Integração Numérica
Prof. Rafael Mesquita
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Integração Numérica

Problemas resolvidos pelo cálculo de integral
definida
– Determinação de áreas
– Determinação de volumes
– ...

Mas, mem sempre o cálculo de integrais pode ser
feito analiticamente...
– Buscamos uma solução numérica
– Duas situações possíveis:
 Função a ser integrada é desconhecida
– Temos apenas uma tabela de pontos
 Função é conhecida, mas a determinação de sua integral
não é trivial (ou é impossível)
Integração Numérica

Fórmulas de Newton-Cotes
– Integra o polinômio interpolador que substitui a função 𝑓
 Aproximação
– Intervalo de integração [𝑎; 𝑏] é dividido em partes iguais
 𝑥𝑘 = 𝑥0 + 𝑘ℎ, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛
– Podemos então construir a tabela (𝑥𝑖 ; 𝑓(𝑥𝑖 ))
 A partir da tabela a função 𝑓 é interpolada para calcular o
𝑏
valor aproximado de 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Integração Numérica

Fórmulas de Newton-Cotes
– Idéia geral: Integrar o polinômio interpolador da função 𝑓

Intervalo [a;b] é dividido em
partes iguais
– 𝑥𝑘 = 𝑥0 + 𝑘ℎ, 𝑘 = 1, … 𝑛


𝑃(𝑥) interpola 𝑓 em
[a;b]
Calculamos a area...
𝒃
𝒙𝒏
𝒇
𝒙
𝒅𝒙
=
𝒇
𝒂
𝒙𝟎
𝒙𝒏
 =
𝑷 𝒙 +𝑹 𝒙
𝒙𝟎

𝑃(𝑥)
𝑓
𝒙 𝒅𝒙 =
𝒅𝒙
𝑎 = 𝑥0
𝑥1
𝑥2 …
𝑏 = 𝑥𝑛
Integração Numérica

Fórmulas de Newton-Cotes
–
𝑏
𝑓
𝑎
𝑥 𝑑𝑥 =
 𝑃 𝑥 =
𝑛
 𝐿𝑘 =
𝑥𝑛
𝑓
𝑥0
𝑛
𝑛
𝐿
𝑘=0 𝑘
𝒙−𝒙𝒋
𝒏
𝒋=𝟎 𝒙 −𝒙
𝒌
𝒋
𝒋≠𝒌
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛
[𝑃
𝑥0
𝑥 + 𝑅(𝑥)]𝑑𝑥
𝑥 𝑓(𝑥𝑘 ) => polinômio lagrange
– Assim,
–
𝑥𝑛
𝑓
𝑥0
– =
𝑥𝑛
𝑥0
– =
𝑥𝑛
𝑥0
– =
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥𝑛
[𝑃
𝑥0
𝑛
𝑛
𝐿
𝑘=0 𝑘
𝑛
𝑛
𝐿
𝑘=0 𝑘
𝑥𝑛 𝑛
𝑛
[
𝑘=0 𝑥0 𝐿𝑘
𝑥 + 𝑅(𝑥)]𝑑𝑥
𝑥 𝑓(𝑥𝑘 ) + 𝑅 𝑥 𝑑𝑥
𝑥 𝑓(𝑥𝑘 ) 𝑑𝑥 +
𝑥𝑛
𝑅
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥 × 𝑓(𝑥𝑘 )] +
𝑥 𝑑𝑥
𝑥𝑛
𝑅
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥
Integração Numérica

Fórmulas de Newton-Cotes
𝑥𝑛 𝑛
𝑛
𝑘=0[ 𝑥0 𝐿𝑘
– =
𝑥 𝑑𝑥 × 𝑓(𝑥𝑘 )] +
𝑥𝑛
𝑅
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥
– Definindo que
𝑛
– 𝐶𝑘
=
– 𝑇=
𝑥𝑛 𝑛
𝐿
𝑥0 𝑘
𝑥𝑛
𝑅
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥 , 𝑘 = 0,1, … , 𝑛 e
𝑥 𝑑𝑥, temos o método de Newton-Cotes
generalizado:
–
𝑥𝑛
𝑓
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑛
𝑛
𝐶
𝑘=0 𝑘
𝑓 𝑥𝑘 + 𝑇
Integração Numérica

Fórmulas de Newton-Cotes
𝑛
– Para obter 𝐶𝑘 , faremos uma mudança de variável, onde
𝑥 = 𝑥0 + 𝑧ℎ e teremos novos limites de integração:
– Para 𝑥 = 𝑥0 ⇒ 𝑧 = 0
–
𝑥 = 𝑥𝑛 ⇒ 𝑧 = 𝑛 , pois z =
𝑥−𝑥0
ℎ
– Como
–
𝒙−𝒙𝒋
𝒏
=
𝑥 𝑑𝑥 =
𝒋=𝟎 𝒙 −𝒙 𝑑𝑥
𝒌
𝒋
𝒋≠𝒌
𝑥𝑛 𝑥−𝑥0 𝑥−𝑥1
𝑥−𝑥𝑘−1 𝑥−𝑥𝑘+1
𝑥−𝑥𝑛
…
…
𝑑𝑥
𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥1
𝑥𝑘 −𝑥𝑘−1 𝑥𝑘 −𝑥𝑘+1
𝑥𝑘 −𝑥𝑛
𝑛
𝐶𝑘
– =
𝑥𝑛 𝑛
𝐿
𝑥0 𝑘
𝑥𝑛
𝑥0
Integração Numérica

Fórmulas de Newton-Cotes
–
–
–
𝑥𝑛 𝑥−𝑥0 𝑥−𝑥1
𝑥−𝑥𝑘−1 𝑥−𝑥𝑘+1
𝑥−𝑥𝑛
= 𝑥
…
…
𝑑𝑥
𝑥𝑘 −𝑥𝑘−1 𝑥𝑘 −𝑥𝑘+1
𝑥𝑘 −𝑥𝑛
0 𝑥𝑘 −𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥1
𝑥−𝑥0
Como 𝑧 =
, temos que
ℎ
𝑥−𝑥0
𝑥−𝑥0
𝑧
=
=
𝑥𝑘 −𝑥0
𝑘ℎ
𝑘
𝑛
𝐶𝑘
– De forma genérica, temos que
–
𝑥−𝑥𝑖
𝑥−(𝑥0 +𝑖ℎ)
=
𝑥𝑘 −𝑥𝑖
𝑘−𝑖 ℎ
𝑖
𝑧−𝑖
=
𝑘−𝑖
𝑘−𝑖
=
𝑥−𝑥0 −𝑖ℎ
𝑘−𝑖 ℎ
=
𝑥−𝑥0
𝑘−𝑖 ℎ
−
𝑖ℎ
𝑘−𝑖 ℎ
=
𝑧
𝑘−𝑖
−
Integração Numérica

Fórmulas de Newton-Cotes
– Assim, aplicando a mudança de variável onde 𝑥 =
𝑥0 + 𝑧ℎ e 𝑑𝑥 = ℎ𝑑𝑧, teremos que
–
𝑛
𝐶𝑘
𝑛
– 𝐶𝑘
=
𝑥𝑛 𝑥−𝑥0 𝑥−𝑥1
𝑥−𝑥𝑘−1 𝑥−𝑥𝑘+1
𝑥−𝑥𝑛
…
…
𝑑𝑥
𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥0 𝑥𝑘 −𝑥1
𝑥𝑘 −𝑥𝑘−1 𝑥𝑘 −𝑥𝑘+1
𝑥𝑘 −𝑥𝑛
=ℎ
𝑛 𝑧 𝑧−1
𝑧−𝑘+1 𝑧−𝑘−1
𝑧−𝑛
…
…
𝑑𝑧
0 𝑘 𝑘−1 𝑘−𝑘+1 𝑘−𝑘−1 𝑘−𝑛
– De forma mais sintética, temos que:
–
𝑥𝑛 𝑛
𝐿
𝑥0 𝑘
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑛
𝐶𝑘
=
−1 𝑛−𝑘 .ℎ 𝑛 𝜋𝑛 (𝑧)
𝑑𝑧,
𝑘! 𝑛−𝑘 ! 0 𝑧−𝑘
– Com 𝜋𝑛 = 𝑧 𝑧 − 1 𝑧 − 2 … (𝑧 − 𝑛)
Método dos trapézios

Calcula a área sob uma curva como uma série de
trapézios
– Substitui, em cada subintervalo [𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1 ], a função 𝑓 por
uma reta
– Calcula-se a área de cada trapézio e, em seguida,
soma-se cada área
Método dos trapézios
𝑓
𝑎 = 𝑥0
𝑥1
𝑥2 …
𝑏 = 𝑥𝑛
Método dos trapézios

Soma de cada subintervalo
–

𝒙𝒏
𝒇
𝒙𝟎
𝒙 𝒅𝒙 =
𝒙𝟏
𝒇
𝒙𝟎
𝒙 𝒅𝒙 +
𝒙𝟐
𝒇
𝒙𝟏
𝒙 𝒅𝒙 + ⋯ +
𝒙𝒏
𝒇
𝒙𝒏−𝟏
𝒙 𝒅𝒙
Usando o método de Newton-Cotes no intervalo 𝒙𝟎 ; 𝒙𝟏 temos
que
–
𝒙1
𝒇
𝒙𝟎
𝒙 𝒅𝒙 =
– Como 𝐶0
–
–
–
–
𝑥1
𝑓
𝑥0
1
1
1
𝐶
𝑘=0 𝑘
= 𝐶1
1
1
1
𝑓 𝑥𝑘 + 𝑇 = 𝐶0 𝑓 𝑥0 + 𝐶1 𝑓 𝑥1 + 𝑇
ℎ
2
= , obtemos que
ℎ
ℎ
2
2
𝑥2
ℎ
ℎ
𝑓
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑓
𝑥
+
𝑓 𝑥2
1
𝑥1
2
2
𝑥3
ℎ
ℎ
𝑓
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑓
𝑥
+
𝑓 𝑥3
2
𝑥2
2
2
𝑥𝑛
ℎ
ℎ
𝑓
𝑥
𝑑𝑥
=
𝑓
𝑥
+
𝑓
𝑛−1
𝑥𝑛−1
2
2
𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓 𝑥1 + 𝑇1
+ 𝑇1
+ 𝑇1 …
𝑥𝑛 + 𝑇𝑛
Método dos trapézios

𝑥𝑛
𝑓
𝑥0
𝑥 𝑑𝑥 = ℎ
𝑓 𝑥0 +𝑓 𝑥𝑛
2
+
𝑛−1
𝑖=1 𝑓
𝑥𝑖
+𝑇
 𝑇 ⇒ 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑛𝑜 𝑚é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑝é𝑧𝑖𝑜𝑠


Podemos reescrever o método dos trapézios como
𝑥1
𝑓
𝑥0



𝑥 𝑑𝑥 ≅ ℎ(𝐸
2
+ 𝐼 + 𝑃) ,onde
E -> somatório das imagens nos pontos extremos
P -> somatório das imagens nos pontos pares (sem extremos)
I -> somatório das imagens nos pontos ímpares (sem extremos)
Método dos trapézios

Exemplo: Calcule, aproximadamente, o valor da
𝟎,𝟔
integral 𝟎,𝟎 𝒆𝒙 𝒅𝒙 usando o método dos trapézios,
considerando 7 pontos dentro do intervalo [0,0;0,6]