AS PROGRESSÕES
Aceite para publicação em 22 de novembro de 2012
AS PROGRESSÕES
As progressões constituem o exemplo mais simples do
conceito de sucessão. As suas propriedades estudam-se desde
os primórdios da história da matemática, e foram aplicadas,
sobretudo, no cálculo comercial.
O estudo das progressões aritméticas é paralelo ao das
progressões geométricas devido às propriedades destas
últimas emanarem das primeiras sem mais do que converter: somas
em produtos, diferenças em quocientes, e o produto por um
número natural numa potência de exponente natural.
A origem das progressões, tal como para tantos outros ramos da
matemática, é incerta. Não obstante, conservam-se alguns
documentos que atestam a presença das progressões vários séculos
antes da nossa era, pelo que não se pode atribuir a sua paternidade
a nenhum matemático concreto.
AS PROGRESSÕES
É conhecido o problema de calcular em quanto tempo se
dobraria uma quantidade de dinheiro com um
determinado juro composto, proposto pelos babilónios (2000
a.C. - 600 a.C.), o que faz pensar que conheciam de alguma
maneira a fórmula do juro composto e, portanto, as progressões
geométricas.
No livro IX dos Elementos de Euclides aparece escrita uma
fórmula, semelhante à atual, da soma dos n primeiros termos
consecutivos de uma progressão geométrica. Bhaskara,
matemático hindu do século XII, apresenta na sua obra mais
conhecida, o Lilavati, diversos problemas sobre progressões
aritméticas e geométricas.
AS PROGRESSÕES
Exemplos: Considera as seguintes sequências de números:
a) -3, 0,
1
, 2 , 7,  , 13, …
5
b) -1, 3, 7, 11, 15, ..., 4n-5 p.a.
c) 3, 6, 12, 24, 48, ..., 3 x 2
n-1
Para cada uma destas sequências,
qual será o termo seguinte?
p.g.
No primeiro caso a partir da informação disponível, não é clara a
existência de uma regularidade nesta sequência numérica que permita
escrever o termo seguinte.
No segundo, a 15 seguir-se-iam 19, 23, 27... (cada termo é quatro
unidades maior que o anterior).
No terceiro, ao quinto termo, que é 48, seguir-se-ia 96 (cada termo é
o dobro do anterior).
A obtenção do termo geral de uma sucessão pode ser de uma enorme
dificuldade. Não obstante, vamos a seguir estudar um tipo de sucessões
em que determinar o seu termo geral é bastante simples.
PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS
Uma progressão aritmética é uma sucessão em que
cada elemento se obtém somando ao anterior um número
fixo chamado razão, que se representa pela letra r.
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
Assim, se (an) é uma progressão aritmética, verifica-se
que:
an 1  an  r

an 1  an  r
(r constante), n  IN
PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS
 Se a razão é positiva, a progressão é
crescente; ou seja, cada termo é
maior que o anterior.
 Se a razão é zero, a progressão é
constante, ou seja, tem todos os
seus termos iguais.
 Se a razão é negativa, a progressão
é decrescente, ou seja, cada termo
é menor que o anterior.
PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS
Termo geral de uma progressão aritmética
Para se obter a expressão do termo geral de uma progressão aritmética
(an) basta observar que:
a2 = a 1 + r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2.r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3.r
a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4.r
Note-se que em todos os casos o termo corresponde à soma de duas
quantidades:
• A primeira é sempre a1
• A segunda é o produto (n - 1).r
Logo,
an= a1 +(n-1).r
Pode-se também provar facilmente que: an= ak +(n-k).r. Expressão que
permite obter a expressão do termo geral a partir de qualquer termo
da progressão (não apenas a partir do primeiro).
PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS
Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das
progressões aritméticas em que:
1)
un
7
5
3
1
n
O
2)
u1 = -5
e
r=½
3)
u10 = 8
e
u3 = -6
PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS
Soma dos n primeiros termos consecutivos
de uma progressão aritmética
É muito conhecida a estória segundo a qual
propuseram na escola primária a Carl Frederich
Gauss (1777-1855), quando este contava somente
dez anos de idade, que somasse os 100 primeiros
números naturais. Perante o assombro do
professor, mal este tinha acabado de ditar o
problema, Gauss deu a solução: 5 050.
O que este insigne matemático observou foi que a
soma 1+100 era igual a 2+99, igual a 3+98, ... etc.
quer dizer, só teve que dar-se conta de que
contava com 50 pares de números, sendo a soma
de cada par 101. Assim, limitou-se a multiplicar:
50 x 101 = 5 050.
Gauss (1777-1855)
PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS
Consideremos a progressão aritmética de termo geral un = 2n-3
e tomemos oito quaisquer termos consecutivos desta sucessão:
Por exemplo:
28
7
9
11
13
15
17
19
28
28
28
Podemos calcular a soma dos oito termos considerados, fazendo:
S8 = 28 x 4
ou seja
S8 = (7+21) x 8/2
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PROGRESSÕES
ARITMÉTICAS
Esta propriedade continua a ser válida, se tomarmos um número
ímpar de termos.
Por exemplo:
9
11
30
13
15
17
19
30
30
S7 = (9+21) x 3 + 15 = 90 + 15 = 105
o que equivale a:
S7 = (9+21) x 7/2 = 30 x 3,5 = 105
21
PROGRESSÕES ARITMÉTICAS
A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão
aritmética é dada por
Sn   a1  an  
n
2
ou
a1  an
Sn 
n
2
Sendo n o número de termos considerados e a1 e an o primeiro e o
último desses termos.
Aplicação:
Calcula a soma dos termos compreendidos entre u15 e u41 da progressão
aritmética de termo geral un  3n  2
Bibliografia:
•
Novo Espaço
Matemática A -11º ano
Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues
•
Infinito 11
Matemática A -11º ano
Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves | Cristina
Cruchinho |
Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões
Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências
Maria José Vaz da Costa