Limite
Definição de Limite: Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que
contém o número p, exceto possivelmente o próprio p. Então dizemos que o limite
de f(x) quando x tende a p é L e escrevemos:
Considere a função:
.
Exemplo:
Exemplo 2: Usando a definição de limite, provar que: lim(3 xx→− 11) = 2
Solução: De acordo com a definição, devemos mostrar que, para todo ε > 0, existe um
δ>0, tal que:
(3x − 1) − 2 < ε sempre que 0 < x − 1 < δ .
O exame da desigualdade envolvendo ε proporciona uma chave para a escolha de δ.
As seguintes igualdades são equivalentes:
3‫׀‬x – 1 - 2‫ < ׀‬ε
3‫׀‬x – 3‫ < ׀‬ε
3‫(׀‬x – 1)‫ < ׀‬ε
‫׀‬x -1‫ < ׀‬ε/3
A última desigualdade nos sugere a escolha do δ.
Fazendo δ = ε/3, vem que:
3 ‫׀‬x – 1) - 2‫ < ׀‬ε sempre que 0 < x − 1 < δ .
Portanto, lim(3 x − 1) = 2
x→ 1
x2 − 4
Exemplo 3: Mostre que o lim x + 2 = − 4
x→ − 2
Solução: Solução: De acordo com a definição, devemos mostrar que, para todo ε > 0, existe
um δ>0, tal que:
x2 − 4
− (_ 4) < ε sempre que 0 < x + 2 < δ .
x+ 2
( x − 2)( x + 2)
− ( − 4) < ε
x+ 2
x− 2+ 4 < ε
x+ 2 < ε
Fazendo δ = ε, vem que:
x2 − 4
− (_ 4) < ε sempre que 0 < x + 2 < δ .
x+ 2
x2 − 4
Portanto: lim x + 2 = − 4
x→ − 2
Exemplo 4:
Outro exemplo: