Curso Pré-Vestibular Comunitário
Professor: Guilherme Sada Ramos – “Guiba”
Disciplina: Matemática A
LISTA DE EXERCÍCIOS 5
1. Classifique como crescente, decrescente ou constante cada uma das funções
descritas nos itens a seguir.
a) Considere uma função que forneça o preço de um automóvel em função do
tempo, de janeiro a junho de 2003. Nesse período, o preço deste automóvel
era R$ 16780,00, não sofrendo alteração.
b) Considere uma função que dê o volume da água contida em uma piscina em
função do tempo, desde a abertura da torneira. Esta torneira alimenta a
piscina.
c) Considere uma função que expresse o volume de água da mesma piscina, em
função do tempo, desde a abertura de um ralo. Este escoa a água da piscina.
2. (UFSM – 1999.2 – adaptada) Considere a função real f(x) = x −
1
. Podemos
x
afirmar que:
⎛1⎞
01. f ⎜ ⎟ = 0
⎝2⎠
02. o domínio de f é o conjunto dos números reais diferentes de zero.
04. f(x) > 0 se x < −1
08. o gráfico de f(x) é uma reta que passa pelo ponto de coordenadas (1;0).
16. se −1 < x < 0 , então f(x) > 0
3. O domínio mais amplo das funções f(x) =
4. (ACAFE) O domínio da função f ( x ) =
( x − 1)( x + 1)
x −1
e g(x) = x + 1 é o mesmo?
4− x
1
é o conjunto dos números
+
2x − 6
x −1
x ∈ \ , tais que:
d) x > 1, com x ≠ 3.
e) x ≥ 1, com x ≠ 3.
a) 1 < x ≤ 4 , com x ≠ 3.
b) x ≥ 4 , com x ≠ 3.
c) 1 < x ≤ 4
5. Dada as funções f(x) = 2x – 4 e g(x) = x² – 4, determine:
a) fog(2)
b) fog(–1)
c) gof(4)
d) gof(0)
e) fof(2)
f) gog(–3)
6. Se f(x) = x² + 3x e g(x) = 2 – x, calcule fog(x) e gof(x).
7. O custo p de produção, em reais, de cada vaso depende da quantidade q de vasos
fabricados, e essa quantidade depende do número n de horas de funcionamento
de uma máquina. Essas dependências são descritas pelas funções p = 3 +
500
q
e
q = 200n .
a) O custo p de cada caso cresce ou decresce com o aumento do tempo de
funcionamento da máquina?
b) Se essa máquina funcionar por apenas 5 horas, qual será o custo de produção
de cada vaso, em reais?
c) Expresse p em função de n, isto é, escreva uma equação sob a forma p = f(n).
d) Expresse n em função de p, isto é, escreva uma equação sob a forma n =
g(p).
8. (UFPR – 2006) Dadas as funções f : R → R e g : R → R definidas por
f (x ) = ax + b e g(x ) = x 2 , considere as seguintes afirmativas:
I.
II.
III.
(g D f )(1) = (a + b) 2 .
(f D g)(− x ) = (f D g)(x ) ,
para qualquer x ∈ R.
(g D f )(x ) = (f D g)(x ) , para qualquer x ∈ R.
Assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
e)
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
Somente a afirmativa I é verdadeira.
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
9. Determine a lei de formação da função inversa da função que tem, como lei de
formação, f ( x ) = 4 x + 2 .
10. Idem para a função real em que f ( x ) =
2x −1
.
x +1
11. Seja uma função que associe, a cada elemento do domínio, o seu quádruplo.
Qual a lei de formação da função inversa?
12. Seja a função real f(x) =
4
. Calcule a lei de formação da função inversa f-1.
x+2
13. Se a altura atingida por um alpinista numa montanha varia de acordo com a
expressão h = 100t + 20, em que h é altura, em metros, do alpinista em função
do tempo t, em horas. Considerando que esta expressão esteja sempre de acordo
com a escalada do alpinista, expresse o tempo de subida em função da altura.
14. No exercício anterior, determine o tempo transcorrido para o alpinista estar a
uma altura de 200 metros.
15. (ACAFE – 2005) Sendo f: \ → \ , definida por f(x) = 2x + 2, todas as
alternativas estão corretas, exceto:
a) f(x) é uma função crescente.
b) O valor de f(0) é igual a 2.
c) A função inversa de f é dada por f −1 ( x ) =
x −2
2
.
d) O gráfico de f(x) é uma reta que intercepta o eixo OX no ponto (1, 0).
e) f(x) é positiva para todo x > –1 .
x +1
16. (UFSC – 2000 – adaptada) Sejam as funções f(x) =
x −1
definida para todo x
real e x ≠ 1 e g(x) = 2x + 3 definida para todo x real.
Determine a soma
VERDADEIRA(S).
dos
números
associados
à(s)
proposição(ões)
1
01. f ⎛⎜ ⎞⎟ = −f ( x ) ∀x ∈ \ − {0,1}
x
⎝ ⎠
02. O domínio da função fοg (f composta com g) é D(fog) = \ − {−1} .
04. O valor de g(f(2)) é igual a
4
3
.
08. A função inversa da g é definida por g−1(x) =
x−3
2
.
3
16. A reta que representa a função g intercepta o eixo das abscissas em ⎛⎜ − ,0 ⎞⎟ .
⎝ 2
⎠
Desafios:
1. (FUVEST) Se f : \ → \ é da forma f ( x ) = ax + b e verifica-se f ( f ( x ) ) = x + 1 ,
para todo x real, então a e b valem, respectivamente:
a) 1 e ½
b) –1 e ½
c) 1 e 2
d) 1 e –2
e) 1 e 1
2. (UFMG – adaptada) Em uma experiência realizada com camundongos, foi
observado que o tempo, em minutos, requerido para um camundongo percorrer
um labirinto, na n-ésima tentativa, era dado pela função f ( n ) = 3 +
12
.
n
a) Qual o tempo necessário para o camundongo percorrer o labirinto na terceira
tentativa? E na quinta tentativa?
b) Em qual tentativa o camundongo “leva” 3 minutos e 30 segundos para percorrer
o labirinto?
RESPOSTAS:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
a) constante b) crescente
02+16 = 18
Não, pois D(f) = \ e D(g) =
A
a) –4 b) –10 c) 12 d) 12
fog(x) = x² - 7x + 10;
7) a) Cresce.
b) R$ 3,50
8) A
x−2
4
−x −1
10) f −1 ( x ) =
x−2
x
11) f −1 ( x ) =
4
4
12) f −1 ( x ) = − 2
x
h − 20
13) t =
100
9) f −1 ( x ) =
14) 1,8 horas
15) D
16) 01+02+08+16 = 27
c) decrescente
\ − {1} .
e) –4 f) 21
gof(x) = 2 - x² - 3x
c) p = 3 +
5
2n
d) n =
5
2p −6