AS PROGRESSÕES
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Uma progressão aritmética é una sucessão em que cada elemento se
obtém somando ao anterior um número fixo chamado razão, que se
representa pela letra r.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Assim, se (an) é una progressão aritmética, verifica-se que:
an 1  an  r
(r constante),
an 1  an  r
n 

Se a razão é positiva, a progressão é crescente; ou seja, cada termo é
maior que o anterior.

Se a razão é zero, a progressão é constante, ou seja, tem todos os seus
termos iguais.

Se a razão é negativa, a progressão é decrescente, ou seja, cada termo é
menor que o anterior.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Termo geral de uma progressão
aritmética
Se an 1  an  r
a2 = a 1 + r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2.r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3.r
a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4.r
Logo,
an= a1 +(n-1). r
Esta fórmula pode ser adaptada e obtém-se: an= ak +(n-k). r
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Exercício: Escreve a expressão do termo geral das p.a. em que:
1)
un
7
5
3
1
n
O
2)
u1 = -5
e
r = 1/2
3)
u10 = 8
e
u3 = -6
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Soma de n termos consecutivos
de uma progressão aritmética
É muito conhecida a história segundo a qual
propuseram a Gauss (1777-1855), na escola
primária quando este contava somente dez anos de
idade, que somasse os 100 primeiros números
naturais. Perante o assombro do professor, mal
este tinha acabado de ditar o problema, Gauss deu
a solução: 5 050.
O que este insigne matemático observou foi:
1+100 = 2+99 = 3+98 = ... etc. Só teve que dar-se
conta de que tinha 50 pares de números, sendo a
soma de cada par 101. Assim, limitou-se
a
multiplicar 50 x 101 = 5 050.
Gauss (1777-1855)
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Consideremos a progressão aritmética de termo geral
un = 2n-3 e tomemos oito quaisquer termos consecutivos
desta sucessão:
Por exemplo:
28
7
9
11
13
15
17
19
28
28
28
Podemos calcular a soma dos oito termos considerados, fazendo:
S8 = 28 x 4
ou seja
S8 = (7+21) x 8/2
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PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Esta propriedade continua ser válida, se tomarmos um número ímpar de
termos.
Por exemplo:
9
11
30
13
15
17
19
30
30
S7 = (9+21) x 3 + 15 = 90 + 15 = 105
ou
S7 = (9+21) x 7/2 = 30 x 3,5 = 105
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PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
A soma de n termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada
por
Sn  a1  an  
n
2
ou
Sn 
a1  an
n
2
Sendo n o número de termos considerados e a1 e an o primeiro e o
último desses termos.
Exercício:
Calcula a soma dos termos compreendidos entre u15 e u41 (excluídos
3n  2
estes) da progressão aritmética n