √
;
dx
1 − x2
d
1
(arccos(x)) = − √
;
dx
1 − x2
1
d
(arctg(x)) =
;
dx
1 + x2
(d)
(e)
(f)
d
u′ (x)
;
(arcsin(u(x))) = p
dx
1 − (u(x))2
d
u′ (x)
;
(arccos(u(x))) = − p
dx
1 − (u(x))2
u′ (x)
d
(arctg(u(x))) =
.
dx
1 + (u(x))2
60. Determine, para cada uma das funções que se seguem, a expressão que define a
função derivada:
x+1
;
x2 + 1
xn + 1
;
(b) g(x) =
(x + 1)n
1
;
(c) h(x) = √
5
x2
a
b
(d) s(x) = √
−√
, para a, b ∈ R;
3
3
x2
x2
(a) f (x) =
(e) w(x) = ln(x) log 2 (x);
4
(f) φ(x) =
3
r
4
√
3
x
ln(x2 + 1)
(q) ξ(x) =
x + cos(x)
;
1 − sen(x)
(v) ψ(x) = arctg(3x + 1);
(w) τ (x) = arccotg(5x − 2);
2
(k) β(x) = xx −1 ;
(l) ι(x) =
(p) ϕ(x) = tg(x) − x;
(u) ν(x) = cos (arcsen(x));
ln(x2 + 1);
p
arctg(x)
;
x
(t) ρ(x) = cos2 x2 sen2 (x2 ) ;
(i) σ(x) = log10 (x − 1);
(j) π(x) =
(o) v(x) =
(s) γ(x) = earctg(x) ;
2x − 3;
p
3
(n) u(x) = ex arcsen(x);
(r) λ(x) = sen(x) cos(x) tg(x);
x−1
;
x+2
(g) µ(x) = (ln(x)) ;
(h) θ(x) =
(m) t(x) = ex cos(x);
(x) α(x) = sen (ln(x));
x
.
(y) ε(x) = arcsen (cos(x)).
61. Calcule os valores de f (0), f ′ (0), f ′′ (0) e f ′′′ (0), quando
2
(a) f (x) = ex ;
(c) f (x) = ex sen(x);
(b) f (x) = sen2 (x);
(d) f (x) =
DM, FCT, UAlg
1+x
.
1−x
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Parte 1 - Cálculo Diferencial em R
Análise Matemática I - 2013/14
LEI
2
. Quanto vale f ′′′ (1)?
x + x2
62. Seja f (x) = √
63. Mostre que a função y ≡ y(x) =
x2 ex
satisfaz a equação diferencial ordinária
2
y ′′ − 2y ′ + y = ex .
64. Para cada uma das funções que se seguem, determine a expressão que corresponde à
derivada de ordem n, ou seja, à n-ésima derivada,
(a) f (x) = x10 ;
(c) s(x) = cos(x);
(b) h(x) = sen(x);
(d) u(x) = ln(x).
Teorema 4 (Fórmula de Leibniz). Sejam u, v duas funções contínuas com derivadas
contínuas, pelo menos até à ordem n. Nestas condições, o produto uv será também
uma função contínua com derivadas contínuas, pelo menos até à ordem n, e a derivada
de ordem n da função produto pode ser obtida com
n
X
n dr
dn
dn−r
(u(x)v(x))
=
[u(x)]
[v(x)]
d xn
dxn−r
r d xr
r=0
n(n − 1) ′′
u (x)v (n−2) + . . .
2
= u(x)v (n) (x) + nu′ (x)v (n−1) (x) +
+ nu(n−1) (x)v ′ (x) + u(n) (x)v(x).
65. Utilizando a fórmula de Leibniz, obtenha a expressão que define a derivada de ordem
n de cada uma das seguintes funções:
(a) f (x) = x2 e−2x ;
(b) g(x) = x2 ln(x).
66. Seja
1
t .

 y(t) = et


 x(t) =
Determine
DM, FCT, UAlg
d2 y
d x2
.
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Parte 1 - Cálculo Diferencial em R
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LEI
67. Calcule as derivadas
68. Determine
d2 x
dy 2
dy d2 y
e
, quando x(t) = cos3 t e y(t) = sen3 t.
dx dx2
, quando
1
t .

 y(t) = et


 x(t) =
69. Para cada uma das funções que se seguem, determine a expressão que corresponde a
dy
d2 y
ea
:
dx
d x2

 x = ln(t)
(a)
;
 y = t3

 x = a (sen(t) − t cos(t))
(b)
.
 y = a (cos(t) + t sen(t))
Propriedades de funções contínuas num intervalo fechado
Teorema 5 (Bolzano). Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e α ∈ R um valor
que pertence ao intervalo min {f (a), f (b)} , max {f (a), f (b)} . Então, existe um valor
c ∈]a, b[, tal que f (c) = α.
Coralário 5.1. Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] com f (a) × f (b) < 0,
então existe um valor c ∈]a, b[, tal que f (c) = 0.
Teorema 6 (Weierstraß). Toda a função contínua num intervalo fechado e não vazio
possui nesse intervalo um máximo e um mínimo.
70. Seja dada a função real de variável real
f (x) =
(a) Calcule f (0) e f (3).



x,
se x > 2
.


−x2 + 2x, se x ≤ 2
(b) Qual o valor lógico da proposição: ∃c ∈]0, 3[: f (c) =
3
?
2
(c) O resultado obtido na alínea anterior contraria o teorema do valor intermédio?
Justifique a resposta dada.
DM, FCT, UAlg
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Parte 1 - Cálculo Diferencial em R
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LEI
71. Considere a seguinte função real de variável real
p(x) = x3 − 3x2 + 1.
(a) Prove que p possui pelo menos um zero no intervalo [0, 1[.
(b) Localize, em intervalos de amplitude igual à unidade com limites inteiros, os
restantes zeros do polinómio. Justifique os resultados obtidos.
72. Para cada um dos casos que de seguida se apresentam, identifique aqueles em que é
possível aplicar o teorema de Weierstrass, e, para esses, calcule os máximos e mínimos:
1
, com x ∈ [−1, 1];
−4
x
, com x ∈ [0, 1[.
(d) f (x) = −
x−1
(a) f (x) = 2 − x, com x ∈] − 1, 3];
(b) f (x) =
(c) f (x) =
1
, com x ∈ [0, 3];
x−2
x2
Teorema 7 (Rolle). Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável em ]a, b[.
Se f (a) = f (b), então existe um ponto c ∈]a, b[, tal que f ′ (c) = 0.
Coralário 7.1. Se a e b são zeros de uma função f , contínua num intervalo [a, b] e
derivável em ]a, b[, então a derivada de f possui, pelo menos, um zero em ]a, b[.
Coralário 7.2. Se f é uma função derivável num intervalo ]a, b[, de tal forma que a e
b são zeros consecutivos para a derivada, ou seja, f ′ (x) 6= 0, ∀x ∈]a, b[ e f ′ (a) = 0 =
f ′ (b), então f não possui mais do que um zero em ]a, b[.
73. Seja dada a função real de variável real
h(x) =
(a) Verifique que h(1) = h(3).





1
, se x 6= 3
3−x


1

 ,
2
.
se x = 3
(b) Mostre que, para todos os pontos onde está definida a derivada, se verifica
h′ (x) > 0.
(c) Os resultados anteriores contradizem o teorema de Rolle? Justifique.
DM, FCT, UAlg
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74. Considere a função real de variável real
π
f (x) = sen x +
.
4
(a) Mostre que estão reunidas as condições para se aplicar o teorema de Rolle no
h
intervalo 0,
πi
.
2
h
(b) Determine o valor de c ∈ 0,
πi
, para o qual se verifica f ′ (c) = 0.
2
75. Considere a seguinte função real de variável real
g(x) =



3x,
se x < 2
.


6 − x, se x ≥ 2
(a) Represente graficamente a restrição de g ao intervalo [1, 3].
(b) Verifique que g(1) = g(3).
(c) Justifique a razão pela qual não existe nenhum zero da derivada de g no intervalo
]1, 3[.
76. Dada a função real de variável real f (x) = 2 − |x − 2|, diga por que razão não se pode
aplicar o teorema de Rolle no intervalo [1, 3].
77. Repita o exercício anterior com a função f (x) =
√
3
x2 , no intervalo [−1, 1].
78. Prove que a função real de variável real p(x) = x3 − 6x2 + 9x − 2 possui um único zero
no intervalo ]1, 3[.
79. Prove que a equação 4x3 − 6x2 + 1 = 0 possui três soluções reais distintas. Situe-as
em intervalos cujos extremos sejam números inteiros consecutivos.
80. Prove que x = 0 é a única solução para a equação
arctg(x) + x(2x2 + 3) = 0.
81. Prove que x = 1 é a única solução para a equação
ex−1 = 2 − x3 .
DM, FCT, UAlg
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LEI
Teorema 8 (Lagrange ou do valor médio para a derivada). Se f é uma função contínua
no intervalo [a, b] e derivável em ]a, b[, então existe um ponto c ∈]a, b[, tal que
f ′ (c) =
f (b) − f (a)
.
b−a
Coralário 8.1. Se f é uma função com derivada nula em todos os pontos do intervalo
]a, b[, então f é constante nesse intervalo.
Coralário 8.2. Duas funções com igual derivada são iguais a menos de uma cons-
tante.
Coralário 8.3. Se f é uma função com derivada positiva em todos os pontos do inter-
valo ]a, b[, então f é crescente nesse intervalo.
Coralário 8.4. Se f é uma função com derivada negativa em todos os pontos do
intervalo ]a, b[, então f é decrescente nesse intervalo.
82. Considere a seguinte função




3,
se x = 0




f (x) = −x2 + 3x + a, se 0 < x < 1






mx + b,
se 1 ≤ x ≤ 2
Quais os valores de a, m e b que garantem que f satisfaz as hipóteses do teorema de
Lagrange no intervalo [0, 2]?
√
83. Mostre que a função f (x) = x 3 x verifica as condições do teorema de Lagrange no
intervalo [−1, 1].
84. Mostre que a função g(x) =
√
3
x2 não verifica as condições do teorema de Lagrange
no intervalo [−1, 1].
85. Prove que:
(a) arcsen(x) > x, para x > 0;
1
(c)
< ln
x+1
(b) ex ≥ 1 + x;
(d) ln(x + 2) < ln(x) +
DM, FCT, UAlg
x+1
x
<
1
, para x > 0;
x
2
, para x > 0.
x
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Regra de L’Hôpitala - Caso 1
Sejam f (x) e g(x) duas funções diferenciáveis nos conjuntos onde estão definidas.
Suponha-se ainda que
lim f (x) = lim g(x) = 0,
x→a
x→a
com g ′ (x) 6= 0, para todo o x numa vizinhança do ponto a. Então:
f ′ (x)
f (x)
existe, o limite lim
também existe, verificando-se
′
x→a g (x)
x→a g(x)
• Se o limite lim
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
.
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
• Se as funções f ′ e g ′ satisfazem as mesmas condições que as funções f e g , pode
f ′′ (x)
, implica a existência do limite
x→a g ′′ (x)
f (x)
f ′ (x)
f ′′ (x)
f (x)
, com lim
= lim ′
= lim ′′
. Este resultado é válido para
lim
x→a g(x)
x→a g (x)
x→a g (x)
x→a g(x)
inferir-se que, a existência do limite lim
ordens de derivadas superiores.
• Os dois resultados anteriores continuam válidos quando se considera a = +∞
a
ou a = −∞.
A regra de L’Hôpital, também conhecida por regra de Bernoulli, foi apresentada no primeiro livro de
texto sobre cálculo diferencial, "Analyse des Infiniment Petits pour l’Intelligence des Lignes Courbes",
publicado por Guillaume François Antoine, Marquês de l’Hôpital, em 1696, com o objetivo de calcular o
limite de frações nos casos em que há indeterminações do tipo
∞
0
ou
.
0
∞
86. Com base nos resultados enunciados, calcule os seguintes limites:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
DM, FCT, UAlg
2x2 − 3x + 1
lim
;
x→1
x−1
x2 + x − 2
lim
;
x→−2 x2 + 2x
x cos(x) − sen(x)
;
lim
x→0
x3
sen(3x)
lim
;
x→π/3 1 − 2 cos(x)
esen(x) − ecos(x)
;
lim
x→π/4 sen(x) − cos(x)
x5 − 2x4 + x3 − x2 + 2x − 1
lim
;
x→1
x4 − 2x3 + 2x − 1
3x − sen(x)
lim
;
x→0
x
1+x−1
;
x→0
√ x
1 + x − 1 − x/2
;
lim
x→0
x2
sen(x)
lim
;
x→0
x
1 − cos(x)
;
lim
x→0
x
1 − cos(x)
lim
;
x→0
x2
x
e −1
;
lim
x→0
x
ex − 1
lim
.
x→0
x2
(h) lim
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
√
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LEI
Regra de L’Hôpital - Caso 2
Sejam f (x) e g(x) duas funções deriváveis nos conjuntos onde estão definidas.
Suponha-se ainda que
lim f (x) = lim g(x) = ∞,
x→a
x→a
com g ′ (x) 6= 0, para todo o x. Então:
f ′ (x)
f (x)
, implica a existência do limite lim
,
′
x→a g (x)
x→a g(x)
• A existência do limite lim
verificando-se
f (x)
f ′ (x)
= lim ′
.
x→a g(x)
x→a g (x)
lim
• Se as funções f ′ e g ′ satisfazem as mesmas condições que as funções f e g , pode
f ′′ (x)
existe, fica garantida a existência do limite
x→a g ′′ (x)
f (x)
f ′ (x)
f ′′ (x)
f (x)
, com lim
= lim ′
= lim ′′
. Este resultado é válido para
lim
x→a g(x)
x→a g (x)
x→a g (x)
x→a g(x)
concluir-se que, se o limite lim
ordens de derivadas superiores.
• Os dois resultados anteriores continuam válidos quando se considera a = +∞
ou a = −∞.
87. Calcule os seguintes limites:
(a)
tg(x)
;
x→π/2 tg(5x)
lim
ln (sen(5x))
;
ln (sen(x))
xn
lim x , n ∈ N;
x→+∞ e
ln (senh(x))
lim
;
+
ln (sen(x))
x→0
ln eax − ebx
, a, b ∈ R;
lim
ln(x)
x→0+
ln(x)
lim √ ;
x→+∞ 4 x
sec(x)
lim
;
x→π/2 1 + tg(x)
(i)
(b) lim
(j)
(c)
(k)
x→0+
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
DM, FCT, UAlg
e−x
;
x→−∞ x2
lim
(l)
(m)
(n)
(o)
(p)
ln(x)
√ ;
2 x
ln(x + 1)
;
lim
x→+∞ log 2 (x)
log2 (x)
lim
;
x→+∞ log 3 (x + 3)
ln x2 + 2x
lim
;
ln(x)
x→0+
ln (ex − 1)
;
lim
ln(x)
x→0+
ln(sec(x))
lim
;
−
x→π/2 1 + tg(x)
lim
x→+∞
lim
x→π/2−
ln(tg(x))
;
sec(x)
ex + t2
.
x→+∞ ex − t
lim
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LEI
Para os casos em que no cálculo do limite aparece uma indeterminação do tipo:
0 · ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 00 ou ∞0 ,
deve iniciar-se o cálculo pela redução a uma indeterminação do tipo
0
∞
ou
, podendo,
0
∞
posteriormente, aplicar-se a regra de l’Hôpital descrita anteriormente.
• 0·∞
Admita-se, sem perda de generalidade, que lim f (x) = 0 e que lim g(x) = ∞,
x→a
x→a
então:
f (x)
lim f (x)g(x) = lim
x→a
x→a 1/g(x)
lim f (x)g(x) =
x→a
g(x)
x→a 1/f (x)
lim
0
0
∞
∞
• ∞−∞
f (x)
= 1, então:
x→a
x→a g(x)
f (x)
− 1 g(x)
lim f (x) − g(x) = lim
x→a
x→a g(x)
Se lim f (x) = ∞, lim g(x) = ∞ e lim
x→a
(0 · ∞)
• 1∞
g(x)
Se lim f (x) = 1, lim g(x) = ∞ e y(x) = (f (x))
x→a
x→a
, então:
lim g(x) ln(f (x))
lim y(x) = lim eln(y(x)) = ex→a
x→a
x→a
(0 · ∞)
• 00
Se lim f (x) = 0, lim g(x) = 0 e y(x) = (f (x))
x→a
g(x)
x→a
, então:
lim g(x) ln(f (x))
lim y(x) = lim eln(y(x)) = ex→a
x→a
x→a
(0 · ∞)
• ∞0
g(x)
Se lim f (x) = ∞, lim g(x) = 0 e y(x) = (f (x))
x→a
x→a
, então:
lim g(x) ln(f (x))
lim y(x) = lim eln(y(x)) = ex→a
x→a
DM, FCT, UAlg
x→a
(0 · ∞)
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88. Calcule os limites que se seguem:
(a)
π
lim
2
x→π/2
− x tg(x);
cos(x)
;
x→π/2 ln 1 − x + π
2
x+1
1
−
;
(c) lim
x→0 ln(x + 1)
x
1
(d) lim x sen
;
x→+∞
x
(b)
(e)
lim
3
xe−x ;
lim
12
3
− 2
(f) lim
;
x→2 x − 2
x −4
1
1
(g) lim
−
;
x→1 ln(x)
arctg(x − 1)
(h)
x→−∞
lim [x −
x→+∞
ln (3ex
− 1)];
1
2
;
(i) lim x sen
x→∞
x
(j) lim
xx ;
(k) lim
x
1
;
x
x→0+
x→0+
(l)
(m) lim (cotg(x))
tg(x)
x→0+
(n) lim (tg(x))
sen(x)
x→0+
;
;
2
lim (1 + x)1/x ;
x→+∞
q x
(p) lim
cos 2π
;
x
(o)
x→+∞
(q)
(r)
(s)
(t)
(u)
lim (sen(x) − cos(x))tg(x) ;
x→π/2
lim (1 + 2 cos(x))sec(x) ;
x→π/2
(sen(x) − cos(x))sen(x− 4 ) ;
π
lim
x→π/4+
lim [ln(3 + x)]2+x ;
x→−2
lim
x→+∞
1 + x2
1/x
;
tg(x)
1
(v) lim
;
+
x
x→0
1
(w) lim (ex + 3x) 2x ;
x→0
lim x1/x ;
(x) lim (cotg(x))
x→+∞
sen(x)
x→0+
.
89. Calcule os limites que se seguem:
(a) lim (cos(2x))
3/x2
x→0
;
x cos(x) − sen(x)
;
x→0
x3
cosh(x) − 1
;
(c) lim
x→0 1 − cos(x)
(b) lim
sec2 (x) − 2 tg(x)
(d) lim
;
1 + cos(4x)
x→π/4
ex
(e) lim
;
x→+∞ x5
x/π
;
(f) lim
x→0 cotg(πx/2)
(g) lim (1 − cos(x)) cotg(x);
x→0
DM, FCT, UAlg
(h) lim arcsen(x) cotg(x);
x→0
x
1
−
;
x→1 x − 1
ln(x)
(i) lim
(j) lim ln(x) ln(x − 1);
x→1
(k) lim xx ;
x→0+
(l) lim xsen(x) ;
x→0+
(m)
lim x1/x ;
x→+∞
(n) lim (cotg(x))sen(x) ;
x→0+
(o) lim (cotg(x))1/ ln(x) .
x→0+
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LEI
Monotonia
Definição 16. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e x1 , x2 ∈ I ⊂
Df , com x1 < x2 .
• Se f é uma função crescente no intervalo I , então f (x1 ) < f (x2 ).
• Se f é uma função decrescente no intervalo I , então f (x1 ) > f (x2 ).
Teorema 9. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real, existindo f ′ (a),
a ∈ Df .
• Se f ′ (a) > 0, então a função f é crescente em x = a;
• Se f ′ (a) < 0, então a função f é decrescente em x = a;
• Se f ′ (a) = 0, então a função f não é crescente nem decrescente em x = a.
90. Determine os intervalos de crescimento para cada uma das funções que se seguem:
(a) f (x) = −
x
− cos(x);
2
(b) f (x) = x − arctg(x);
(c) f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 10;
x
;
x−2
x
(e) f (x) =
;
(x + 2)2
x √
(f) f (x) = − 3 x.
3
(d) f (x) =
91. Para cada uma das funções que se seguem, determine os intervalos de decrescimento:
(a) f (x) = x2 ex ;
x5
x5
(b) f (x) =
ln(x) − ;
5
25
(c) f (x) =
x
;
x+2
(d) f (x) = arccotg
1+x
.
1−x
92. Identifique os intervalos de monotonia das funções que se seguem:
x
;
x−2
x √
(b) h(x) = − 3 x;
3
x
(c) f (x) =
;
x+2
(a) f (x) =
(d) f (x) = x − arctg(x);
DM, FCT, UAlg
(e) f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 10;
2
(f) s(x) = ex −4x ;
(g) t(x) = x ln(x);
(h) u(x) =
ex
.
x
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LEI
Máximos e Mínimos Locais e Globais
Definição 17. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real.
• Se f (a) ≤ f (x), ∀x ∈ Df , então o ponto x = a diz-se é um ponto de mínimo
global para a função f , sendo f (a) o mínimo global da função.
• Se f (b) ≥ f (x), ∀x ∈ Df , então o ponto x = b diz-se um ponto de máximo
global para a função f , sendo f (b) o máximo global da função.
Definição 18. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real.
• Se f (a) ≤ f (x), ∀x ∈]a − δ, a + δ[, para algum δ > 0, então o ponto x = a diz-se é
um ponto de mínimo local ou relativo para a função f .
• Se f (b) ≤ f (x), ∀x ∈]b − ε, b + ε[, para algum ε > 0, então o ponto x = b diz-se é
um ponto de máximo local ou relativo para a função f .
Teorema 10 (Valor Extremo). Se f é uma função contínua num intervalo fechado
I = [a, b], então f atinge em I um máximo e um mínimo.
Teorema 11 (Fermat). Se f é uma função que possui um máximo e um mínimo local
num ponto c e se f ′ (c) existe, então f ′ (c) = 0.
Definição 19. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real. Diz-se que
x = c é um ponto crítico para f , se f ′ (c) = 0 ou se não existe f ′ (c). No caso em que
f ′ (c) = 0, o ponto x = c designa-se por ponto estacionário.
Teorema 12. Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real que admite um
ponto estacionário em x = a. Admita-se ainda a existência de f ′′ (a).
• Se f ′′ (a) > 0, então o ponto x = a é um ponto de mínimo local para a função f ;
• Se f ′′ (a) < 0, então o ponto x = a é um ponto de máximo local para a função f ;
• Se f ′′ (a) = 0, então deve recorrer-se á expansão em série de Taylor para a função
f em torno do ponto x = a para se poder inferir quanto à classificação do ponto.
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93. Averigúe a existência de extremos para as funções que se seguem:
(a) f (x) = √
1
x2 + 1
x
;
−4
ln(x)
(f) u(x) =
;
x
ex
(g) v(x) =
;
x
1
.
(h) w(x) = 2
x −4
(e) t(x) =
;
(b) g(x) = x3 − 3x2 ;
(c) h(x) = (x − 1)2 (x + 2)2 ;
(d) s(x) =
x2 − 2x + 2
;
x−1
x2
94. Dada a função real de variável real
f (x) =
x4 + 1
,
x2
determine extremos relativos de f .
95. Considerando a função real de variável real
g(x) =
x2
,
x2 − 9
determine extremos relativos de g .
3
96. Seja f (x) = ex −3x+1 . Determine os máximos e mínimos locais de f .
97. Uma empresa que se dedica à produção de embalagens pretende produzir uma embalagem com uma base quadrada e uma área de superfície igual a 108 cm2 . Quais devem
ser as dimensões a utilizar na construção da embalagem, por forma a que se garanta
o volume máximo?
98. Determine as dimensões do maior retângulo que se pode inscrever totalmente num
semi-círculo de raio 4.
99. Num dia escolhido ao arbítrio, a taxa do fluxo de tráfego (em carros por hora) numa
auto-estrada é dado por
F =
100v
,
2200 + 2v 2
onde v representa a velocidade do tráfego em quilómetros por hora. Qual a velocidade
que maximiza a taxa do fluxo nesta auto-estrada?
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Pontos de inflexão e concavidades
Com base na análise ao sinal da segunda derivada da função é possível estabelecer o
sentido da concavidade para o gráfico da mesma.
Teorema 13. Seja f : Df ⊆ R → R uma função derivável em I ⊆ Df . Pode concluir-
se que:
• se f ′ é estritamente crescente em I , então f será côncava em I ;
• se f ′ é estritamente decrescente em I , então f será convexa em I .
Coralário 13.1. Seja f : Df ⊆ R → R uma função para a qual existe derivada até,
pelo menos, à ordem 2 em I ⊆ Df . Conclui-se que:
• se f ′′ (x) > 0, ∀x ∈ I , então f é côncava em I , ou seja, o gráfico de f possui
concavidade voltada para cima em I ;
• se f ′′ (x) < 0, ∀x ∈ I , então f é convexa em I , ou seja, o gráfico de f possui
concavidade voltada para baixo em I .
Definição 20. Seja f : Df ⊆ R → R uma função que admite derivada até, pelo
menos, à terceira ordem. Um ponto x = a, a ∈ Df , diz-se um ponto de inflexão para
o gráfico de f , se f ′′ (a) = 0, f ′′′ (a) 6= 0 e os sinais de f ′′ à esquerda e à direita do
ponto x = a são diferentes.
Teorema 14. Se x = c é um ponto de inflexão para o gráfico de uma função f , então
f ′′ (c) = 0 ou não existe f ′′ em x = c.
100. Determine os pontos de inflexão para os gráficos de cada uma das funções que se
seguem:
(a) f (x) = x ln(x);
1
;
x
√
√
(c) h(x) = x + 4 − x;
(b) g(x) = x +
(d) t(x) =
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x3
;
1 + x2
(e) s(x) = xe−x ;
(f) u(x) =
x
;
1 − x2
2
(g) v(x) = xex ;
(h) ϕ(x) =
x3
.
x+1
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101. Indique os intervalos onde o gráfico de cada uma das funções que se seguem possui
concavidade voltada para cima:
(c) h(x) =
(a) f (x) = x ln(x);
(b) g(x) = x +
1
;
x
√
√
x + 4 − x;
(d) s(x) = xe−x .
102. Indique os intervalos onde o gráfico de cada uma das funções que se seguem possui
concavidade voltada para baixo:
x3
;
1 + x2
x
;
(b) u(x) =
1 − x2
2
(c) v(x) = xex ;
(a) t(x) =
(d) ϕ(x) =
x3
.
x+1
103. Seja
f (x) =
x2
1
.
+1
Determine os pontos de inflexão do gráfico da função f .
104. Considerando
f (x) =
x2
x
,
+1
determine os pontos de inflexão do gráfico da função f .
105. Seja
f (x) =
x2
x
.
−1
Estude o sinal da derivada de segunda ordem e apresente as respetivas conclusões
acerca das concavidades do gráfico da função.
106. Considerando
f (x) =
2x2 − 6x + 3
.
(x − 2)2
Estude o sinal da derivada de segunda ordem e apresente as respetivas conclusões
acerca das concavidades do gráfico da função.
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Assíntotas
O gráfico de uma função pode ter assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas.
Definição 21. Uma reta de equação y = b diz-se uma assíntota horizontal para o
gráfico da função f , se lim f (x) = b ou lim f (x) = b.
x→−∞
x→+∞
Definição 22. Uma reta de equação x = a diz-se uma assíntota vertical para o
gráfico da função f , se lim f (x) = ±∞ ou lim f (x) = ±∞.
x→a+
x→a−
Definição 23. Uma reta de equação y = mx + b, com m 6= 0, diz-se uma as-
síntota oblíqua para o gráfico da função f , se
lim (f (x) − (mx + b)) = 0 ou
x→−∞
lim (f (x) − (mx + b)) = 0.
x→+∞
O declive da assíntota oblíqua, m, m 6= 0, obtém-se calculando os limites
f (x)
x→−∞ x
lim
e/ou
f (x)
.
x→+∞ x
lim
O valor de b é dado pelo valor dos limites
lim [f (x) − mx]
x→−∞
e/ou
lim [f (x) − mx] .
x→+∞
Se m = 0 e se existe, pelo menos, um dos limites
b = lim [f (x) − mx]
x→−∞
ou
b = lim [f (x) − mx] ,
x→+∞
então o gráfico de f possui uma assíntota horizontal.
107. Identifique, para cada uma das funções que se seguem, as assíntotas:
(a) f (x) =
1
;
(x − 2)2
x + |x|
;
x2
x2 − 3x + 2
;
(c) h(x) =
x2 − x
1
(d) s(x) =
2 − 1;
(x−1)
e
(b) g(x) =
108. Seja f a função definida por f (x) =
ln(x)
;
x
1
(f) u(x) = x ln e +
;
x
8
;
(g) γ(x) = − 2
x −4
x2
.
(h) φ(x) =
x−1
(e) t(x) = x −
(x − 2)2
. Determine as assíntotas de f , caso
2x
existam.
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109. Faça o estudo completo de cada uma das funções que se seguem, indicando:
• Domínio;
• Intervalos de monotonia;
• Domínio de continuidade;
• Máximos e mínimos locais/globais;
• Pontos de intersecção com os eixos;
• Pontos de inflexão;
• Paridade;
• Sentidos de concavidade;
• Derivada;
• Assíntotas;
• Domínio da derivada;
• Esboço gráfico;
• Pontos estacionários;
• Contradomínio.
(k) φ(x) = ln 1 + x2 ;
(a) f (x) = x ln(x);
1
;
x
√
√
(c) h(x) = x + 4 − x;
(b) g(x) = x +
x3
;
(d) t(x) =
1 + x2
(e) s(x) =
xe−x ;
(f) u(x) =
x
;
1 − x2
(n)
(o)
(p)
2
(g) v(x) = xex ;
(h) ϕ(x) =
x3
;
x+1
(q)
2
(x + 1)2
;
1 + x2
x2 + 4
ζ(x) =
;
2x
8
;
ι(x) = 2
x +4
4x
;
β(x) = 2
x +4
x4 + 1
ν(x) =
;
x2
x−1
δ(x) = 2
;
x (x − 2)
(l) η(x) =
(m)
(i) γ(x) = ln 4 − x ;
(r) θ(x) = x4 − 4x3 + 10;
(j) µ(x) =
(s) ω(x) = x1/3 (x − 4).
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cos(x)
;
2 + sen(x)
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