Curso Wellington – Matemática – Progressões Aritméticas – Prof Hilton Franco
1. Progressão aritmética é uma sequência de números tal que a diferença entre cada um
desses termos (a partir do segundo) e o seu antecessor é constante. Essa diferença constante
é chamada “razão da progressão aritmética” e usualmente indicada por r.
a) Considere uma PA genérica finita (a1, a2, a3, ..., an) de razão r, na qual n é par. Determine a
fórmula da soma dos termos de índice par dessa PA, em função de a1, n e r.
b) Qual a quantidade mínima de termos para que a soma dos termos da PA (–224, –220, –216,
...) seja positiva?
2.
A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela expressão
Sn = 8n2 − 1.
Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a:
a) 128
b) 132
c) 146
d) 150
e) 152
3. Atribui-se ao matemático De Moivre uma lenda sobre um homem que previu sua própria
morte. As condições da previsão estão dentro de uma narrativa que modela grosseiramente
vários aspectos da realidade. Por exemplo, dormir 24 horas seguidas equivale a morrer, e
assim por diante. A lenda é a seguinte: um homem observou que cada dia dormia 15 minutos a
mais que no dia anterior. Se ele fez essa observação exatamente após ter dormido 8 horas,
quanto tempo levará para que ele durma 24 horas seguidas, não mais acordando?
4. Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir, em que cada figura é formada por
um conjunto de palitos de fósforo.
Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras
que seguem a mesma lei de formação. Nesse caso, o número de fósforos necessários para
que seja possível exibir todas as primeiras 50 figuras ao mesmo tempo é igual a
a) 200.
b) 1000.
c) 2000.
d) 10000.
5. Na organização de um determinado rali, quanto à quilometragem diária a ser percorrida
pelas equipes participantes durante os 20 dias da competição, ficou estabelecida a seguinte
regra.
No primeiro dia, as equipes deveriam percorrer 500 km e, nos dias subsequentes, deveriam
percorrer 20 km a mais que no dia anterior.
A partir dos dados apresentados, é correto afirmar que uma equipe, para completar a prova,
deverá percorrer no mínimo:
a) 14.000 km
b) 13.800 km
c) 13.600 km
d) 13.400 km
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e) 13.200 km
6.
Quatro inteiros positivos são termos de uma progressão aritmética. Se o produto do
segundo desses termos pelo terceiro desses termos é igual a 77, então a soma desses quatro
termos é igual a:
a) 33
b) 34
c) 35
d) 36
e) 37
7. a) Determine o quarto termo da sequência (a1, a2 , a3 , K , an , K) dada por:
an = 2an−1 + 1 e a1 = 1, com n > 1.
b) O jogo “A torre de Hanói” tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três
hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em
transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as
regras:
1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez.
2ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor.
Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferila é 3.
Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número
possível de movimentos.
c) O menor número de movimentos an para transferir uma torre de n anéis, n > 1, , satisfaz a
relação: an + 1 = 2(an−1 + 1). Qual é o menor número de movimentos necessários para
transferir uma torre com 6 anéis?
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A soma dos n primeiros termos de uma sequência e dada pela fórmula Sn = 3n3 + 2n .
Desse modo, a diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa sequencia e igual a
a) 5.
b) 18.
c) 23.
d) 33.
8.
9. Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma triangular,
com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas.
Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 setores triangulares com as respectivas
quantidades de barras de mesmo comprimento.
Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares,
qual é o número N de barras para n setores triangulares?
a) N = 3 + 2n −1 para n ≥ 1
b) N = 3n para n ≥ 1
c) N = 3n2 + 2n para n ≥1
d) N = 3 + 2(n2 − 1) para n ≥ 1
e) N = 1 + 2n para n ≥ 1
10. Ao se fazer um exame histórico da presença africana no desenvolvimento do pensamento
matemático, os indícios e os vestígios nos remetem à matemática egípcia, sendo o papiro de
Rhind um dos documentos que resgatam essa história.
Nesse papiro encontramos o seguinte problema:
“Divida 100 pães entre 5 homens de modo que as partes recebidas estejam em progressão
aritmética e que um sétimo da soma das três partes maiores seja igual à soma das duas
menores.”
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Coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão acima a quantidade de
115
a)
pães.
3
55
b)
pães.
6
c) 20 pães.
65
d)
pães.
6
e) 35 pães.
11.
Dois cidadãos, C1 e C2 , devem a uma instituição financeira R$14580,00 e
R$12460,00 , respectivamente. Após uma negociação dessa dívida, os valores foram
parcelados de modo que C1 deverá pagar prestações mensais de R$480,00 e C2 deverá
pagar prestações mensais de R$390,00 . Se ambos começarem a pagar hoje, o saldo
devedor de C1 ficará menor do que o de C2 em
a) dez meses.
b) um ano.
c) um ano e três meses.
d) um ano e meio.
e) dois anos.
12. No centro de um mosaico formado apenas por pequenos ladrilhos, um artista colocou 4
ladrilhos cinza. Em torno dos ladrilhos centrais, o artista colocou uma camada de ladrilhos
brancos, seguida por uma camada de ladrilhos cinza, e assim sucessivamente, alternando
camadas de ladrilhos brancos e cinza, como ilustra a figura a seguir, que mostra apenas a
parte central do mosaico. Observando a figura, podemos concluir que a 10ª camada de
ladrilhos cinza contém
a) 76 ladrilhos.
b) 156 ladrilhos.
c) 112 ladrilhos.
d) 148 ladrilhos.
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13. O quociente entre o último e o primeiro termo de uma sequência de números é 1.000. Os
logaritmos decimais dos termos dessa sequência formam uma progressão aritmética
1
de razão .
2
Então, o número de termos da sequência é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
14. Um jogo com dois participantes, A e B, obedece às seguintes regras:
- antes de A jogar uma moeda para o alto, B deve adivinhar a face que, ao cair, ficará voltada
para cima, dizendo "cara" ou "coroa";
- quando B errar pela primeira vez, deverá escrever, em uma folha de papel, a sigla UERJ uma
única vez; ao errar pela segunda vez, escreverá UERJUERJ, e assim sucessivamente;
- em seu enésimo erro, B escreverá n vezes a mesma sigla.
Veja o quadro que ilustra o jogo:
Ordem de erro
Letras escritas
1º
UERJ
2º
UERJUERJ
3º
UERJUERJUERJ
4º
UERJUERJUERJUERJ
nº
UERJUERJUERJUERJ. . .UERJ
O jogo terminará quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro,
for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro.
Determine o número total de letras que foram escritas até o final do jogo.
15. Seja ( a1,a2 ,a3 ,...) uma sequência com as seguintes propriedades:
I. a1 = 1 .
II. a2n = n ⋅ an , para qualquer n inteiro positivo.
III. a2n+1 = 2 , para qualquer n inteiro positivo.
a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.
b) Calcule o valor de a 2 50 .
16. As progressões aritméticas (2, 9, 16, ..., k) e (382, 370, 358, ..., k) são finitas e têm o
mesmo número de termos. O valor de k é igual a:
a) 156
b) 170
c) 135
d) 142
e) 128
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17.
Você tem um dinheiro a receber em pagamentos mensais. Se você recebesse
R$ 100,00 no primeiro pagamento e, a partir do segundo pagamento, você recebesse
R$ 150,00 a mais do que no pagamento anterior, receberia todo o dinheiro em 9 pagamentos.
Porém, se o valor do primeiro pagamento fosse mantido, mas, a partir do segundo pagamento,
você recebesse o dobro do que recebeu no mês anterior, em quantos pagamentos receberia
todo o dinheiro?
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
18. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) O valor de x na equação 3 + 5 + 7 + ... + x = 440 sabendo que as parcelas do primeiro
membro formam uma progressão aritmética, é 41.
02) Segundo o Larousse Cultural, Hórus é o deus-falcão do Egito Antigo, com muitas
atribuições e locais de culto. Na ideologia antiga, Hórus foi confundido com o céu ou
assimilado ao Sol (disco solar ladeado por duas grandes asas). No papiro de Rhind ficou
1 1 1 1 1 1 
,

 2 4 8 16 32 64 
registrado que a sequência das frações dos olhos do deus Hórus era  , , ,
O valor numérico da soma dos termos desta sequência é 1.
04) O primeiro termo da progressão geométrica em que a3 = 15 e a6 =
5
é 135.
9
08) As sequências (4, 7, 10, ...) e (5, 10, 15, ...) são duas progressões aritméticas com 50
termos cada uma. A quantidade de termos que pertencem a ambas as sequências é 15.
19. Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no km 3 e outro no
km 248. Entre eles serão colocados mais 6 telefones, mantendo-se entre dois telefones
consecutivos sempre a mesma distância. Nessas condições, assinale o que for correto.
01) A distância entre cada telefone será de 35 km.
02) Haverá um telefone no km 108.
04) Se um motorista está no km 165, a menor distância que ele terá que percorrer para
encontrar um telefone será de 13 km.
08) No km 73 não haverá telefone.
20.
Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando
estratégias agressivas de propaganda.
O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um
período de uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana
subsequente. Assim, entrarão 100 internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400
na terceira, e assim por diante.
Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados
na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas
novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana,
200 entrarão na segunda, 300 na terceira etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o
site A espera ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?
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Gabarito:
Resposta
a) Seja S a soma pedida.
S = a2 + a 4 + a6 + … + an
da
questão
1:
= (a1 + r) + (a1 + 3r) + (a1 + 5r) + … + [a1 + (n − 1)r]
[a1 + r + a1 + (n − 1)r] n
⋅
2
2
(2a1 + r + nr − r)n
=
4
(2a1 + nr)n
=
.
4
=
b) A soma dos n primeiros termos da PA é dada por
[2a1 + (n − 1)r]n
Sn =
.
2
Queremos calcular o valor mínimo de n tal que Sn > 0.
[2 ⋅ ( −224) + (n − 1) ⋅ 4] ⋅ n
> 0 ⇒ [ −112 + (n − 1)] ⋅ n > 0 ⇒ n ⋅ (n − 113) > 0.
2
Portanto, como n > 0, devemos ter n = 114.
Resposta
[E]
da
questão
2:
Seja a10 o décimo termo da sequência. Como a soma dos dez primeiros termos é igual à soma
do décimo termo com a soma dos nove primeiros termos, temos que,
a10 + S9 = S10 ⇔ a10 + 8 ⋅ 92 − 1 = 8 ⋅ 102 − 1 ⇔ a10 = 800 − 648 = 152 .
Resposta
da
questão
3:
O número de horas consecutivas dormidas n dias após o início da observação é dado por
n
8 + . Logo, o homem morrerá quando:
4
n
8 + = 24 ⇔ n = 64.
4
Portanto, após 64 dias o homem dormirá 24 horas seguidas.
Resposta
[D]
da
questão
4:
A quantidade de palitos em cada figura varia de acordo com uma P.A de razão r = 8
P.A.( 4, 12, 30, 28, ...)
Na figura 50 temos a50 qpalitos: a50 = 4 + 49.8 = 396.
Calculando a soma de todos os palitos.
S50=
(4 + 396).50
= 10.000
2
Resposta
[B]
da
questão
5:
Temos então a P.A. ( 500, 520, 540, ... an)
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No vigésimo dia a quilometragem percorrida será: a20 = 500 + 19.20 = 880km
Calculando o total percorrido: S20 =
Resposta
[D]
a1 + a20 (500 + 880).20
=
= 13800
2
2
da
questão
6:
Seja (a, b, c, d) a progressão aritmética cuja soma dos termos queremos calcular.
Temos que
b ⋅ c = 77
⇒ b = 7, c = 11 ou b = 11, c = 7.
a, b, c, d ∈ ¢ ∗+
Logo, como a soma de termos equidistantes dos extremos é constante, vem
a + d = b + c = 7 + 11 = 18.
Portanto,
a + b + c + d = 2 ⋅ 18 = 36.
Resposta
a)
a4 = 2a3 + 1
da
questão
7:
= 2(2a2 + 1) + 1
= 2(2(2a1 + 1) + 1) + 1
= 2(4a1 + 2 + 1) + 1
= 8a1 + 7.
Como a1 = 1, segue que a4 = 8 ⋅ 1 + 7 = 15.
b)
c) Queremos calcular a6 .
an + 1 = 2(an−1 + 1) ⇔ an = 2an−1 + 1.
Do item (a) sabemos que a4 = 15. Logo,
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a6 = 2a5 + 1
= 2(2a4 + 1) + 1
= 2(2 ⋅ 15 + 1) + 1
= 63.
Resposta
[B]
da
questão
8:
da
questão
9:
a1 = S1 = 3⋅ 1 3+ 2⋅ 1= 5
a1 + a2 = S2 = 3⋅ 2 3+ 2⋅ 2= 28
Portanto, 5 + a 2 = 28 ⇔ a 2= 23
Resposta
[E]
Observa-se que cada figura tem duas barras a mais que a anterior, temos então uma P.A de
razão 2:
(3, 5, 7, ..)
Portanto, a figura n, terá número de barras igual a:
N = 3 + 2 ⋅ ( n − 1)
N = 2n + 1 para n ≥ 1
Resposta
[A]
da
questão
10:
Sejam x − 2r, x − r, x, x + r e x + 2r o número de pães que cada homem recebeu, com x, r > 0.
Desse modo,
 x − 2r + x − r + x + x + r + x + 2r = 100

⇒
 x + x + r + x + 2r
= x − 2r + x − r

7
 x = 20
 x = 20
5x = 100
 x = 20


⇒
⇒  11⋅ 20 ⇒  55 .

3x + 3r = 14x − 21r
24r = 11x r =
r = 6

24
Portanto, coube ao homem que recebeu a parte maior da divisão a quantidade de
55
55 60 + 55 115
x + 2r = 20 + 2 ⋅
= 20 +
=
=
pães.
6
3
3
3
Resposta
[E]
da
questão
11:
Sendo n o número de prestações pagas por C1 e C2 , para que o saldo devedor de C1 fique
menor do que o de C2 , devemos ter
14580 − 480 ⋅ n < 12460 − 390 ⋅ n ⇒ 90 ⋅ n > 2120
⇒ n > 23,56.
Portanto, em dois anos a condição do enunciado será satisfeita.
Resposta
[D]
da
questão
12:
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O número de ladrilhos em cada “lado” das camadas cinza constitui a progressão aritmética
(2, 6, 10, K). Desse modo, o “lado” da 10ª camada terá
a10 = a1 + (n − 1)r
= 2 + (10 − 1) ⋅ 4
= 2 + 36
= 38 ladrilhos.
Portanto, a 10ª camada de ladrilhos cinza contém 4 ⋅ (38 − 2) + 4 = 148 ladrilhos.
Resposta
[E]
da
Seja a sequência (a1, a2 , K , an ), tal que
questão
an
= 1000 = 103.
a1
Sabendo que (loga1, loga2 , K , logan ) é uma progressão aritmética de razão
logan = loga1 + (n − 1) ⋅
13:
1
, temos que
2
a
1
n −1
⇔ log n =
2
a1
2
n −1
2
⇔ n = 3 ⋅ 2 + 1 = 7.
⇔ log103 =
Portanto, o número de termos da sequência é 7.
Resposta
da
questão
14:
A quantidade de letras escritas em cada erro constitui a sequência (4, 8, 12, 16, …, an ), que é
uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 4 e razão 4.
Se o jogo termina quando o número total de letras escritas por B, do primeiro ao enésimo erro,
for igual a dez vezes o número de letras escritas, considerando apenas o enésimo erro, então:
[a + a1 + (n − 1)r]n
Sn = 10an ⇔ 1
= 10[a1 + (n − 1)r]
2
⇔ [2 ⋅ 4 + (n − 1) ⋅ 4]n = 20 ⋅ [4 + (n − 1) ⋅ 4]
⇔ (2 + n − 1) ⋅ 4n = 20 ⋅ 4n
⇒ n + 1 = 20
⇔ n = 19.
Portanto, o número total de letras que foram escritas até o final do jogo foi:
10an = 10 ⋅ (4 + 18 ⋅ 4) = 760.
Resposta
da
questão
a) De acordo com a lei de formação da sequência, temos que:
15:
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a1 = 1
a2 = a2⋅1 = 1⋅ a1 = 1⋅ 1 = 1
a3 = 2
a4 = a2⋅2 = 2 ⋅ a2 = 2 ⋅ 1 = 2
a5 = 2
a6 = a2⋅3 = 3 ⋅ a3 = 3 ⋅ 2 = 6
a7 = 2
a8 = a2⋅4 = 4 ⋅ a 4 = 4 ⋅ 2 = 8
a9 = 2
a10 = a2⋅5 = 5 ⋅ a5 = 5 ⋅ 2 = 10
a11 = 2
a12 = a2⋅6 = 6 ⋅ a6 = 6 ⋅ 6 = 36
a13 = 2
a14 = a2⋅7 = 7 ⋅ a7 = 7 ⋅ 2 = 14
a15 = 2
a16 = a2⋅8 = 8 ⋅ a8 = 8 ⋅ 8 = 64
Portanto, a sequência pedida é:
(1, 1, 2, 2, 2, 6, 2, 8, 2, 10, 2, 36, 2, 14, 2, 64).
b) Observando que:
a
2n
= 2 1 + 2 + K + (n−1),
com n ∈ ¥ ∗, vem
a
250
= 2 1 + 2 + K + 49 = 2
(1+ 49)
⋅ 49
2
= 21225.
Resposta
[D]
da
questão
16:
Da progressão aritmética (2, 9, 16, K , k) segue que k = 2 + (n − 1) ⋅ 7 = 7n − 5, sendo n o número
de termos.
(382, 370, 358, K , k)
Por
outro
lado,
da
progressão
aritmética
obtemos
k = 382 + (n − 1) ⋅ ( −12) = −12n + 394 .
Logo, devemos ter 7n − 5 = −12n + 394 ⇔ 19n = 399 ⇔ n = 21 e, portanto, k = 7 ⋅ 21 − 5 = 142 .
Resposta
[B]
da
questão
17:
Considerando a P.A (100. 250, 400, ...), temos:
a9 = 100 +8.150 = 1300
S9 =
(100 + 1300).9
= 6.300
2
Considerando agora a P.G. ( 100, 200, 400, ...), temos:
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( 2 − 1) = 6300
100.
n
2 −1
n
2 − 1 = 63
2n = 64
n=6
Portanto, receberia o dinheiro em 6 meses.
Resposta
01 + 04 = 05
da
questão
18:
01. Verdadeira - x = 3 + ( n − 1) ⋅ 2 ⇔ x = 2n + 1
( 3 + 2n + 1) .n = 440 ⇔ n2 + 2n − 440 = 0 , resolvendo, temos n = 20
2
Logo, x = 41 (verdadeira)
02. Falsa - S
6
 1 6 
a1   − 1 1 .  1 − 1


 2 
 = 2  64  = 63
= 
1
64
1 
−
 2 − 1
2


04. Verdadeira
a6 = a3 .q3 ⇔
5
1
= 15.q3 ⇔ q =
9
3
2
 1
a3 = a1.q2 ⇔ 15 = a1.   ⇔ a1 = 135
3
08. Falsa
(4, 7, 10, ...) a50 = a1 + 49.r ⇔ a50 = 4 +49.3 = 151
(5, 10, 15, ...) a50 = a1 + 49.r ⇔ a50 = 5 +49.5 = 250
O primeiro termo comum é 10, o próximo será 10 + 15 (mmmc(3,5)). Temos então uma P.A de
razão 15.
(10, 25, 40,...145)
145 = 10 + ( n − 1) ⋅ 5 ⇔ n = 10
Resposta
01+ 02 + 04 = 07
da
questão
19:
(3,_,_,_,_,_,_,248) P.A de 8 termos
248 = 3 + (8-1).r ⇔ 7r = 245 ⇔ r = 35(será colocado um telefone a cada 35km)
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(01) Verdadeiro,
(02) Verdadeiro, observe a figura.
(04) Verdadeiro, pois 178 -165 = 13
(08) Falso, haverá telefone, observe a figura.
Resposta
da
questão
20:
a) ( Site A: 150 + 100 + 200 + 400 + 800 + 1600 + 3200 = 6.350 portanto na sexta semana
3200 participantes e no total 6.450
b) Site B: 2.200 + ( 100 + 200 + 300 + ...) = 10.000
2200 +
(100 + 100n ) .n = 10.000 ⇔ 100n 2 + 100n − 15600 = 0 ⇔ n2 + n – 156 = 0
2
Resolvendo a equação temos n = 12 ou n = - 13(não convém)
Resposta: 12 semanas
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Curso Wellington – Matemática – Progressões Aritméticas – Prof Hilton Franco
Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
12/10/2011 às 22:02
PARITMETICA
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova
Q/DB
Matéria
Fonte
Tipo
1..................101825.............Matemática.........Unifesp/2011...........................Analítica
2..................103880.............Matemática.........Espm/2011..............................Múltipla escolha
3..................102699.............Matemática.........Ufpr/2011................................Analítica
4..................94276...............Matemática.........Unicamp simulado/2011.........Múltipla escolha
5..................104116.............Matemática.........Ufpb/2011...............................Múltipla escolha
6..................102829.............Matemática.........G1 - ifal/2011..........................Múltipla escolha
7..................100127.............Matemática.........Fgv/2011.................................Analítica
8..................104841.............Matemática.........G1 - cftmg/2011......................Múltipla escolha
9..................103189.............Matemática.........Uel/2011.................................Múltipla escolha
10................100667.............Matemática.........Uff/2011..................................Múltipla escolha
11................105333.............Matemática.........Uesc/2011...............................Múltipla escolha
12................100790.............Matemática.........Unicamp/2011.........................Múltipla escolha
13................105421.............Matemática.........Ufrs/2011................................Múltipla escolha
14................101286.............Matemática.........Uerj/2011................................Analítica
15................105768.............Matemática.........Fgv/2011.................................Analítica
16................103879.............Matemática.........Espm/2011..............................Múltipla escolha
17................103191.............Matemática.........Uel/2011.................................Múltipla escolha
18................103718.............Matemática.........Ufsc/2011................................Somatória
19................90877...............Matemática.........Uepg/2010..............................Somatória
20................93746...............Matemática.........Unicamp/2010.........................Analítica
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