Teste Intermédio Matemática A
Versão 1
Teste Intermédio
Matemática A
Versão 1
Duração do Teste: 90 minutos | 27.05.2009
12.º Ano de Escolaridade
Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março
Na folha de respostas, indique claramente a versão do teste.
A ausência dessa indicação implica a classificação das respostas
aos itens de escolha múltipla com zero pontos.
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 – Página 1
Formulário
Comprimento de um arco de
circunferência
α<
(α amplitude, em radianos, do
ângulo ao centro; < raio)
Probabilidades
. œ B" :" ÞÞÞÞ B8 :8
5 œ ÉB" .# :" ÞÞÞÞ B8 .# :8
Se \ é R Ð.ß 5Ñ, então:
Áreas de figuras planas
Losango:
H3+198+6 7+39< ‚ H3+198+6 7/89<
#
T Ð. 5 \ . 5Ñ ¸ !,')#(
T Ð. #5 \ . #5Ñ ¸ !,*&%&
T Ð. $5 \ . $5Ñ ¸ !,**($
Trapézio: F+=/ 7+39< # F+=/ 7/89< ‚ E6>?<+
Polígono regular: Semiperímetro ‚ Apótema
α <#
(α amplitude,
#
em radianos, do ângulo ao centro; < raio)
Sector circular:
Áreas de superfícies
Regras de derivação
Ð? @Ñw œ ?w @w
Ð?Þ@Ñw œ ?w Þ @ ? Þ @w
w
w
ˆ ? ‰w œ ? Þ @ #? Þ @
@
@
Ð?8 Ñw œ 8 Þ ?8" Þ ?w
Área lateral de um cone: 1 < 1
(< raio da base; 1 geratriz)
Ðsen ?Ñw œ ?w Þ cos ?
Área de uma superfície esférica: % 1 <#
(< raio)
Ðtg ?Ñw œ cos?# ?
"
Pirâmide: $ ‚ Área da base ‚ Altura
"
Cone: $ ‚ Área da base ‚ Altura
%
Esfera: $ 1 <$
Ðcos ?Ñw œ ?w Þ sen ?
w
Ð/ ? Ñ w œ ? w Þ / ?
Ð+? Ñw œ ?w Þ +? Þ ln +
Volumes
(< raio)
Trigonometria
sen Ð+ ,Ñ œ sen + Þ cos , sen , Þ cos +
cos Ð+ ,Ñ œ cos + Þ cos , sen + Þ sen ,
tg + tg ,
tg Ð+ ,Ñ œ "tg + Þ tg ,
Complexos
3 -3= ) 8 œ 38 -3= Ð8 )Ñ
8 3 -3= ) œ È
8 3 -3= ) # 5 1 ß 5 − Ö!ß ÞÞÞß 8 "×
È
8
Ð8 − ‘Ñ
Ð+ − ‘ Ï Ö"×Ñ
w
Ðln ?Ñw œ ??
w
Ðlog + ?Ñw œ ? Þ?ln +
Ð+ − ‘ Ï Ö"×Ñ
Limites notáveis
8
lim Š" 8" ‹ œ /
lim senB B œ "
BÄ!
B
lim / B" œ "
BÄ!
ln ÐB"Ñ
B
BÄ!
lim
ln B
B
BÄ∞
lim
/B
:
B
BÄ∞
lim
œ"
œ!
œ ∞
Ð: − ‘Ñ
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 2
Grupo I
• Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla.
• Em cada um deles, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.
• Escreva na sua folha de respostas apenas o número de cada item e a letra
correspondente à alternativa que seleccionar para responder a esse item.
•
Não apresente cálculos, nem justificações.
• Se apresentar mais do que uma alternativa, ou se a letra transcrita for ilegível, a resposta
será classificada com zero pontos.
1.
Sejam +ß B e C três números reais tais que
log + B œ " & log + C
Qual das igualdades seguintes é necessariamente verdadeira?
2.
(A) B œ + C&
(B) B œ & + C
(C) B œ & C
(D) B œ C&
Sejam +, , , - , e .
as funções reais de variável real definidas por:
+ÐBÑ œ $ ln B
,ÐBÑ œ /B
-ÐBÑ œ "! sen B
.ÐBÑ œ # tg B
Considere que o domínio de cada uma das quatro funções é o conjunto dos números reais
para os quais tem significado a expressão que a define.
Qual é a função cujo gráfico tem mais do que uma assimptota?
(A) A função +
(B) A função ,
(C) A função -
(D) A função .
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 3
3.
Seja 0 a função, de domínio ‘, definida por
Seja
0 ÐBÑ œ B# "
1 a função cujo gráfico é a recta
representada na figura 1.
Seja
2 œ0 1.
Seja 2 w a função derivada da função 2 .
O gráfico da função 2 w
Figura 1
é uma recta. Sejam 7 e ,, respectivamente, o declive e a
ordenada na origem desta recta.
Qual das afirmações seguintes é verdadeira?
4.
(A) 7 ! e , !
(B) 7 ! e , !
(C) 7 ! e , !
(D) 7 ! e , !
Uma certa linha do Triângulo de Pascal tem exactamente nove elementos.
Escolhem-se ao acaso dois desses nove elementos.
Qual é a probabilidade de escolher dois números cujo produto seja igual a ) ?
(A) !
5.
(B)
"
*
(C)
Para um certo número real positivo 3
3 -3= α
(D)
%
*
e para um
certo número real α compreendido entre ! e
o número complexo
#
*
1
# ,
tem por imagem
geométrica o ponto T , representado na figura 2.
Qual é a imagem geométrica do número complexo
3
# -3= # α ?
(A) O ponto E
Figura 2
(B) O ponto F
(C) O ponto G
(D) O ponto H
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 4
GRUPO II
Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e
todas as justificações necessárias.
Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor
exacto.
1.
Seja ‚ o conjunto dos números complexos; 3 designa a unidade imaginária.
Determine
Ð # 3 Ñ# " ' 3 $&
" #3
sem recorrer à calculadora.
Apresente o resultado na forma algébrica.
2.
Efectua-se um único lançamento de um dado tetraédrico, com as faces numeradas de 1 a 4.
Considere que o «número que sai» é o número que está na face que fica voltada para baixo.
O dado não é equilibrado, pelo que os quatro números não têm a mesma probabilidade de sair.
Sejam E e F os acontecimentos seguintes:
E À «sair número ímpar»;
F À «sair número maior do que 2».
Sabe-se que:
• T ÐE ∩ FÑ œ !,%
• T ÐEÑ œ T ÐEÑ
• T ÐE ∪ FÑ œ !,)
Seja \ a variável aleatória «número saído no lançamento efectuado».
Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória \ .
Nota: apresente todas as justificações e todos os cálculos que efectuar na determinação dos
valores das probabilidades.
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 5
3.
De uma função 0 , de domínio ‘, sabe-se que a sua derivada, 0 w , é definida por
0 w ÐBÑ œ Ð#B %Ñ /B
Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora.
3.1. Seja E o ponto de intersecção do gráfico de 0 com o eixo das ordenadas. Sabe-se
que a ordenada deste ponto é igual a ".
Determine a equação reduzida da recta tangente ao gráfico de 0 no ponto E.
3.2. Estude a função 0 quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à
existência de pontos de inflexão.
4.
Considere a função 1, de domínio
Ò
Ú
Ý
# B ln " B B# Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
1ÐBÑ œ Û #
Ý
Ý
Ý
Ý
B"
Ý
Ý
Ý
ÈB "
Ü
Ò
"
# ß ∞ , definida por
"
=/ # Ÿ B "
=/ B œ "
=/ B "
4.1. Verifique se a função 1 é contínua em B œ ", sem recorrer à calculadora.
4.2. Recorrendo às capacidades gráficas da sua calculadora, determine o valor de B
pertencente ao intervalo
Ò
"
# ß"
Ò
tal que
1ÐBÑ œ # 1Ð%Ñ .
Indique o valor pedido arredondado às décimas e apresente o(s) gráfico(s)
visualizado(s) na calculadora.
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 6
5.
Na figura 3 estão representados:
•
uma circunferência de centro S e raio "
•
dois pontos, E e F , sobre a circunferência,
tais que ÒEFÓ é um diâmetro
Þ
•
uma semi-recta SE
•
um segmento de recta ÒT UÓ
Considere que:
•
o ponto T , partindo de E, se desloca sobre
Figura 3
a circunferência, dando uma volta completa, no
sentido indicado pelas setas da figura 3
•
o ponto U se desloca sobre a semi-recta
Þ
SE, acompanhando o movimento do ponto
T , de tal forma que se tem sempre T U œ $
Para cada posição do ponto
T,
seja B
a
amplitude, em radianos, do ângulo orientado que
Þ
Þ
extremidade a semi-recta ST (ver figura 4).
tem por lado origem a semi-recta SE e por lado
Figura 4
Seja
.
a função que, a cada valor de
B
pertencente a Ò!ß #1Ó, associa a distância,
.ÐBÑ, do ponto U ao ponto S.
5.1. Considere as seguintes afirmações sobre a função . e sobre a sua derivada, . w (a
função . tem derivada finita em todos os pontos do seu domínio).
I.
.Ð!Ñ œ # .Ð1Ñ
II.
a B − Ò!ß #1Ó ß . w ÐBÑ !
Elabore uma pequena composição na qual indique, justificando, se cada uma das
afirmações é verdadeira, ou falsa.
Nota: neste item, não defina analiticamente a função . ; a sua composição deve
apoiar-se na forma como esta função foi apresentada (para cada valor de B, tem-se
que .ÐBÑ é a distância do ponto U ao ponto S ).
1
5.2. Defina analiticamente a função . no intervalo Ó !ß # Ò (isto é, determine uma
expressão que dê o valor de .ÐBÑ, para cada B pertencente a este intervalo).
Sugestão: trace a altura do triângulo ÒST UÓ relativa ao vértice T , designe por V o
Þ
ponto de intersecção desta altura com a semi-recta SE, e tenha em conta que
SU œ SV VU .
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COTAÇÕES
Grupo I ....................................... (5 ‚ 10 pontos) .............................50 pontos
Grupo II ..............................................................................................150 pontos
1. ........................................................................................ 20 pontos
2. ........................................................................................ 20 pontos
3. ........................................................................................ 35 pontos
3.1. ....................................................................15 pontos
3.2. ....................................................................20 pontos
4. ........................................................................................ 35 pontos
4.1. ....................................................................20 pontos
4.2. ....................................................................15 pontos
5. ........................................................................................ 40 pontos
5.1. ....................................................................20 pontos
5.2. ....................................................................20 pontos
Teste Intermédio de Matemática A - Versão 1 - Página 8