2
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2a Série do Ensino Médio
Matemática
Composição e Inversão de Funções
É claro que h(x) = (gof) (x) = g(f(x)) para todo x∈ Dom(f)
(gof) (x) = g(f(x))
OBS : (gof) (x) é lida como g composta com f de x e g(f(x)) é lida como g de f de x
Exemplos
2
1) Dadas as funções f : A → B definida por f(x) = x + 1 e g : B → C definida por g(y) = y , determine (gof) (x)
2
2) Sejam f(x) = x − 1 e g(x) = x + 2. Determine :
a) (fog) (x)
b) (gof) (x)
3) Dadas as funções f(x) = 2 x + a e g(x) = 3 x − 1, determine o valor de a para que se tenha :
(fog) (x) = (gof) (x).
Exercícios
2
1) Sejam as funções f(x) = x − 2 x + 1 e g(x) = 2 x + 1. Calcule :
a) f(g(1))
b) g(f(2))
c) f(f(1))
2) (FGV-SP) Se f e g são funções tais que f(x) = 3 x − 1 e f(g(x) = x, determine g(x).
2
3)(MACK-SP) Dadas as funções f, g e h de ℝ em ℝ, definidas por f(x) = 3 x, g(x) = x − 2 x + 1 e
h(x) = x + 2, então h(f(g(2))) é igual a :
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
4) (UFSC) dadas as funções f(x) =
2
5 − x e g(x) = x − 1, qual é o valor de (gof) (4) ?
5) (UNIFOR–CE) Sejam f e g funções de ℝ em ℝ. Determine g(−3 2 ) sabendo que f(x) = x − 2 e
2
f(g(x)) = x − 1 .
2
6) (FATEC-SP) Sejam f : ℝ → ℝ e g : ℝ → ℝ , funções definidas por f(x) = x − 4t e g(x) = x − t.
Se f(g(1)) = 16, então t é igual a :
A) 5
B) 3
C) 0
D) − 3
E) − 5
3
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Composição e Inversão de Funções
FUNÇÃO INVERSA
Quando relacionamos o lado (l ) e o perímetro (P) de um mesmo quadrado, podemos pensar em duas
funções bijetivas :
1) A que associa cada valor do lado ao perímetro correspondente : P = 4 l
2) A que associa cada valor do perímetro ao lado correspondente :
l=
P
4
Observe, do diagrama, que :
Dom(f) = Im(g)
Dom(g) = Im(f)
f e g são bijetivas
Nessas condições, dizemos que a função g é a inversa de f
−1
A inversa de f é representada por f
.
Assim, no exemplo acima :
f:A→B
f(x) = 4x
e
f −1 : B →A
f − 1 (x) =
ROTEIRO PARA SE OBTER A REGRA DA FUNÇÃO INVERSA DE UMA FUNÇÃO BIJETIVA
a) Escrevemos a regra da função bijetiva f na forma y = f(x)
b) Trocamos, na regra, y por x e x por y
c) Explicitamos (isolamos) y
d) Substituímos y por f − 1 (x), obtendo a regra
Exemplos
1) Obtenha a regra da inversa da função bijetiva f : ℝ → ℝ , tal que f(x) = 4 x.
Solução
Passos do roteiro :
a) y = 4 x
b) x = 4 y
x
c) y =
4
x
d) f − 1 (x) =
4
4
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Composição e Inversão de Funções
2
2) Obtenha a regra da inversa da função bijetiva f : ℝ →ℝ , tal que f(x) = x .
Solução
Passos do roteiro :
2
a) y = x
b) x = y
2
c) y =
x (pois y ≥ 0, já que está em ℝ )
d) f
−1
(x) =
x
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
1) Somente função bijetiva é invertível (isto é : possui inversa) e a sua inversa também é bijetiva
2) A composição de uma função com sua inversa é comutativa e o resultado é a função identidade
−1
−1
(fof ) (x) = (f of) (x) = x
3) Em conseqüência da observação (2), os gráficos de uma função e de sua respectiva inversa são
o
o
simétricos em relação à reta y = x, que é a bissetriz do 1 e 3 quadrantes.
Exercícios
1) Obtenha a regra da inversa da função bijetiva f :ℝ → ℝ , tal que f(x) = − 3 x + 5
2) Obtenha a regra da inversa da função bijetiva g : ℝ − {2} → ℝ − {3}, tal que g(x) =
3) Esboce no mesmo plano cartesiano abaixo o gráfico da inversa da função bijetiva h
6x +1
2x−4
5
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GABARITO DOS EXERCÍCIOS
Pág. 2
1) a) 4
2) g(x) =
3)
4)
5)
6)
b) 3
x +1
c) 1
3
E
0
19
D
Pág. 4
1) f
−1
(x) =
2) g − 1 (x) =
-x+5
3
4 x +1
2x-6
3)
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