Cálculo Numérico
Integração Numérica
Prof. Jorge Cavalcanti – [email protected]
MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO
NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/
Integração Numérica
Em determinadas situações, integrais são
difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver
analiticamente.
Exemplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em
alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não
se conhece a expressão analítica de f(x), não é
b
possível calcular
∫ f ( x)dx
a
Forma de obtenção de uma aproximação para a
integral de f(x) num intervalo [a, b] ⇒ Métodos
Numéricos.
2
Integração Numérica
Idéia básica da integração
numérica ⇒ substituição da
função f(x) por um polinômio
que a aproxime razoavelmente
no intervalo [a, b].
Integração numérica de
uma função f(x) num
intervalo [a,b] ⇒ cálculo da
área delimitada por essa função,
recorrendo à interpolação
polinomial, como, forma de
obtenção de um polinômio –
pn(x).
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Integração Numérica
Fórmulas de Newton-Cotes –São fórmulas de integração
do tipo:
b
∫ f ( x)dx ≈ A
0
f ( x0 ) + A1 f ( x1 ) + ... + An f ( xn ),
a
xi ∈ [a,b],i = 0 ,1,...,n
Fórmulas de integração (fórmulas de quadratura):
n
I n ( f ) = ∑ Ai f ( xi )
i =0
x0 , ... , xn - pontos conhecidos, pertencentes ao intervalo [a, b]
(nós de integração).
A0 , ... , An - coeficientes a determinar, independentes da função f (x)
(pesos).
4
Integração Numérica
O uso desta técnica decorre do fato de:
por
vezes, f(x) ser uma função muito difícil de
integrar, contrariamente a um polinômio;
conhecer-se
o resultado analítico do integral, mas,
seu cálculo é somente aproximado;
a
única informação sobre f(x) ser um conjunto de
pares ordenados.
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Integração Numérica
Métodos de integração numérica mais
utilizados
Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas
dos Trapézios, x0=a e xn=b.
Regra 1/3 de Simpson
Regra
Fórmulas de Newton-Cotes Abertas
os
xi têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b
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Regra dos Trapézios
Regra
dos Trapézios Simples - consiste em
considerar um polinômio de primeiro grau que
aproxima uma função f(x), ou seja, n=1.
polinômio terá a forma y=a0 + a1x e trata-se
da equação que une dois pontos: a=x0 e b=x1.
Este
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Regra dos Trapézios Simples
Área do trapézio: A=h . (T+t) /2
f(x)
h
- altura do trapézio
t - base menor
f(x1)
T - base maior
De acordo com a figura:
f(x0)
h= b – a = x1 – x0
t = f(b) = f(x1)
T = f(a) = f(x0)
Logo,
x1
∫
x0
p1(x)
P0
a = x0
h = b-a
h
f ( x)dx ≈ [ f ( x0 ) + f ( x1 )]
2
b = x1
8
Regra dos Trapézios
Exercício: Estimar o valor de:
3,6
dx
I= ∫
x
3,0
Pela regra dos trapézios simples e depois verificar o valor exato da
integral.
a)
Pela Regra dos Trapézios Simples:
I = h/2 [f(x0) + f(x1)]
h= x0 - x1 = 3,6 – 3,0 = 0,6
f(x) = 1/x, f(x0) = 1/3 e f(x1) = 1/3,6
b)
I=0,6/2 (1/3 + 1/3,6) = 0.18333
Pelo Cálculo Integral:
3,6
3,6
I=
dx
∫ x
3,0
= ln (x)
= ln (3,6) – ln (3,0) = 0,18232
3,0
9
Regra dos Trapézios Simples
Intervalo [a, b] relativamente pequeno
aproximação do valor do integral é aceitável.
Intervalo [a, b] de grande amplitude
aproximação defasada.
pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em cada um a
função é aproximada por uma função linear.
A amplitude dos sub-intervalos será h=(b-a)/n .
A integral no intervalo é dado pela soma dos integrais
definidos pelos sub-intervalos.
Regra dos trapézios simples aplicada aos sub-intervalos.
Uso da Regra dos Trapézios Composta (Repetida):
soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu
sub-intervalo.
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Regra dos Trapézios Composta (Repetida)
Intervalo [a, b] de grande amplitude.
Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo
seu sub-intervalo.
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A Regra aproxima pequenos trechos da curva y = ƒ(x) por
segmentos de reta. Para fazer uma aproximação para a integral
de f de a até b, somamos as áreas ‘assinaladas’ dos trapézios
obtidos pela união do final de cada segmento com o eixo x.
É interessante observar que aproximar a área sob a função pela
soma de áreas de trapézios é o equivalente a:
realizar interpolação linear de f(x), ou seja, ligar os pontos
(xn, yn) com retas.
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Regra dos Trapézios Composta (Repetida)
Fórmula:
xm
∫
x0
h
h
f ( x)dx ≈ [ f ( x0 ) + f ( x1 )] + [ f ( x1 ) + f ( x2 )]
2
2
h
+ ... + [ f ( xN −1 ) + f ( xN )]
2
xN
∫
x0
Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim, esta
fórmula pode ser simplificada em:
h
f ( x)dx ≈ { f ( x0 ) + 2[ f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xN −1 )] + f ( xN )}
2
13
Regra dos Trapézios Composta (Repetida)
3,6
dx
Exercício: Estimar o valor de: I = ∫
x
3,0
Pela regra dos trapézios repetida, subdividindo o intervalo em 6
subintervalos.
x
f(x)=1/x
3.0
0,3333
a=3,0; b=3,6; f(x) = 1/x
3.1
0,3225
h= (b-a)/n = (3,6 – 3,0)/6 = 0,6/6 = 0.1
3.2
0,3135
ITR= h/2 [f(x0) + 2[f(x1)+f(x2)+f(x3)+ f(x4)+f(x5)]+f(x6)]
3.3
0,3030
ITR= 0,18235
3.4
0,2941
3.5
0,2857
3.6
0,2778
14
Regra dos Trapézios
4
Exemplo: Estimar o valor de
2 −1 / 2
(
1
+
x
) dx
∫
0
para 02 pontos (Trapézio Simples), 3 e 9 pontos (Repetida)
Regra dos Trapézios Simples
- 2 pontos (x0=0.0 e x1=4.0,
h=4)
I=h/2(y0+y1)=2x(1.00000+0.2
4254) = 2.48508
Regra dos Trapézios
Composta - 3 pontos
(xaproximação
h=(bA
0=0.0,x1 =2.0,x
para 9 pontos
2 =4.0,
é melhor,
dado
a)/nque
=2o valor real é 2.0947.
I=h/2(y +2y +y =1x(1.00000+
x
y=(1+x²)-1/2
0.0
1.00000
0.5
0.89445
1.0
0.70711
1.5
0.55475
2.0
0.44722
2.5
0.37138
3.0
0.31623
3.5
0.27473
4.0
0.24254
15
Regra de 1/3 de Simpson
b
Seja I= ∫a f ( x)dx . Para este caso vamos considerar
novamente uma subdivisão do intervalo [a,b] em um
número de subintervalos n (par).
A Regra de Simpson faz aproximações para pequenos
trechos de curvas usando arcos parabólicos.
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Regra de 1/3 de Simpson
Novamente, podemos usar a fórmula de Lagrange para
estabelecer a fórmula de integração resultante da
aproximação de f(x) por um polinômio interpolador de
grau 2.
Seja p2(x) que interpola f(x) nos pontos:
x0 = a
x1 = x0 + h
x2 = x0 + 2h = b
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Regra de 1/3 de Simpson
O Polinômio de Lagrange de grau 2 que estabelece a
função de interpolação de f(x) nos pontos [xi,f(xi)] será:
P2(x)=L0(x)f(x0) + L1(x)f(x1)+ L2(x)f(x2)
(x − x 0 )(x − x2 )
(x − x1 )(x − x2 )
L1(x) =
L 0 (x) =
(x1 − x 0 )(x1 − x 2 )
(x 0 − x1 )(x 0 − x2 )
(x − x 0 )(x − x1 )
L 2 (x) =
(x2 − x 0 )(x2 − x1 )
x0 = a; x1 = x0 + h;
x2 = x0 + 2h = b
(x0 - x1) = a – (a+h) = -h
(x0 – x2) = a – (a+2h) = -2h
(x1 – x0) = (a+h) - a = h
(x1 – x2) = (a+h) – (a+2h)= -h
(x2 – x0) = (a+2h)-a = 2h
(x2 – x1) = (a+2h)-(a+h) = h
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Regra de 1/3 de Simpson
O Polinômio será:
P2 (x) =
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x 0 )(x − x2 )
(x − x 0 )(x − x1 )
f(x 0 ) +
f(x1 ) +
f(x2 )
(−h)(−2h)
(h)(−h)
(2h)(h)
Então se f(x) ≅ p2(x):
x2
b
x
f(x 0 ) 2
∫ f(x)dx ≈ ∫ p2(x)dx = 2h2 ∫ (x − x1)(x − x2 )dx −
a
x0
x0
x
x
f(x1 ) 2
f(x2 ) 2
−
(x − x 0 )(x − x 2 )dx +
(x − x 0 )(x − x1 )dx = IS
∫
2
2 ∫
h x0
2h x0
19
Regra de 1/3 de Simpson
As integrais podem ser resolvidas, por exemplo, usando a
mudança das variáveis x – x0 = zh.
Assim, dx = hdz, x = x0 + zh, então
x – x1 = x0 + zh – (x0 + h) = (z – 1)h
x – x2 = x0 + zh – (x0 + 2h) = (z – 2)h
e, para
x = x0 , z = 0;
x = x1 , z = 1;
x = x2 , z = 2;
Após essas mudanças:
2
2
2
f(x 0 )h
f(x 2 )h
IS =
(
z
−
1
)(
z
−
2
)
dz
−
f
(
x
)
h
(
z
)(
z
−
2
)
dz
+
h∫ (z)(z − 1)dz
1
∫
∫
2
2
0
0
0
20
Regra de 1/3 de Simpson
Resolvendo as integrais, obtemos a Regra de 1/3 de
Simpson:
x2
h
∫x f(x)dx ≈ 3 [f(x 0 ) + 4f(x1 ) + f(x2 )]
0
h
Is = [f(x 0 ) + 4f(x1 ) + f(x2 )]
3
21
Regra de 1/3 de Simpson
Exercício: Estimar o valor de:
3,6
dx
I= ∫
x
3,0
Pela Regra de 1/3 de Simpson (com dois intervalos) e comparar
com o valor exato da integral.
a)
Pela Regra de 1/3 de Simpson:
IS= h/3 [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
h= (x0 - x1)/2 = (3,6 – 3,0) = 0,6/2 = 0,3
f(x) = 1/x; f(x0) = 1/3,0; f(x1) = 1/3,3 e f(x2) = 1/3,6;
b)
IS =0,3/3 (1/3 +4*(1/3,3) + (1/3,6) = 0.18232
Pelo Cálculo Integral:
3,6
3,6
I=
dx
∫ x
3,0
= ln (x)
= ln (3,6) – ln (3,0) = 0,18232
3,0
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Regra de 1/3 de Simpson Repetida
Pela Regra de Simpson, forma necessários 3 pontos para
a interpolação de Lagrange, o que significou a divisão do
intervalo de integração em 2 subintervalos.
A Regra de Simpson Repetida consiste em
subdividirmos o intervalo [a, b] em n subintervalos de
amplitude h, onde h é um número par de subintervalos,
pois cada parábola utilizará 03 pontos consecutivos.
23
Regra de 1/3 de Simpson Repetida
Aplica-se então a regra para cada 03 pontos, isto é, a
cada 2 subintervalos obtendo:
b
xm
m 2
x0
k =1
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx ≈ ∑ ∫
a
x2 k
x2k −2
f ( x )dx =
h
= {[f ( x0 ) + 4f ( x1 ) + f ( x 2 )] + [f ( x 2 ) + 4f ( x3 ) + f ( x 4 )] + K +
3
+ [f ( x m −2 ) + 4f ( x m −1 ) + f ( x m )]}
h
∫x0 f ( x )dx ≈ 3 {[f ( x0 ) + f ( xm )] + 4[f ( x1 ) + f ( x3 ) + K + f ( xm−1 )] +
+ 2[f ( x 2 ) + f ( x 4 ) + K + f ( x m −2 )]} = ISR
xm
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Exemplo
x
f(x)
A
Af(x)
5
1,00 0,0000 1 0,0000
Calcular ln(x)dx usando a regra de Simpson,
∫
1
usando 10 sub-intervalos.
5 −1
h=
= 0,4
10
h
∫x0 f(x)dx ≈ 3 {[f(x0 ) + f(xm )] +
+ 4[f(x1 ) + f(x 3 ) + K + f(x m −1 )] +
xm
+ 2[f(x2 ) + f(x 4 ) + K + f(x m − 2 )]}
h
∫x 0 f ( x )dx ≈ 3 ∑ Af ( x )
0 ,4
=
⋅ 30,3522
= 4,0470
3
xm
1,40 0,3365 4 1,3459
1,80 0,5878 2 1,1756
2,20 0,7885 4 3,1538
2,60 0,9555 2 1,9110
3,00 1,0986 4 4,3944
3,40 1,2238 2 2,4476
3,80 1,3350 4 5,3400
4,20 1,4351 2 2,8702
4,60 1,5261 4 6,1042
5,00 1,6094 1 1,6094
∑ Af(x) = 30,3522
25
Exercício
3
Calcular
x
(
xe
+ 1)dx usando a regra de
∫
0
Simpson, para 2, 4 e 6 sub-intervalos.
26