Matemática 12º ano - Página 1 de 15
1. PROBABILIDADES
1.1.
Características gerais
-
Ω = Conjunto de resultado ou espaço de resultados ou espaço amostral
-
Se
A ∩ B = ∅ , então A e B dizem-se incompatíveis
-
Se
A ∪ B = ∅ mas A ∪ B = Ω , então A e B dizem-se contrários
-
0 ≤ p ( A) ≤ 1
-
p ( A) = 0 ⇔ A = ∅
-
p ( A) = 1 ⇔ A = Ω
-
p ( A) = 1 − p ( A)
-
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )
-
p ( A ∩ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∪ B )
A ∩ B = 0 (incompatíveis), então p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B )
-
Se
-
A∪ B = A∩ B
-
A∩ B = A∪ B
-
P (Ω ) é o conjunto de todos os acontecimentos que se podem definir num
espaço de resultados, isto é, o espaço de acontecimentos é o conjunto das
partes de Ω .
1.2.
Lei de Laplace
Se os acontecimentos são equiprováveis (têm igual probabilidade de
acontecer) e em número finito, a probabilidade de que ocorra um acontecimento
A é dada por:
p( A) =
1.3.
nº⋅casos ⋅ prováveis
nº⋅casos ⋅ favoráveis
Variável aleatória
É toda a função que faz corresponder a cada elemento do espaço de
resultados ( Ω ) um número real. É sempre representada por uma letra maiúscula.
Podem ser discretas Æ tomam valores inteiros apenas ou contínuas Æ
tomam valores num intervalo contido em R.
1.4.
Distribuição de probabilidades
Dada uma variável aleatória discreta X e que assume um número finito de
valores distintos xi , chama-se distribuição de probabilidade ou lei de probabilidade
Matemática 12º ano - Página 2 de 15
à função que a cada valor xi , da variável aleatória X faz corresponder a respectiva
probabilidade.
1.5.
Média ( x ) e Desvio padrão ( σ )
Na calculadora:
.STAT
.EDIT
.STAT
.Æ
1.6.
•
•
•
•
•
.1
.1
L1 – valores da variável aleatória
L2 – respectivas probabilidades
.2nd
.1
.,
.2nd
.2.
Distribuições normais
Os gráficos têm uma curva de em forma de sino
É simétrica em relação à média
A média corresponde ao máximo da curva
Quanto mais se afasta um valor da média menor a sua probabilidade
A probabilidade da variável pertencer a um dado intervalo ]a,b[ é igual à
área limitada pelo eixo horizontal, pelas rectas x=a e x=b e pela curva.
Assim a área sob uma curva de probabilidade é sempre igual a 1.
Definem-se por N( x , σ ) [ex: N(5;0,33)]
Na calculadora (visualizar o gráfico):
.Y=
2nd
.VARS
1
fdpnormal( X
ex: X
,
,
x
5
,. σ .GRAPH.
, 0.33
Sendo N( x , σ ):
Dada a mesma x , quanto maior o σ mais “achatado” é o gráfico, ou seja, se o σ
é pequeno, então os valores da variável estão concentrados em torno da média.
Dado o mesmo
σ , quanto maior a x , mais desviado para a direita é o gráfico.
Na calculadora (determinar a área):
.2nd
.VARS
Æ.
1.
SombrNorm(lim. inf. ., lim. sup. .,. x .,. σ
ex:
70
,
85
, 5 , 0,33
Matemática 12º ano - Página 3 de 15
1.7.
Probabilidade condicionada
p( A ∩ B)
Æ Probabilidade de A dado B
p( B)
p( A | B) =
1.8.
Acontecimentos independentes
A e B são acontecimentos independentes sse p ( A | B ) = p ( A) logo p ( A ∩ B ) = p ( A). p ( B )
1.9.
Problemas de contagem
Os elementos repetem-se Æ Arranjos com repetição:
n
A′p = potências ( n p )
Os elementos não se repetem e interessa a ordem Æ
n
A p = arranjos sem repetição
Caso particular Æ
Na máquina:
n
An = n!
n MATH
Å
.2
p
Os elementos não se repetem e não interessa a ordem Æ
Na máquina:
n MATH
Å
.3
n
C p = Combinações
p
1.10. Binómio de Newton
( a + b) 0 = 1
1
1
1
1
1
2
3
4
( a + b)1 = a + b
1
3
6
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
1
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
1
4
1
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
n
n
n
n−k k
Generalizando: ( a + b) = ∑ C k a b Æ Fórmula do binómio de Newton
k =0
•
Existem n + 1 parcelas
•
Termo geral do desenvolvimento do binómio:
•
A soma dos expoentes de a e de b em cada termo é igual a n
T p +1 = n C p a n − p b p
Matemática 12º ano - Página 4 de 15
1.11. Triângulo de Pascal
0
Co
Æ linha 0
- Cada linha começa e termina
1
1
Co
2
3
2
C0
3
C0
Æ linha 1
C1
2
C1
3
C1
C 0n = 1
C2
3
C2
1
1
1
1
1
2
5
- A linha de ordem n tem n+1
elementos
de cada linha é dada por 2
- Em
1
3
4
C3
C nn = 1
- A soma de todos os elementos
1
1
com o algarismo 1, ou seja,
3
6
10
10
linha
os
termos
equidistantes dos extremos são
1
4
cada
n
iguais, ou seja,
1
5
n
1
- Cada
C p = n Cn− p
termo
de
uma
linha
(excepto extremos) é igual à
soma dos dois treinos que estão
acima dele, ou seja,
n
C p + nC p +1 = n +1C p +1
- C1 = n
n
1.12. Experiência de Bernoulli
Chama-se experiência de
n provas repetidas de Bernoulli à experiência:
- Que consiste em repetir
n vezes uma prova, sempre nas mesmas condições;
- Em que são independentes os resultados de 2 quaisquer provas;
- Em que cada prova tem 2 e só 2 resultados possíveis: a realização de um dado
acontecimento
S (a que chamamos sucesso) ou a realização do seu contrário S (a
que chamamos insucesso).
Æ Numa experiência de
n provas repetidas de Bernoulli, em que p é a
probabilidade de sucesso em cada prova,
q a probabilidade de insucesso
( p + q = 1 ) sendo a variável aleatória X = “o nº de sucessos nas
n provas”, tem-se
que:
p( X = k )= n C k ⋅ q n −k ⋅ p k
,
0≤k ≤n ,
0 < p <1
Matemática 12º ano - Página 5 de 15
1.13. Axiomas
Axioma 1 – p ( A) ≥ 0
Axioma 2 – p (Ω ) = 1
Axioma 3 – p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) , sendo A e B disjuntos.
1.14. Teoremas (com base nos axiomas)
1 - Com base nos axiomas 2 e 3:
p (∅ ) = 0
2 - Com base nos axiomas 2 e 3:
p ( A) = 1 − p ( A)
3 - Com base nos axiomas 1 e 3:
A ⊂ B ⇒ p ( A) ≤ p ( B )
0 ≤ p ( A) ≤ 1
4 - Com base nos axiomas 1 e 2 e teorema 3:
p ( A \ B ) = p ( A) − p ( A ∩ B )
5 - Com base no axioma 3:
6 - Com base no axioma 3 e o teorema 5:
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )
2. FUNÇÕES
2.1.
Indeterminações
F
Recorrendo aos limites notáveis
ex −1
lim
=1
x →0
x
lim
x →0
ln( x + 1)
=1
x
xp
ax
= +∞ ⇒ lim x = 0
lim
x → +∞ x p
x → +∞ a
log a x
xp
= +∞ ⇒ lim
=0
x → +∞ log x
x → +∞
xp
a
lim
Matemática 12º ano - Página 6 de 15
Æ Levanta-se calculando o limite do termo de maior grau ou
multiplicando pelo conjugado
∞ − ∞ ou 0 × ∞
lim ( x 2 − x) = lim ( x 2 ) = +∞
x → +∞
(
lim ( x + 1 − x ) = lim
x →+∞
∞
∞
x +1 − x
(
x →+∞
x → +∞
)(
x +1 + x
x +1 + x
)
) = lim
x →+∞
x +1− x
x +1 + x
=
1
1
=
= 0+
+∞+∞ +∞
Æ Levanta-se escolhendo o termo de maior grau do numerador e do denominador
ou multiplica-se pelo conjugado
− 2x5
2
− 2 x 5 + 3x 2
=
lim
=−
x → +∞ 3 x 5 + 3 x + 2
x → +∞ 3 x 5
3
lim
0
0
Æ Levanta-se factorizando o numerador e o denominador
− x2 − x −1 −1−1−1 3
1 − x3
=
=
=
lim
x →1 1 − x 2
x →1
− x −1
−1−1
2
lim
-1
1
-1
2.2.
0
0
1
-1
-1
-1
-1
-1
0
-1
1
=
Resto
-1
0
1
-1
-1
-1
0
=
Resto
Assimptotas
Assimptotas horizontais Æ Para verificar a existência de assimptotas horizontais, calculase o limite da função quando x tende para infinito:
lim f ( x)
Æ se tender para um número real k, então a recta de equação y = k é A.H.
do gráfico da função f
lim f ( x)
Æ se tender para um número real k, então a recta de equação y = k é A.H.
do gráfico da função f
x → +∞
x → −∞
Matemática 12º ano - Página 7 de 15
Assimptotas verticais Æ Para verificar a existência de assimptotas verticais, calculam-se
os limites laterais da função quando x tende para pontos de exclusão do domínio ou nos
pontos de alteração de uma função definida por ramos. Sendo a ponto nessa condição:
Æ se tender para + ∞ ou − ∞ , então a recta de equação
x = a é A.V. do gráfico da função f
lim f ( x) ou lim+ f ( x )
x→a −
x→a
Assimptotas oblíquas Æ y = mx + b é A.O. de f sse:
lim [ f ( x) − (mx + b)] = 0
com m = lim
x → ±∞
x → ±∞
f ( x)
x
[
e b = lim f ( x ) − mx
x → ±∞
2.3. Derivadas
Se uma função tem derivada finta num ponto então é contínua nesse ponto.
lim
h →0
f ( a + h) − f ( a )
h
ou
lim
x→a
f ( x) − f (a )
x−a
Geometricamente é o declive da recta tangente ao gráfico da função no ponto x=a.
Os declives de uma recta perpendicular a outra são simétricos e inversos.
MATH
8.
F
nDeriv(função ,.
X.
,. coordenada x do ponto
Regras de derivação.
f ' ( x)
f ( x)
+
c
-
↑
c
↓
f ' ' ( x)
f ( x)
f ' ( x)
+
a
-
∪
p.i.
∩
↑
a
↓
Se f’(c) = 0 ou não existe, então:
f(c) é máximo relativo Æ se f’(x) passa de + para f(c) é mínimo relativo Æ se f’(x) passa de - para +
f(c) não é extremo Æ se f’(x) não muda de sinal
]
Matemática 12º ano - Página 8 de 15
p.i. Æ ponto de inflexão de f Æ existe mudança de sentido de concavidade e
equivale ao ponto onde a segunda derivada muda de sinal
a Æ faz parte do domínio; pode ser zero ou não definida
Tal como os limites, existem derivadas laterais. Se f’(b+) = f’(b-) então as
duas smi-tangentes têm igual declive, pelo que estão no prolongamento uma da
outra sendo a recta tangente ao gráfico da função. Se f’(b+) ≠ f’(b-) não existe
tangente ao gráfico da função nesse ponto.
2.4. Continuidade
x = c do seu domínio, sse:
Uma função f é contínua no ponto
lim f ( x) = f (c )
x →c
Existe continuidade à esquerda se: lim− f ( x) = f (c )
x →c
lim f ( x ) = f (c)
Existe continuidade à direita se:
x →c +
São funções contínuas: polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas,
irracionais e ainda as funções soma, produto, diferença, quociente, potência, raiz
indíce p.
2.5. Função logarítmica
log a b = x ⇔ a x = b
log 10 x = log x
log e x = ln x
Regra operatórias com logaritmos:
a > 1 , x, y ∈ ℜ
log a 1 = 0
log a a = 1
log a ( x × y ) = log a x + log a y
log a x α = α ⋅ log a x
log a a b = b
a log a b = b
⎛x⎞
log a ⎜⎜ ⎟⎟ = log a x − log a y
⎝ y⎠
⎛1⎞
log a ⎜ ⎟ = − log a x
⎝ x⎠
log a n x =
1
⋅ log a x
n
Matemática 12º ano - Página 9 de 15
Mudança de base:
log a x =
D=ℜ
Características da função logarítmica:
x = 1 é zero da função Injectiva Crescente
D' = ℜ
+
log x ln x
=
log a ln a
lim f ( x ) = −∞
lim f ( x ) = +∞
x →0 +
x → +∞
A.V.:
Contínua
x=0
2.6. Função exponencial
Regras operatórias com potências:
a
−n
1 ⎛1⎞
= n =⎜ ⎟
a
⎝a⎠
a ×a = a
x
y
n
m
n
a = n am
ax
= a x− y
y
a
x+ y
(a × b )
a1 = a
a0 = 1
x
x
= a ×b
x
y
ax
⎛a⎞
⎜ ⎟ = x
b
⎝b⎠
Características da função exponencial (para
D=ℜ
D' = ℜ +
lim a x = 0
x → −∞
Não tem zeros
lim a x = +∞
x → +∞
Injectiva
lim a x = 0
x → +∞
A.H.: y = 0
lim a x = +∞
x → −∞
Na resolução de inequações:
a > 1:
a x > ab ⇔ x > b
a < 1:
a x > ab ⇔ x < b
(a )
x y
= a x⋅ y
a > 1 ):
Crescente
Características da função exponencial (para
ax > 0
a < 1 ):
Contínua
f ( 0) = 1
Matemática 12º ano - Página 10 de 15
2.7. Teorema Bolzano-Cauchy (Teorema dos valores intermédios)
Se f é contínua em
[a, b] e
f ( a ) ≠ f (b) , sendo r ∈ ℜ compreendido entre f ( a ) e
f (b) então existe um número c ∈ ]a, b[ tal que f (c ) = r .
Corolário T. B.:
[a, b] e
]a, b[ .
f ( a ) × f (b) < 0 , então a função admite pelo menos um
Se f é contínua em
zero no intervalo
Para resolver exercícios pelo C. T. B.:
1.
f
é contínua porque….
2.
f
é contínua em
3.
f ( a ) × f (b ) < 0
[a, b] ⊂ Df
4. Então, pelo C. T. B.,
∃c∈]a ,b[ : f (c) = 0
2.8. Operações com limites infinitos
+ ∞ + ∞ = +∞
− ∞ − ∞ = −∞
+ ∞ ± k = +∞
− ∞ ± k = −∞
Para
k > 0:
+ ∞ × k = +∞
− ∞ × k = −∞
±∞
= ±∞
k
Para
k < 0:
+ ∞ × k = −∞
− ∞ × k = +∞
±∞
= m∞
k
(+ ∞ ) × (+ ∞ ) = +∞
(− ∞ ) × (− ∞ ) = +∞
(+ ∞ ) × (− ∞) = −∞
k
=0
±∞
Para
k > 0 ou k = +∞ :
k
= +∞
0+
k
= −∞
0−
Para
k < 0 ou k = −∞ :
k
= −∞
0+
k
= +∞
0−
Matemática 12º ano - Página 11 de 15
3. TRIGONOMETRIA
3.1.
Características gerais
F
Limites de cos x , sen x e tg x quando
x → +∞ não existem.
senx
=1
x → +∞
x
lim
Contra-domínio pode ser determinado por enquadramentos.
F
sin(α + β ) = sin α . cos β + cos α . sin β
− 1 ≤ sin α ≤ 1
Æ
− 1 ≤ cos α ≤ 1
sin(α − β ) = sin α . cos β − cos α . sin β
tan α ∈ R
sin( 2α ) = 2 sin α . cos α
F
F
cos(α + β ) = cos α . cos β − sin α . sin β
tan(α + β ) =
tan α + tan β
1 − tan α . tan β
tan(α − β ) =
tan α − tan β
1 + tan α . tan β
Æ
Æ
cos(α − β ) = cos α . cos β + sin α . sin β
cos(2α ) = cos 2 α . sin 2 α
cos 2 α + sin 2 α = 1
tan( 2α ) =
2 tan α
1 − tan 2 α
tan α =
sin α
cos α
F
Regras de derivação de seno, co-seno e tangente.
Matemática 12º ano - Página 12 de 15
4. COMPLEXOS
Em C existem tantas soluções como o grau das equações – algumas reais e outras
imaginárias (ou só imaginárias ou só reais)
4.1. Forma algébrica
z = a + bi
− z = −a − bi
z = a − bi
Re( z ) = a
Se b = 0 e a ≠ 0
então z é num. real
Im( z ) = b
Se b ≠ 0 e a ≠ 0
então z é num. imaginário
Se b ≠ 0 e a = 0
então z é imaginário puro
z = a 2 + b 2 Æ distância à origem ( ρ )
ρ .cisθ = ρ (cos θ + i sin θ ) Æ Conversão de forma trignométrica para algébrica
a + bi = c + di ⇔ a = c ∧ b = d Æ Igualdade de 2 números na forma algébrica
Adição:
( a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i
Subtracção:
( a + bi ) − (c + di ) = ( a − c ) + (b − d )i
Multiplicação:
(a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac − bd ) + (ad + bc)i
Divisão: Multiplicar ambos os termos da fracção pelo conjugado do denominador:
a + bi (a + bi )(c − di ) ac + adi + bci + bd (ac + bd ) + (ad + bc)i
=
=
=
c + di (c + di )(c − di ) c 2 − cdi + cdi + d 2
c2 + d 2
Matemática 12º ano - Página 13 de 15
1
O inverso de um número complexo é um caso particular da divisão: z -1 = z
4.2.
Forma trigonométrica
z = ρ .cisθ
− z = ρ .cis (θ + π )
z = ρ .cis ( −θ )
Chama-se argumento ( θ ) de número de complexo z = a + bi a todo o número real que
representa a amplitude do ângulo o vector OP faz com o smi-eixo positivo 0 x
Se
θ
é o argumento de z então a expressão geral dos argumentos de z é:
arg z = θ + 2kπ , k ∈ Z
Chama-se argumento principal de z ao argumento de z pertencente ao intervalo
] − π ,π [
Chama-se argumento positivo mínimo de z ao argumento de z pertencente ao intervalo
] 0,2π ]
Se
z = 0 então o argumento de z é indeterminado
O número i como operador de rotação de 90º
Seja z = a + bi , multiplicando z por i :
zi = ai + bi 2 ⇔ zi = ai − b ⇔ zi = −b + ai
P ( a , b ) ⇒ Q ( −b, a )
O vector imagem zi obtém-se do vector imagem z por uma rotação de 90º no sentido
positivo e centro na origem.
arg( zi ) = arg( z ) +
Sendo
π
2
b = ρ ⋅ senθ
z = a + bi :
a = ρ ⋅ cos θ
Conversão de forma algébrica para trigonométrica:
ρ= z
tgθ =
b
a
⇔
z = a2 + b2
∧ θ ∈ (1º, 2º, 3º ou 4º) Q ou θ ∈ Ox ou θ ∈ Oy
ρ1 .cisθ1 = ρ 2 .cisθ 2 ⇔ ρ1 = ρ 2 ∧ θ1 = θ 2 + 2kπ , k ∈ Z
Matemática 12º ano - Página 14 de 15
z1 × z 2 = ( ρ1 ⋅ ρ 2 ) ⋅ cis(θ1 + θ 2 )
z1
ρ
= 1 ⋅ cis(θ1 − θ 2 )
z2 ρ2
Caso particular: z
−1
=
1 1
= ⋅ cis( −θ )
z ρ
F
z n = ρ n ⋅ cis(θn)
F
⎛ θ + 2kπ ⎞
z = n ρ ⋅ cis⎜
⎟ , k ∈ {0,..., n − 1}
n
⎝
⎠
Os afixos correspondentes às n raízes de um complexo z = ρ ⋅ cisθ pertencem a uma
n
circunferência de centro na origem e raio
n
ρ
e dividem-na em
são os vértices de um polígono regular de
n partes iguais, ou seja,
n lados.
Adição e subtracção impossíveis na forma trigonométrica!
4.3.
Potências de base i
i0 = 1
i1 = i
i =i
a
Ex.: i
4.4.
123
u
i 2 = −1
i 3 = −i
⇒ u é o resto da divisão de a por 4
= i 3 = −i (o resto da divisão inteira de 123 por 4 é 3)
Forma geométrica
Plano de Argand
0 y – eixo imaginário
0 x – eixo real
P é afixo de z
P ( a, b)
Vector OP
A soma de dois complexos no plano é a soma geométrica do vector
OP1 com o vector OP2 (pela regra do paralelogramo).
Matemática 12º ano - Página 15 de 15
A diferença de dois complexos no plano é a soma geométrica do vector
OP1 com o vector -OP2 (pela regra do paralelogramo).
Representação do simétrico
Simétrico em relação à origem S ( − a,−b)
4.5.
Sendo
Representação do conjugado
Simétrico em relação a 0 x C ( a,−b)
Domínios planos
P1 a imagem geométrica do complexo z1 :
Arg ( z − z1 ) = θ
Arg (z ) = θ
Æ Semi-recta de origem em
P1 e ângulo de θ desde P1
Æ Semi-recta de origem em 0 e ângulo de
θ
z − z1 = r
Æ Circunferência de centro em
| z |= r
Æ Circunferência de centro na origem e raio r
z − z1 = z − z 2
Æ Mediatriz do segmento de recta
Re( z ) = k
Æ Recta vertical em k ( x
Im( z ) = k
Æ Recta horizontal em k ( y = k )
desde
0x
P1 e raio r
[P1 P2 ] (extremos são os dois afixos)
=k)
Qualquer uma das condições anteriores definem “linhas”.
Para definir “sombreados” tem que, em vez do sinal de =, ter:
≤ , ≥ : incluem “linha”
< , > : não incluem “linha”