The Relationship of the Degree
of Interconnection to
Permeability in Fracture
Networks
A Relação do grau de interconexão com a
permeabilidade em redes de fraturas
Autores
JANE C. S. LONG
PAUL A. WITHERSPOON
RESUMO
• O problema da determinação da
permeabilidade de uma rocha contendo um
sistema de fraturas finitas é altamente
dependente do grau de interconexão entre as
fraturas e da heterogeneidade das
características individuais das fraturas.
• Este trabalho examina o quanto o grau de
interconexão afeta tanto a magnitude quanto a
natureza da permeabilidade da fratura.
RESUMO
• A interconexão entre um dado conjunto de
fraturas é uma função complexa da (1)
densidade de fraturas, isto é, o número de
fraturas por unidade de volume, e (2) o
tamanho ou extensão da fratura.
• Infelizmente, nem a densidade nem a extensão
das fraturas são de fácil determinação.
• Contudo, a freqüência das fraturas pode ser
diretamente medida em um poço porque é
simplesmente o número de fraturas
interceptadas por unidade de comprimento do
poço.
RESUMO
• A freqüência é a medida do produto entre a
densidade de fraturas e o tamanho porque a
probabilidade de uma fratura interceptar um
poço é proporcional a este produto.
• O efeito do grau de interconexão foi
investigado através de simulação numérica na
rede de fraturas onde o tamanho das fraturas
e a densidade variaram inversamente,
enquanto o produto destes dois parâmetros
permaneceu fixo.
RESUMO
• A permeabilidade da rocha matriz entre as
fraturas foi desprezada.
• Os resultados mostraram que com o aumento
do comprimento das fraturas, o grau de
interconexão cresce.
• Também, um sistema de fraturas com fraturas
menores, porém mais densas, comporta-se
menos que o meio poroso que o sistemas com
fraturas longas, mas menos densas.
INTRODUÇÃO
• Dois dos mais importantes assuntos em
hidrologia das fraturas são:
(1)Determinar a permeabilidade da
rede de fraturas e
(2) Determinar se esta rede comportase como meio poroso.
• No passado, métodos desenvolvidos por Snow
[1965,1969] foram aplicados.
• Nestas técnicas a orientação e a abertura das
fraturas interceptadas por um poço são
determinadas em campo.
• As fraturas são assumidas com comprimento
infinito, e então um tensor equivalente ao
meio poroso pode ser calculado.
• Como as fraturas têm comprimento finito, há
três razões do por que a permeabilidade da
rede será menor que a predita pela teoria de
Snow.
• A primeira é que algumas fraturas podem estar
isoladas da rede condutora.
• Segundo, a fratura pode estar obstruída, ou
seja, conectada à rede de fraturas em apenas
um ponto e assim não contribuindo para a
permeabilidade da rede.
• Terceiro, se de fato a fratura conduz o fluido,
a contribuição destra fratura para a
permeabilidade da rede é depende do quanto
ela está conectada com o resto do sistema.
• Vários estudos já foram feitas para estimar o
efeito tanto da interconexão quanto da
heterogeneidade, elementos que a teoria de
Snow ignora.
• Parson [1966], Caldwell [1971,1972], e La Point e
Hudson [1981] usaram modelos analógicos
elétricos para estudar fraturas finitas.
• Os modelos bidimensionais elétricos têm a
desvantagem de que a corrente é proporcional ao
diâmetro do condutor. Entretanto, o escoamento
nas fraturas é proporcional ao cubo da abertura
das fraturas. Assim estes modelos são restritos a
casos especiais de abertura de fraturas.
TÉCNICAS DE MODELAGEM
• A fim de estudar somente o efeito da
interconexão, foram examinadas redes de
fraturas bidimensionais onde todas as fraturas
têm a mesma abertura e comprimento. Assim
as redes são homogêneas, e qualquer
decréscimo na permeabilidade será
decorrente apenas da falta de uma perfeita
conexão entre as fraturas.
• Um código numérico foi desenvolvido para
gerar amostras dos sistemas de fraturas em
duas dimensões e determinar a permeabilidade
de tais sistemas.
TÉCNICAS DE MODELAGEM
• O gerador bidimensional da malha de
fraturas (FMG) produz uma população de
fratura aleatórias numa região quadrada
denominada região de geração.
• Cada conjunto de fraturas é gerado
independentemente, e então os
conjuntos são superpostos (Figura 1)
Para cada conjunto a densidade (número de
fraturas por unidade de área) tem de ser
fornecida de modo a ser determinar o número
total de centros de fraturas a serem gerados
As orientações normalmente distribuídas são
aleatoriamente são atribuídas a cada centro.
As fraturas são aleatoriamente truncadas de tal
modo que os comprimentos são distribuídos
de acordo com uma distribuição lognormal ou
exponencial negativa.
As fraturas que atravessam as fronteiras da
região de geração são truncadas na fronteira
Finalmente, aberturas distribuídas de acordo
com a distribuição lognormal são atribuídas a
cada fratura.
Os conjuntos são superpostos.
• Um gradiente e
aplicado através da
região do fluxo por
atribuir valores
apropriados de carga
para as fraturas que
interceptam os limites
da região.
• O fluxo nos
elementos é calculado
usando a lei cúbica
supondo-se que as
fraturas comportam-se
como placas paralelas.
• A permeabilidade na direção do gradiente, Kg,
pode então ser calculada de J, o gradiente
aplicado através da região do escoamento, e
Qin, a vazão total afluente na direção do
gradiente:
Qin
Kg 
J
• A permeabilidade pode ser medida em qualquer
direção  por se girar os limites da região do
escoamento de  e consequentemente girando
a direção do gradiente.
Geração Original
Região de fluxo rotacionada de 0°
Região de fluxo rotacionada de 45°
Região de fluxo rotacionada de 120°
• Para um meio meio homogêneo e anisotrópico, 1/[Kg()]1/2 versos
 é uma elipse quando plotada em coordenadas polares.
• Entretanto, para o meio fraturado não homogêneo,
1/[Kg()]1/2 não pode ser plotado como uma elipse
perfeita.
• De fato, o formato da figura que se obtêm é completamente
irregular.
• Este gráfico contudo pode ser usado como um teste onde
se pode constatar se um dado volume de rocha pode ser
ou não aproximado a um meio poroso.
• Se 1/[Kg()]1/2 não plota uma elipse sequer
aproximadamente, então não se pode encontrar um tensor
de condutividade simétrico para descrever o meio.
• Se não há tensor de condutividade, então o escoamento
através do meio não pode ser analisado com técnicas do
contínuo.
Erro Quadrado Médio Normalizado
(NMSE)
N
2
Rmin
NMSE 
 [ K g ( x)  Kij ni n j ] ( K1K2 )1
K1K2 n
(NMSE) aproxima-se de zero à medida que o
comportamento do sistema de fraturas aproxima-se de
um meio poroso homogêneo, anisotrópico. Quanto maior
for NMSE, menos o sistema de fraturas comporta-se
como com um continuum. Esta técnica tem sido usada
para se estudar a permeabilidade da rede de fraturas com
vários graus de interconexão.
BASES PARA O ESTUDO
COMPRIMENTO-DENSIDADE
• Quase tudo o que se sabe sobre fraturas
é oriundo dos poços.
• É possível determinar o número de
fraturas abertas que interceptam um poço
e determinar sua orientação.
• Por outro lado é extremamente difícil obter
a densidade de fraturas volumétricas, o
comprimento das fraturas, e a abertura
das fraturas através de testes hidráulicos.
• Não é necessário considerar todas as possíveis
combinações de comprimento de fraturas e densidade.
• Para um dado conjunto de fraturas, pode-se demonstrar
que a relação probabilística da freqüência de fraturas λL
pode ser expressa por:
L  Al cos
•
•
•
•
•
?
Onde:
λL é a freqüência de fraturas
λA é a densidade regional
l é o comprimento médio das fraturas
θ é o ângulo entre a linha da amostra e os eixos das
fraturas de um dado conjunto.
L
  A l  LD
cos 
• Esta relação significa que para cada conjunto de
fraturas pode não ser possível determinar λA e l
diretamente, mas pode-se estimar o produto λA l
pois ambos λL e θ podem ser estimados a partir
de medições diretas em um poço. Este produto
será chamado LD, ou parâmetro comprimentodensidade.
12
12
A=2B
Alguém que perscrutasse o poço não seria capaz de
identificar as diferenças entre os dois sistemas
LD
PARÂMETROS USADOS NO
ESTUDO
COMPRIMENTO-DENSIDADE
• O parâmetro comprimento-densidade LD foi
mantido constante e igual a 0.288 cm-1.
• Isto significa que em um poço com 10 m de
comprimento escavado na rocha interceptaria
288 fraturas.
RESULTADOS DA PRIMEIRA
SÉRIE DE ESTUDOS
COMPRIMENTO-DENSIDADE
• Desenhar todas as malhas com o mesmo
tamanho é útil porque a “densidade
aparente” tem uma forte influência no
comportamento hidrológico do sistema de
fraturas. Quanto mais longa a fratura,
maior a “densidade aparente”, maior a
permeabilidade, menor o valor de NMSE.
Taxa
Decresce
NMSE>0.05
NMSE<0.05
1/[Kg()]1/2 é infinito
= Meio
Poroso
CONCLUSÕES
• O propósito deste trabalho foi investigar se a
permeabilidade pode ser determinada de uma
freqüência de fraturas e permeabilidades
individual das fraturas conforme medido em um
poço, sem se conhecer o real comprimento das
fraturas e sua densidade.
• Redes com comprimento de fratura pequeno e
alta densidade terá menor permeabilidade que
aqueles com comprimento de fratura maior e
baixa densidade. Ademais, sistema com fraturas
curtas comporta-se menos como meio poroso
que aqueles com comprimentos maiores.
• Os valores medidos de permeabilidade e NMSE estavam
muito mais fortemente ligados ao comprimento da fratura
que ao tamanho da amostra. Assim, se o sistema de
fraturas não comporta-se como meio poroso em certa
escala, o aumento da escala de observação não melhorará
o comportamento de modo significativo.
• À medida que o comprimento das fraturas aumenta, a
permeabilidade aproxima-se de um máximo. Assim em
sistemas com fraturas maiores que um certo mínimo pode
não ser necessário especificar exatamente o comprimento
e a densidade de fraturas regional. O cálculo da
permeabilidade máxima usando a teoria de Snow pode ser
suficiente.
• Este estudo foi baseado em um sistema isotrópico de
fraturas com apertura e comprimentos constantes.
Contudo, pode-se antecipar um comportamento similar em
sistemas anisotrópicos bem como em sistemas com
aberturas e comprimentos distribuídos.