Integração numérica
Primitive
 Se f(x) é uma função contínua em [a,b], então esta
função tem uma primitiva neste intervalo, ou seja
existe F(x) tal que F’(x)=f(x).
b
 Assim:
f ( x)dx  F (b)  F (a)

a
 Não é sempre fácil achar uma primitiva, existe
ainda o caso em que f(x) é conhecida em apenas
alguns pontos: uma forma de obter a integral é
através de métodos numéricos.
Propriedades
 Para determinar primitivas, certas
propriedades ajudam:
b
b
b
a
a
a
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
b
c
c
a
b
a
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b
b
a
a
  f ( x)dx    f ( x)dx
Pirmitivas conhecidas
 Além disso, existem primitivas conhecidas
de algumas funções:
x2
 x  2  cste
n 1
x
n
x
  n  1  cste
 sin x   cos x  cste
 cos x  sin x  cste
1
 x  ln x  cste
x
x
e

e
 cste

Propriedade
 Existem também, métodos:

Integração por parte:
 ( f ( x) g '( x))dx  f ( x) g ( x)   f '( x) g ( x)dx

Troca de variável:
 ( g '( x) f '( g ( x))dx  f ( g ( x))
Determinação de primitivas
 tgxdx
  ln cos x  cste
 sin
x sin 2 x
 
 cste
2
2
cos5 x cos3 x


5
3
x3 ln x x 3


3
3
2
xdx
3
2
sin
x
cos
xdx

2
x
 ln xdx
2 2x
x
 e dx
 x 2e x  2 xe x  2e x
x
e
 cos xdx
e x cos x  e x sin x

2
Fórmula de Newton-Cotes
 Nas fórmulas de Newton-Cotes, em vez de integrar
a função, integramos um polinômio interpolador.
 Com uma partição do intervalo [a,b] em
subintervalos de comprimento h: [xi,xi+1], i=0,...,n,
podemos escrever:
b
xn
n
 f ( x)dx   f ( x)dx  A f ( x )
a
x0
i 0
i
i
 Onde Ai, são coeficientes de acordo com o
polinômio interpolador.
Regra dos trapézios
 Usamos a fórmula de Lagrange para
expressar o polinômio de grau 1, p1(x) que
interpola f em x0 e x1.
 Temos:
b

a
f ( x)dx 
b  x1

a  x0
f ( x)dx
h
( f ( x0 )  f ( x1 ))
2
Regra dos trapézios
 A regra dos trapézios
consiste em
aproximar a integral
da função no
intervalo [a,b] com a
area do trapézio
delimitado pelos
pontos (a,0), (b,0),
(a, f(a)), (b,f(b)).
Regra dos trapézios repetida
 Para diminuir o erro cometido na
aproximação da integral, podemos subdividir
o intervalo inicial e aplicar a regra dos
trapézios para cada subintervalo.
 Temos:
b
 f ( x)dx
a
h
( f ( x0 )  2( f ( x1 )  ..  f ( xn1 ))  f ( xn ))
2
Regra 1/3 de Simpson
 No caso da regra 1/3 de Simpson, o
polinômio escolhido para aproximar a função
é o polinômio de Lagrange de grau 2.
 Temos:
b  x2

a  x0
f ( x)dx
h
( f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 ))
3
Regra 1/3 de Simpson
 No caso da regra 1/3
de Simpson, a
integral é
aproximada pela
integral da curva de
segundo grau que
interpola a função
nos valores a,
(a+b)/2 e b.
Regra 1/3 de Simpson repetida
 Como no caso da regra dos trapézios, para diminuir
o erro cometido na aproximação da integral,
podemos subdividir o intervalo inicial em n
intervalos de mesmo comprimento. Para poder
aplicar 1/3 de Simpson, a condição é que n seja par.
b
h
 Temos:
a f ( x)dx 3 [ f ( x0 )  f ( xn )
4( f ( x1 )  f ( x3 )..  f ( xn 1 ))
2( f ( x2 )  f ( x4 )  ...  f ( xn  2 )
Erros cometidos
 O calculo de erro apóia-se sobre o erro
conhecido dos polinômios de interpolação:
 Grau 1:
f "( x )
E1 ( x)  ( x  x0 )( x  x1 )
,  x  ( x0 , xn )
 Grau 2:
2
f '''( x )
E2 ( x)  ( x  x0 )( x  x1 )( x  x2 )
,  x  ( x0 , xn )
6
Erro cometido: caso grau 1
 O erro cometido é a integral sobre o intervalo
do erro cometido aproximando a função com
o polinômio de grau 1:
x
f "( x )
ET   ( x  x0 )( x  x1 )
dx,  x  ( x0 , xn )
1
x0
2
 Podemos mostrar que:
h3
ET  m2 ; m2  max f "( x)
x[ x0 , x1 ]
12
Erro cometido: caso grau 1
 No caso da regra dos trapézios repetida,
temos:
h3
ba
ETR  m M 2 ; M 2  max f "( x) e m 
x[ a ,b ]
12
h
Erro cometido: caso grau 2
 No caso da regra de Simpson, podemos
mostrar que:
h5
( iv )
ES  m4 ; m4  max f ( x)
x[ x0 , x2 ]
90
 Que no caso repetido, da um erro:
ESR
h5
ba
( iv )
m
M 4 ; M 4  max f ( x) e m 
x[ a ,b ]
180
h
Exemplo
1
I   e x dx
0
 Calcular uma aproximação de I usando a
regra dos trapézios e a regra 1/3 de Simpson.
 Avaliar os erros cometidos nos dois casos.
 Determinar m para ter um erro inferior a 10-3
Teorema geral do erro
 Seja f um função n+2 continuamente
derivável. A integração numérica usando a
fórmula de Newton-Cotes é:

En 

En 
Se né impar:
h
f
( )
u(u  1)...(u  n)du,  [a, b]

(n  1)! 0
n2
( n 1)
n
Se n é par:
h
f
( )
n
(u  )u(u 1)...(u  n)du,  [a, b]

(n  2)! 0
2
n 3
( n  2)
n