Integração Numérica
Simpson – Erro nos métodos
Prof. Rafael Mesquita
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Método de Simpson

“O método de Simpson se propõe a dar uma
melhor precisão uma vez que são usadas partes
de parábolas para aproximar a curva a ser
integrada.”
Método de Simpson
“Neste caso n tem que ser par, pois são somados
dois subintervalos por vez.”
 Usando o método de Newton-Cotes no intervalo
𝒙𝟎 ; 𝒙𝟐 temos


𝒙2
𝒇
𝒙𝟎
𝒙 𝒅𝒙 =
2
2
𝐶
𝑘=0 𝑘
𝑓 𝑥𝑘 + 𝑇
Método de Simpson
Método de Simpson
Método de Simpson

Outro caminho:
– Encontrar o polinômio e integrá-lo.
Método de Simpson
Método de Simpson
Exemplo 6.2
Exemplo 6.2 - Solução
Exercício

Usando a regra de Simpson para 7 pontos,
calcular:

Solução
Exercício – Solução
Erros nos métodos dos trapézios e de Simpson

Objetivo
– Determinar um valor máximo para o erro cometido em
cada um dos métodos
Erros nos métodos dos trapézios e de Simpson

No método dos trapézios

𝒏𝒉𝟑
𝑴𝟐
𝟏𝟐
|𝑻𝒕 | ≤
– 𝑛: número de subintervalos utilizados
– ℎ: distância entre cada par de pontos consecutivos
𝑚á𝑥
– 𝑀2 =
|𝑓′′(𝑚)|
𝑥0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑥𝑛
Erros nos métodos dos trapézios e de Simpson

No método de Simpson

𝒏𝒉𝟓
𝑴𝟒
𝟏𝟖𝟎
|𝑻𝒕 | ≤
– 𝑛: número de subintervalos utilizados
– ℎ: distância entre cada par de pontos consecutivos
𝑚á𝑥
– 𝑀4 =
|𝑓 (𝑖𝑣) (𝑚)|
𝑥0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑥𝑛
Erros nos métodos dos trapézios e de Simpson



Exemplo:Determine os erros cometidos pelos
métodos dos trapézios e de simpson no cálculo da
𝟎,𝟔 𝒙
integral 𝟎,𝟎 𝒆 𝒅𝒙 usando 7 pontos no intervalo
[0,0;0,6]:
Trapézios:
|𝑻𝒕 | ≤
𝒏𝒉𝟑
𝑴𝟐
𝟏𝟐
𝑚á𝑥
– 𝑀2 =
𝑓 ′′ 𝑚
𝑥0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑥𝑛


|𝑻𝒕 | ≤
𝟔×𝟎,𝟏𝟑 ×𝒆𝟎,𝟔
𝟏𝟐
𝑻𝒕 ≤ 𝟗, 𝟏𝟏𝟎𝟓𝟗𝟒𝟎 × 𝟏𝟎−𝟒
= 𝑒 0,6
Erros nos métodos dos trapézios e de Simpson



Exemplo:Determine os erros cometidos pelos
métodos dos trapézios e de simpson no cálculo da
𝟎,𝟔 𝒙
integral 𝟎,𝟎 𝒆 𝒅𝒙 usando 7 pontos no intervalo
[0,0;0,6]:
Simpson:
|𝑻𝒕 | ≤
𝒏𝒉𝟓
𝑴𝟒
𝟏𝟖𝟎
– 𝑀4 =


|𝑻𝒕 | ≤
𝑚á𝑥
𝑓 (𝑖𝑣) 𝑚
𝑥0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑥𝑛
𝟔×𝟎,𝟏𝟓 ×𝒆𝟎,𝟔
𝟏𝟖𝟎
𝑻𝒕 ≤ 𝟔, 𝟎𝟕𝟑𝟕𝟐𝟗𝟒 × 𝟏𝟎−𝟕
= 𝑒 0,6
Referências


Santos, J.D.; Silva, Z. C. Métodos Numéricos, Ed.
Universitária UFPE. 3ª ed. Recife-PE, 2010.
Cuminato, J.A. Cálcuo Numérico. Notas de Aula
ICMC/USP. Disponível em:
http://www.ceunes.ufes.br/downloads/2/riedsonbApostila%20-%20Cuminato.pdf