Instituto de Matemática - IM/UFRJ
Cálculo Diferencial e Integral I - MAC118
Respostas da terceira prova - 09/12/2013
Questão 1: (3 pontos)
Se uma xícara de café tem uma temperatura de 95o C, em uma sala cuja temperatura ambiente é de
20o C, de acordo com a Lei do Resfriamento de Newton, a temperatura do café após t minutos
será
T (t) = 20 + 75e−t/50 .
Caso seja necessário, considere e3 = 20.
a) Qual a temperatura do café após 2h30min?
2h30min = 150min
T (150) = 20 + 75e−150/50
475
20
T (150) =
T (150) =
T (150) = 23, 75
−3
T (150) = 20 + 75e
75
e3
20 + 75
20
400+75
20
T (150) = 20 +
T (150) =
b) Qual a temperatura média do café nesse intervalo de tempo?
Z 150
0
T (t)dt =
Z 150
h
20 + 75e−t/50 dt = 20t − 3750e−t/50
0
i150
0
=
3750
+ 3750 = 6750 − 187, 5 = 6562, 5
20
Logo, a temperatura média do café durante esse intervalo de tempo será de:
= [3000 − 3750e−3 ] − [0 − 3750e0 ] = 3000 −
6562, 5
= 43, 75o C
150
c) Faça um esboço da temperatura do café em função do tempo.
Página 1 de 6
Cálculo Diferencial e Integral I - MAC118
Respostas da terceira prova - 09/12/2013(continuação)
Questão 2: (3 pontos)
A curva da equação y 2 = x2 (x + 3) é chamada de cúbica de Tschirhausen. Se você colocar essa
curva em um gráfico, verá que parte dela forma um laço.
a) Determine os pontos de interseção dessa curva com o eixo-x.
y=0
y2 = 0
x2 (x + 3) = 0
Logo:
x = 0 ou x = −3.
c) Faça um esboço da curva.
b) Encontre a área dentro desse laço.
2
y 2 = xq
(x + 3)
y = ± x2 (x + 3)
√
y = ±|x| x + 3
A partir do gráfico da (ver item c), podemos observar que para calcular a área interior ao laço
da curva, podemos calcular a partir da soma das integrais:
Z 0
−3
Z 0
−3
√
|x| x + 3dx
√
−|x| x + 3dx
Como elas são simétricas, basta calcular o módulo de qualquer uma das duas integrais e duplicar
o valor, portanto:
Z 0
Z 0 √
√
2
|x| x + 3dx = −2
x x + 3dx
−3
−3
Página 2 de 6
Cálculo Diferencial e Integral I - MAC118
Respostas da terceira prova - 09/12/2013(continuação)
Efetuando a seguinte substituição: u = x + 3 e du = dx temos:
−2
√
Z 0
x x + 3dx = −2
−3
Z 3
Z 3
Z 3
√
1/2
(u − 3) udu = −2 (u − 3)u du = −2
u3/2 − 3u1/2 du =
0
0
#3
"
0
#3
"
#3
"
!
u5/2 3u3/2
2u5/2
u5/2
35/2
= −2
−
= −2
− 2u3/2 = −4
− u3/2 = −4
− 33/2 =
5/2
3/2 0
5
5
5
0
0
√
√
√
√
!
√
√ 9
9 3
4 3 (9 − 15)
4 3 (−6)
24 3
= −4
− 3 3 = −4 3
−3 =−
=−
=
5
5
5
5
5
é a área interior ao laço.
Questão 3: (3 pontos)
Calcule as integrais indefinidas:
a)
Z
x
ee ex dx
Efetuando a substituição ex = u e ex dx = du, temos:
Z
x
ee ex dx =
Z
x
eu du = eu + k = ee + k
onde k ∈ IR é constante.
b)
Z
ex
dx
e2x + 3ex + 2
Efetuando a substituição ex = u e ex dx = du, temos:
Z
Z
Z
ex
1
A
B
dx
=
du
=
+
du
2x
x
2
e + 3e + 2
u + 3u + 2
u+1 u+2
Onde A, B ∈ IR são constantes a se determinar.
A
B
A(u + 2) + B(u + 1
(A + B)u + (2A + B)
+
=
=
2
u+1 u+2
u + 3u + 2
u2 + 3u + 2
Mas como:
A
B
1
+
= 2
u+1 u+2
u + 3u + 2
Então:
(A + B)u + (2A + B) = 1
Daí:
(
A+B = 0
⇒
2A + B = 1
(
A = 1
B = −1
Logo:
Z
Z
1
1
1
du =
−
du = ln |u + 1| − ln |u + 2| + k =
2
u + 3u + 2
u+1 u+2
= ln(ex + 1) − ln(ex + 2) + k
onde k ∈ IR é constante.
Página 3 de 6
Cálculo Diferencial e Integral I - MAC118
Respostas da terceira prova - 09/12/2013(continuação)
c)
Z
18
dx
9 − x2
Solução por frações parciais:
18
B
A
18
=
+
=
2
9−x
(3 − x)(3 + x)
3−x 3+x
Onde A, B ∈ IR são constantes a se determinar.
A
B(3 + x) + A(3 − x)
3(A + B) + (B − A)x
B
18
+
=
=
=
3−x 3+x
(3 − x)(3 + x)
9 − x2
9 − x2
Temos que A = B e 3(A + B) = 18, logo:
3(A + B) = 18 ⇒ A + B = 6 ⇒ A + A = 6 ⇒ A = 3 ⇒ B = 3
Resolvendo a integral:
Z
Z
3
18
3
dx =
+
dx = 3(ln |3 − x| + ln |3 + x|) + k
2
9−x
(3 − x) (3 + x)
onde k ∈ IR é constante.
Solução por substituição trigonométrica: Considere x = 3 sen θ, então dx = 3 cos θdθ, daí:
=6
Z
Z
Z
Z
18
18
18
6
dx
=
3
cos
θdθ
=
3
cos
θdθ
=
cos θdθ =
2
2
2
9−x
9 − (3 sen θ)
9(1 − sen θ)
cos2 θ
Z
Z
1
dθ = 6 sec θdθ = ln | sec θ + tg θ| + k = ln | sec(arc sen(x/3)) + tg(arc sen(x/3)| + k
cos θ
onde k ∈ IR é constante.
Questão 4: (3 pontos)
Considere a função f definida por f (x) = xe−x
a) Determine se a área sob o gráfico de f definida no intervalo de 0 a +∞ é convergente e, se possível,
calcule-a.
Vamos resolver
R
xe−x dx por partes:
(
u = x
⇒
v 0 = e−x
(
u0 =
1
v = −e−x
Logo:
Z
xe−x dx = −xe−x −
Z
−e−x dx = −xe−x +
Z
e−x dx = −xe−x − e−x = −e−x (x + 1) + k
onde k ∈ IR é constante.
Página 4 de 6
Cálculo Diferencial e Integral I - MAC118
Respostas da terceira prova - 09/12/2013(continuação)
Z B
h
xe−x dx = −e−x (x + 1)
iB
0
0
lim
Z B
B→+∞ 0
h
h
xe−x dx = lim
i
h
i
h
i
= −e−B (B + 1) − −e−0 (0 + 1) = −e−B (B + 1) + 1
B→+∞
i
−e−B (B + 1) + [1] = lim
B→+∞
=
lim
B→+∞
B+1
L0 Hôspital
+
1
=
eB
1
− B =0+1=1
e
L0 Hôspital
−
Portanto, a integral é convergente e é igual a 1.
b) Calcule o volume do sólido de revolução formado pela rotação da função f definida no intervalo
de 0 a +∞ em torno do eixo-x.
Volume =
Z +∞
π(xe−x )2 dx = π
0
Z +∞
x2 e−2x dx
0
Podemos resolver essa integração por partes:
(
Z
u = x2
⇒
v 0 = e−2x
(
u0 =
2x
−2x
v = −e 2
x2 e−2x Z −2xe−x
x2 e−x Z
−
dx = −
+ xe−2x dx
2
2
2
x2 e−2x dx = −
Podemos resolver essa segunda integração por partes também:
(
Z
xe−2x dx = −
u = x
⇒
v 0 = e−2x
(
u0 =
1
e−2x
v = − 2
xe−2x Z −e−2x
xe−2x 1 Z −2x
xe−2x e−2x
−
dx = −
−
e dx = −
−
2
2
2
2
2
4
Logo:
Z
x2 e−x Z
x e dx = −
+ xe−2x dx =
2
x2 e−2x xe−2x e−2x
=−
−
−
=
2
2
4
e−2x 2
=−
2x + 2x + 1 + k
4
2 −2x
onde k ∈ IR é constante.
Vol = π
Z b
0
x2 e−2x dx = −
ib
π h −2x 2
e
2x + 2x + 1
=
0
4
i
πh
= − e−2b 2b2 + 2b + 1 − e−2·0 2 · 02 + 2 · 0 + 1
=
4
i
πh
= − e−2b 2b2 + 2b + 1 − 1
4
Página 5 de 6
Cálculo Diferencial e Integral I - MAC118
Respostas da terceira prova - 09/12/2013(continuação)
Calculando o limite quando b → +∞:
2b2 + 2b + 1
b→+∞
e2b
lim e−2b 2b2 + 2b + 1 = lim
b→+∞
L0 Hôspital
=
4b + 2
b→+∞ 2e2b
lim
L0 Hôspital
=
4
=0
b→+∞ 4e2b
lim
Portanto:
Vol = lim π
b→+∞
Z b
0
x2 e−2x dx = lim −
b→+∞
i
π
π
π h −2b 2
e
2b + 2b + 1 − 1 = − [0 − 1] =
4
4
4
c) Faça um esboço do gráfico da função f e do sólido formado pela sua rotação em torno do eixo-x.
Página 6 de 6
Bons estudos!