5
Teorema do Confronto e
Limites Fundamentais
Sumário
5.1
O Teorema do Confronto . . . . . . . . . . . . . . .
2
5.2
O Limite Trigonométrico Fundamental
3
1
. . . . . . .
Unidade 5
O Teorema do Confronto
5.1
O Teorema do Confronto
A noção de limite de uma função f : D → R em um ponto a, com a
propriedade que todo intervalo da forma (a − r, a + r) intersecta D \ {a}, leva
apenas em conta o comportamento de f na proximidade de a, mas não em
a. Isto, em particular, implica que se g : D0 → R é uma outra função, com a
propriedade que todo intervalo da forma (a − r, a + r) intersecta D0 \ {a}, tal
que g(x) = f (x) para todo x 6= a em algum intervalo da forma (a − r0 , a + r0 )
e em D ∩ D0 , então limx→a g(x) existe se e somente se limx→a f (x) existe e,
neste caso, os limites coincidem.
Esta propriedade esclarece ainda mais uma armação do tipo
x2 − 1
= lim (x + 1),
x→1
x→1 x − 1
lim
que zemos anteriormente.
O próximo Teorema, conhecido como propriedade do confronto, é muito útil
para o cálculo de certos limites.
Suponhamos que sejam dadas três funções f : D → R, g : D0 → R e
h : D00 → R e um número real a tais que todo intervalo da forma (a − r, a + r)
intersecta D \ {a}, D0 \ {a} e D00 \ {a}.
Teorema 1
Sejam f, g, h e a como acima e tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo
propriedade do
x 6= a em algum intervalo da forma (a − r0 , a + r0 ) e em D ∩ D0 ∩ D00 . Se
confronto
lim f (x) = lim h(x) = l,
x→a
x→a
então
lim g(x) = l.
x→a
Este resultado é bastante intuitivo, e decorre diretamente do Teorema 8 da
Unidade 2.
Exemplo 1
Vejamos que limx→0 x cos x1 = 0.
Observe que aqui não podemos utilizar a regra do produto do limite, pois
2
limx→0 cos x1 não existe. De fato, se xn = nπ
, temos que (xn ) tende a zero,
2
Teorema do Confronto e Limites Fundamentais
mas
se
se
se
se

1,




0,
1
=
cos
xn 
−1,



0,
Unidade 5
n ≡ 0, mod4,
n ≡ 1, mod4,
n ≡ 2, mod4,
n ≡ 3, mod4.
Apesar disso, o limite existe e vale zero. De fato, como | cos x1 | ≤ 1 para
todo x ∈ R \ {0}, segue que
1
1
x cos = |x| cos ≤ |x|, para todo x ∈ R \ {0}.
x
x
Isto signica que
1
≤ |x|, para todo x ∈ R \ {0}.
x
Como lim (−|x|) = lim |x| = 0, segue do Teorema 1 que
−|x| ≤ x cos
x→0
x→0
lim x cos
x→0
1
= 0.
x
No exemplo acima utilizamos fortemente do fato de lim x = 0 e da função
x→0
1
cos
ser limitada. O resultado a seguir mostra que esse fato é geral e decorre
x
diretamente da Proposição 7 da Unidade 2.
Se f, g : D → R são funções tais que f é limitada (na vizinhança de a) e
lim g(x) = 0, então lim (f g)(x) = 0.
x→a
5.2
x→a
O Limite Trigonométrico Fundamental
sen x
Consideremos a função f : R \ {0} → R denida por f (x) =
. Quex
remos calcular lim f (x). Note que não podemos aplicar a regra do limite do
x→0
quociente já que o limite do denominador é 0.
Este limite é tão importante, que leva o nome de limite trigonométrico fundamental e será estabelecido através de um teorema. Antes, porém, provemos
um lema.
3
Teorema 2
Teorema do
Anulamento
Unidade 5
Lema 3
Demonstração
O Limite Trigonométrico Fundamental
Para todo x ∈ R temos que |sen x| ≤ |x|.
Suponhamos 0 ≤ x ≤ π2 . Pela gura 5.2, temos que o segmento de reta
BC tem comprimento menor do que o arco BC (o menor caminho entre dois
pontos é o segmento de reta que os une).
Figura 5.1: Comparando o seno com o arco.
Portanto, 2 sen x ≤ 2x e, logo, |sen x| ≤ |x| para 0 ≤ x ≤ π2 .
Agora, se x > π2 , temos que
|sen x| ≤ 1 <
π
< x.
2
Por outro lado, se x < 0, então −x > 0 e pelo que acabamos de mostrar,
|sen (−x)| ≤ |−x|, o que em vista da propriedade sen(−x) = −sen x, deduz-se
que |sen x| ≤ |x| para x < 0 também.
Corolário 4
Demonstração
Temos que lim sen x = sen a.
x→a
Temos pela identidade trigonométrica
sen x − sen a = 2 cos
x−a
x+a
sen
2
2
e pelo Lema 3 que
x − a
x + a x − a x − a = |x − a|.
|sen x − sen a| = 2 cos
sen
≤ 2 sen
≤2
2
2
2
2
4
Teorema do Confronto e Limites Fundamentais
Unidade 5
Consequentemente, se (xn ) é uma sequência qualquer que tende para a, a
sequência (sen xn ) tende para sen a.
Mostremos que limx→a cos x = cos a.
De fato, da identidade cos( π2 − x) = sen x, da regra de substituição e do
Corolário 4, obtemos o desejado.
Tem-se que
Teorema 5
Limite Fundamental
sen x
= 1.
lim
x→0
x
Provemos, inicialmente, que
Demonstração
lim+
x→0
sen x
= 1.
x
De fato, consideremos 0 < x < π2 , e comparemos as áreas dos triângulos
OAB e ODC e do setor circular ODB (ver a Figura 5.2).
C
B
x
0
A
D
1
Figura 5.2: Comparando áreas.
Como
obtemos
Exemplo 2
Área do triângulo OAB = sen x2cos x ,
Área do setor circular ODB = x2 ,
x
Área do triângulo ODC = tg2x = 12 sen
,
cos x
x
1 sen x
sen x cos x
< <
.
2
2
2 cos x
5
Unidade 5
O Limite Trigonométrico Fundamental
Como sen x > 0 para 0 < x < π2 , segue que
cos x <
x
1
<
.
sen x
cos x
Mas, pela propriedade dos limites de quocientes, temos
lim+
x→0
1
1
1
=
= = 1.
cos x
lim+ cos x
1
x→0
Agora, pela propriedade do confronto, obtemos que
lim+
x→0
x
= 1.
sen x
Portanto,
lim+
x→0
sen x
= lim+
x→0
x
Mostremos agora que lim−
x→0
1
1
1
x =
x = 1 = 1.
lim
x→0+ sen x
sen x
sen x
= 1.
x
De fato, como sen(−x) = −sen x para todo x ∈ R (a função seno é ímpar),
podemos escrever para x < 0,
sen x
−sen x
sen(−x)
=
=
,
x
−x
−x
onde −x > 0. Logo,
lim−
x→0
sen x
sen(−x)
sen y
= lim−
= lim+
= 1.
x→0
y→0
x
−x
y
Em resumo, temos
lim−
x→0
Consequentemente,
sen x
sen x
= lim+
= 1.
x→0
x
x
sen x
= 1,
x→0
x
lim
como queríamos demonstrar.
6
Teorema do Confronto e Limites Fundamentais
tg x
= 1.
x→0 x
De fato, como cos x 6= 0 para todo x ∈ − π2 , π2 , podemos escrever
Mostremos que lim
Unidade 5
Exemplo 3
tg x
sen x
1
=
·
x
x
cos x
π π
para todo x ∈ − 2 , 2 , x 6= 0. Pelo limite fundamental, temos que
tg x
sen x
1
lim
= lim
lim
= 1 × 1 = 1.
x→0 x
x→0
x→0 cos x
x
1 − cos x
= 0.
x→0
x
De fato, observemos inicialmente que 1 + cos x 6= 0 para todo x ∈ − π2 , π2 .
Assim, para todo x ∈ − π2 , π2 , x 6= 0, tem-se:
Mostremos que lim
1 − cos x
(1 − cos x)(1 + cos x)
=
=
x
x(1 + cos x)
1 − cos2 x
=
=
x(1 + cos x)
=
sen2 x
=
x(1 + cos x)
= sen x ·
Como
sen x
1
·
.
x
1 + cos x
lim (1 + cos x) = 1 + lim cos x = 1 + 1 = 2,
x→0
x→0
temos que
1
1
= .
x→0 1 + cos x
2
Portanto, pelo limite fundamental,
1 − cos x
1
sen x
lim
= lim sen x lim
lim
=
x→0
x→0
x→0
x→0 1 + cos x
x
x
lim
=0×1×
1
= 0.
2
7
Exemplo 4
Unidade 5
Exemplo 5
O Limite Trigonométrico Fundamental
1 − cos x
1
.
=
x→0
x2
2
Realmente, como 1 + cos x 6= 0 para todo x ∈ − π2 , π2 , podemos escrever
Mostremos que lim
sen x 2
1 − cos x
1
sen2 x
1
=
=
2
2
x
x 1 + cos x
x
1 + cos x
para todo x ∈ − π2 , π2 , x 6= 0.
Portanto, pelo limite fundamental,
2
1 − cos x
1
sen x
lim
· lim
=
= lim
2
x→0
x→0 1 + cos x
x→0
x
x
sen x
sen x
1
= lim
lim
lim
=
x→0
x→0
x→0 1 + cos x
x
x
=1×1×
1
1
= .
2
2
8
Teorema do Confronto e Limites Fundamentais
1.
1
Calcule lim x sen .
x→0
x
2.
Calcule lim (xn − an ) cos
3.
4.
x→a
Calcule
sen ax
a) lim
;
x→0
bx
1
.
x−a
b) lim
x→0
sen ax
.
sen bx
Calcule os seguintes limites:
sen(x − 1)
;
x→1
x2 − 1
sen(x3 − 1)
;
(b) lim
x→1
x2 − 1
sen(xn − 1)
(c) lim
.
x→1
xm − 1
sen ax
Calcule lim
.
x→0 tg bx
1
1
−
Calcule lim
.
x→0
sen x tg x
π
− x tg x.
Calcule limπ
x→ 2
2
(a) lim
5.
6.
7.
8.
Calcule limπ
x→ 4
cos x − sen x
.
tg x
9
Unidade 5
Unidade 5
O Limite Trigonométrico Fundamental
10