Porous Media Equivalents for
Networks of Discontinuos
Fractures
Equivalentes ao Meio Poroso para Redes de Fratures
Descontínuas
J. C. S. LONG, J.S. REMER,
C.R. WILSON, P. A. WITHERSPOON
1982, Water Resources Research, 18(3), 645-658
1. INTRODUÇÃO
Questão?
Uma das mais importantes questões
levantadas quando se considera o
escoamento através das fraturas é:
A rede de fraturas
comporta-se
como meio poroso?
Pode-se modelar o
sistema por um tensor de
permeabilidade
equivalente e proceder
com a análise do
movimento do fluido sob
condições iniciais e de
contorno conhecidas?
Snow [1965]
• Fez estudos matemáticos de extensivos
sistemas de fraturas.
• Desenvolveu uma expressão matemática para o
tensor de permeabilidade de uma fratura
isolada de orientação e abertura arbitrárias em
relação a um sistema de coordenadas.
• Ele mostrou que o tensor de permeabilidade
de uma rede de fraturas é formado por se
adicionar os respectivos componentes do tensor
de permeabilidade para cada fratura
individual.
• No campo
constata-se
que as
fraturas tem
comprimento
finito.
• Assim, cada fratura pode contribuir para
a permeabilidade da rocha a medida que
ela intercepta outras fraturas.
• Uma fratura isolada,
que não intercepta
nenhuma outra fratura
evidentemente não
contribui para a
permeabilidade da
rocha.
• Assim, o escoamento em dada fratura
não é independente do escoamento em
outras fraturas.
• A permeabilidade da rocha então, não
é a soma das permeabilidades de cada
fratura.
2. PERMEBAILIDADE
HOMOGÊNEA ANISOTRÓRICA
Considerações
• A lei de Darcy foi
originalmente
postulada para
escoamento
unidimensional.
• A permeabilidade foi apresentada como um
simples escalar.
Escoamento 3D | Anisotrópico
• Ferrandon [1948], Collins [1961] propuseram:
 g 
vi  
kij

dx j
i  1, 2,3
j  1, 2,3
• Onde kij é simétrico e a matriz pode ser
transformada em diagonal pela rotação do
sistema de coordenadas.
• Em rochas anisotrópicas, o gradiente
hidráulico (ch/cl) e o vetor velocidade não
são paralelos.Eles o são em rochas
isotrópicas!
C. W. Fetter – Applied Hydrogeology, página 155
Escoamento 3D | Anisotrópico
• Assim K não é um escalar em rochas como em
rochas isotrópicas.
• Em vez disso, há um tensor de condutividade
(Kij)
• Os valores do tensor dependem das direções
x,y,z, os quais transformam os componentes do
gradiente hidráulico nos de velocidade.
Escoamento 3D | Anisotrópico
• Experimentos comprovam esta teoria.
• Contudo, Collins [1961] destaca que não
há garantia de que todo material poroso
tenha um tensor de permeabilidade
ortogonal.
3. ESTATÍSTICA DA
GEOMETRIA DAS FRATURAS
• Sob um dado número de condições de
contorno, o comportamento hidráulico de
uma rocha fraturada com uma matriz
impermeável é determinado
inteiramente pela geometria do sistema
de fraturas.
• Para o
escopo deste
estudo a a
descrição da
geometria foi
simplificada
Descrição
• Cada fratura é
individualmente
descrita em
termos de:
1. Abertura efetiva
(ou hidráulica)
2. Orientação
3. Localização
4. Tamanho
Comportamento Hidráulico
• É função da abertura
efetiva.
• A determinação da
permeabilidade da
fratura requer a
determinação de sua
abertura hidráulica.
• Infelizmente, é muito difícil realizar testes
hidráulicos em fraturas isoladas no campo.
• Gale [1975] tentou fazer estes experimentos
mas não foi bem sucedido.
4. MÉTODO DE ANÁLISE
NUMÉRICA
• Um código numérico
foi desenvolvido para
gerar uma amostra
do sistema de
fraturas em duas
dimensões usando as
propriedades
geométricas.
• Por elementos finitos
calcula-se Qg, o
componente da
vazão na direção do
gradiente.
Usando a Lei de Darcy:
• A condutividade hidráulica na direção
do gradiente da amostra gerada é
calculada por:
Kg 
Qg
A
• Onde: A é a área total perpendicular ao
escoamento.
5. GERAÇÃO DA MALHA
SET1 e SET2
INDEPENDENTES!
Distribuição Poisson
Distribuição Normal
Distribuição Log-Normal
Distribuição Log-Normal
6. MEDIÇÃO DA
CONDUTIVIDADE HIDRÁULICA
• A condutividade em um
meio homogêneo pode ser
definida na direção do
escoamento ou na direção
do gradiente.
• Queremos medir a
condutividade em um meio
heterogêneo de rocha
fraturada.
• O gradiente pode ser
aproximadamente linear.
• A direção do
escoamento é
controlada pela
direção das
fraturas.
• Um método que
obtenha a
condutividade
na direção do
gradiente
precisa ser
usado.

0
dy
K g  K xx
Kxx=Kg
Qx
Qx
Kg 

 Qx
(2  4 ) L (2  4 )
L
Qy
Qy
K xy 

 Qy
(2  4 ) L (2  4 )
L
7. ROTAÇÃO DA REGIÃO DO
ESCOAMENTO
• A condutividade pode ser medida em
qualquer região escolhida.
Meio Homogêneo Anisotrópico
Meio Heterogêneo Anisotrópico
8. PROGRAMA
“FRACTURE FLOW”
Elementos Finitos
• Desenvolvido por Wilson [1970].
• As Fraturas são representadas por
elementos lineares.
• Escoamento obedecendo a lei
cúbica.
• Matriz da rocha impermeável.
• Estado permanente.
9. VALIDAÇÃO DO
MÉTODO NUMÉRICO
75 cm
110 cm
Exemplo
110 cm
75 cm
75 cm
FLOW REGION
75 cm
RESULTADOS
3
2
4
1
1,019x10-4
REDE 3
Q [cm³/s]
3
• Q2≠Q4
• Q=0
• ≠ Meio Poroso!
2
4
1
5,42x10-10
1,019x10-4
ZERO!
ZERO!
8,98x10-11
75 cm
75 cm
Permeabilidade
Direcional
Não há um tensor de
Condutividade simétrico!
10. EFEITO DA DENSIDADE DE
FRATURA
40 cm
40 cm
1600 f.m-2
25 cm
1111 f.m-2
30 cm
625 f.m-2
30 cm
25 cm
Número de interseções cresce de A para C
Isopotenciais: Linear de A para C
Aproxima-se de uma elipse de A para C
11. EFEITOS DA ABERTURA E DA
ORIENTAÇÃO
ABERTURA = CONSTANTE
ORIENTAÇÃO = NORMAL
ABERTURA = LOG-NORMAL
ORIENTAÇÃO = CONSTANTE
12. EFEITO DE ESCALA
A região de escoamento deve
ser maior que o comprimento da fratura!