Capítulo
BRUNI
Matemática Financeira
Juros Simples
Adriano Leal Bruni
[email protected]
Para saber mais ...
 Todo o conteúdo dos
slides pode ser visto nos
meus livros de Matemática
Financeira, publicados
pela Editora Atlas.
 Para saber ainda mais,
visite:
www.MinhasAulas.com.br
www.EditoraAtlas.com.br
BRUNI
Para aprender ainda mais ...
BRUNI
CAPÍTULO 5
CAPÍTULO 3
CAPÍTULO 2
Para conhecer meus livros e
minhas aulas
BRUNI
www. MinhasAulas.com.br
BRUNI
 O site MinhasAulas.com.br foi criado
para dar suporte às minhas aulas e aos
meus livros
 Uma grande variedade de planilhas,
slides e recursos ajudarão você nas suas
aulas!
 Visite-o sempre!
Conceito de juros simples
Juros sempre
incidem sobre
o
VALOR
PRESENTE
BRUNI
Preste atenção!!!
 Empréstimo
 Valor atual na data
zero igual a $100,00
 Taxa igual a 10% a.p.
Considere juros
simples
BRUNI
BRUNI
Juros simples
Juros simples sempre
VFincidem
Fórmula
sobre valor presente
n
Juros
0
-
100,00
VF=VP
1
10% x $100
10,00
110,00
VF=VP + i.VP
2
10% x $100
10,00
120,00
VF=VP + i.VP + i.VP
n
i.VP
VF
VF=VP (1+ i.n)
Fórmula dos juros simples
VF=VP (1+ i.n)
Devem estar
em uma mesma
base!!!
Como a taxa é sagrada,
ajusta-se o valor de n
BRUNI
Abreviaturas nas taxas
Abreviatura
a.d.
a.d.u.
a.m.
a.m.o.
a.b.
a.t.
a.q.
a.s.
a.a.
a.a.o.
Significado
ao dia
ao dia útil
ao mês
ao mês over
ao bimestre
ao trimestre
ao quadrimestre
ao semestre
ao ano
ao ano over
BRUNI
Cuidado com os anos
 ano civil ou exato
formado por 365
dias;
 ano comercial
formado por 360
dias.
BRUNI
Exemplo A
 Uma aplicação de $500,00
foi feita por oito meses a
uma taxa simples igual a
5% am. Qual o valor do
resgate?
i = 5% a.m.
0
-500
VF
8 meses
VF = VP (1+in)
VF = 500 (1+0,05 x 8)
VF = 700
BRUNI
Características dos juros
simples
BRUNI
 Valor uniforme dos
juros períodicos
 Valor futuro cresce
linearmente
Capitalização Linear
Valor Futuro
VP
Tempo
Exercícios de …
Sala!
BRUNI
Exemplo B
 Sabina precisará de
$1.200,00 em dez meses.
Quanto deverá aplicar hoje
para ter a quantia
desejada? Considere uma
taxa simples igual a 5% am
i = 5% a.m.
0
-VP
1.200,00
10 meses
VF = VP (1+in)
1200 = VP (1+0,05 x 10)
VP = 800
BRUNI
Exemplo C
 Neco aplicou $8.000,00 por
seis meses e recebeu
$2.400,00 de juros simples.
Qual a taxa mensal vigente
na operação?
i=?
0
-8000
10.400,00
6 meses
VF = VP (1+in)
10400 = 8000 (1+i x 6)
i = 5%
BRUNI
Exemplo D
 A aplicação de $9.000,00 a
uma taxa simples igual a
6% a.m. resulta em um
valor futuro igual a
$11.700,00. Qual o prazo
em meses dessa operação?
i = 6% a.m.
0
-9000
11.700,00
n=?
VF = VP (1+in)
11700 = 9000 (1+0,06 x n)
n=5
BRUNI
Importante!!!
Taxas são
sagradas!!!
BRUNI
BRUNI
Exemplo E
Calcule o valor futuro de
uma aplicação de $500,00
por 24 meses a 8% a.a.
Taxa anual !!!
24 meses = 2 anos
0
-$500,00
VF
24 2 anos
X
n em anos
Alterando o prazo …
VF=VP (1+ i.n)
VF=500 (1+ 0,08.2)
VF=$580,00
BRUNI
Descontando em …
Juros
simples por
dentro
BRUNI
Desconto Racional Simples
 Aplicar a fórmula dos
juros simples para
calcular o valor presente
 Descontar significa extrair
os juros do valor futuro
para obter o valor
presente
Cuidado!!! Depois
veremos o desconto
COMERCIAL
BRUNI
Da fórmula dos juros simples
 VF = VP (1 + i.n)
(1+in)
 Como se deseja obter VP
VF
VP 
1  i  n 
BRUNI
BRUNI
Exemplo F
VP = VF/ (1+i.n)
VP
VP = 4400/(1+0,05.2)
0
VP = 4000
2
-$4.400,00
Valor Futuro
D = 4400-4000
D = 400
 Uma empresa precisa descontar
racionalmente ou por dentro uma
duplicata com valor nominal de
$4.400,00, 2 meses antes do vencimento,
a 5% a.m. Qual o valor líquido e qual o
desconto? Juros Valor Presente
Taxa efetiva
É aquela que
incide sobre o
valor presente
no processo de
capitalização.
BRUNI
Exemplo G
 Ao antecipar em 30 dias o
recebimento de uma conta a
receber no valor de
$15.000,00, a Cia Cava Cava
S. A. sofreu um desconto
igual a 1/3 (33,3333%) do
valor nominal. Calcule a taxa
efetiva mensal da operação.
Taxa por fora = 33,3333%
BRUNI
BRUNI
Taxa efetiva no DFC!
Por dentro =50%
$10.000,00
0
1
-$15.000,00
Por fora =33,3333%
Desconto = 1/3 de $15.000,00
Desconto = $5.000,00
VF = VP (1+i.n)
15000 = 10000 (1+i.1)
i = 50% a.m.
Equivalência de Capitais
 “Dois ou mais capitais
nominais, supostos com
datas de vencimento
determinadas, dizem-se
equivalentes quando,
descontados para uma
data focal, à mesma taxa
de juros, e em idênticas
condições, produzem
valores iguais”.
BRUNI
Constatação importante …
Dinheiro
tem custo
no
tempo!!!
BRUNI
Deve ser
somado
apenas em
mesma data!
BRUNI
-4.000,00
1.000,00
1
2
3
2.000,00
X?
0
1.000,00
A operação de equivalência
4
BRUNI
Exemplo H
 Pedro pensa em comprar um carro novo, com
preço a vista igual a $30.000,00.
 Pagará uma entrada de $8.000,00
 Pagará $14.000,00 em 30 dias
 Pagará X em 60 dias
 Taxa simples igual a 3% a.m.
Calcule o valor de X
Use a data focal 60 dias
$30.000,00
0
-$8.000,00
30
-$14.000,00
60 dias
-X
BRUNI
Taxa simples igual a 3% a.m.
$22.000,00
$30.000,00
$23.320,00
0
1
2 meses
-$8.000,00
-$14.000,00
-X
$14.420,00
$8.900,00
Capitalizando $22.000,00
Capitalizando $14.000,00
VF = VP (1+in)
VF = VP (1+in)
VF = 22000 (1+0,03.2)
VF = 14000 (1+0,03.1)
VF = $23.320,00
VF = $14.420,00
Exemplo I
 Uma loja anuncia um
microondas a vista por
$500,00 ou em duas
parcelas mensais, sem
entrada, iguais a X.
Sabendo que a loja
cobra juros simples,
iguais a 4%, calcule o
valor de X.
Use a data focal zero
BRUNI
BRUNI
Resolução …
i = 4% a.m. (JS)
$500,00
0
1
2
$264,91
-X
-X
$264,91
Descapitalizando X1
Descapitalizando X2
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = X / (1+0,04.1)
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = X / (1+0,04.2)
VP = 0,9615.X
VP = 0,9259.X
Como a soma a valor presente é igual a $500,00,
500 = 0,9615.X + 0,9259.X = 1,8874.X
X = 500/1,8874 = $264,91
Exemplo J
 Um refrigerador é vendido
à vista por $ 1.800,00 ou
então a prazo mediante
$800,00 de entrada e mais
uma parcela de $ 1.150,00
após 90 dias. Qual a taxa
mensal de juros simples do
financiamento?
BRUNI
Solução do Exemplo J
BRUNI
$1.800,00
0
3
-$800,00
-$1.150,00
$1.000,00
VF = VP (1+in)
1150 = 1000 (1+i.3)
0
i = [(1150/1000) – 1] / 3)
3
-$1.150,00
i = 5%
Exemplo K
BRUNI
 Uma empresa comercial, para efetuar o
pagamento de suas encomendas, deve
dispor de $15.000,00 daqui a 3 meses e
$20.000,00 daqui a 8 meses. Para tanto,
deseja aplicar hoje uma quantia X que lhe
permita retirar as quantias necessárias
nas datas devidas, ficando sem saldo no
final. Se a aplicação for feita a juro
simples, à taxa de 4% ao mês, qual
deverá ser o valor de X?
Use a data focal zero
BRUNI
DFC e cálculos do Exemplo K
+$15.000,00
0
3
+$20.000,00
8
X
Descapitalizando X1
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = 15000 / (1+0,04.3)
VP = 13.392,86
Descapitalizando X2
VF = VP (1+in)
VP = VF / (1+in)
VP = 20000 / (1+0,04.8)
VP = 15.151,52
Soma = 13.392,86 + 15.151,52 = $28.544,38
Proporcionalidade de taxas
BRUNI
 Duas taxas de juros i1 e i2, referidas a
períodos diferentes no regime de
capitalização ou dos juros simples são
proporcionais quando resultam no
mesmo montante, ou juro, no fim do
prazo da operação, tendo incidido sobre
o mesmo principal.
Fórmula da equivalência
BRUNI
ia = ib.(nb/na)
Em juros
simples, vale
usar regra de
três!!!
Em juros
simples!!!
Exemplo L
BRUNI
I. Determinar as taxas semestral e anual
proporcionais à taxa de juros simples de
3% ao mês.
II. Calcular a taxa mensal proporcional de
juros de : a) 90% ao semestre; b) 220,8%
ao ano; c) 96% ao biênio.
Solução do Exemplo L
I.
3% a.m. = [__] % a.s.
1 semestre = 6 meses
3% x 6 = 18% a.s.
3% a.m. = [__] % a.a.
1 ano = 12 meses
3% x 12 = 36% a.a.
BRUNI
Solução do Exemplo L
BRUNI
II. Cálculo de taxas mensais
a) 1 semestre = 6 meses
90% a.s. ÷ 6 = 15% a.m.
b) 1 ano = 12 meses
220,8% a.a. ÷ 12 = 18,4% a.m.
c) 1 biênio = 24 meses
96% ÷ 24 = 4% a.m.
Três resultados do capítulo
 Entendemos operações
com juros simples
 Sabemos usar a
proporcionalidade de
taxas
 Compreendemos as
operações com
equivalência de capitais
BRUNI