Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
Sequências numéricas
Uma sequência numérica infinita é um conjunto numérico ordenado com as seguintes propriedades:
I. Existe o primeiro termo: a1
II.
II. Todo termo esta associado a um único sucessor: an → an+1
*
III.
III. O primeiro termo não é sucessor de nenhum dos termos da sequência: n∈ℕ
No caso das sequências finitas, há também o último termo, e este último termo não possui sucessor.
Os termos de uma sequência numérica costumam ser apresentados entre parênteses e separados por
vírgulas. Veja alguns exemplos:
A sequência dos múltiplos positivos do número 4: (4, 8, 12, 16, 20, 24, ...)
A sequência dos sucessores naturais dos múltiplos positivos do número 4: (5, 9, 13, 17, 21, 25, ...)
A sequência das potências naturais do número 5: (1, 5, 25, 125, 625, ...)
A sequência dos triplos das potências naturais do número 5: (3, 15, 75, 375, ...)
A sequência dos antecessores naturais dos triplos das potências positivas de 5: (2, 14, 74, 374, ...)
1 1 1
A sequência das metades das metades das metades do número 8: (4, 2, 1, ,
, , ...)
2 4 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , ,
, ...)
A sequência das frações unitárias: ( , ,
2 3 4 5 6 6 8 9 10
A sequência dos quadrados perfeitos: (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...)
A sequência dos números cem unidades maiores que os cubos perfeitos: (100,101,108,127,164, ...)
π π π 2π 5π
,
, π, ...)
A sequência, em radianos, dos múltiplos positivos de um arco de 30º: ( , , ,
6 3 2 3 6
A sequência dos senos dos múltiplos positivos de 90º: (1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, ...)
A sequência de Fibonacci: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)
A sequência dos números fatoriais: (1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...)
A sequência dos números triangulares: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...)
A linha de número 6 do Triângulo de Pascal: (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1)
A sequência, em ordem decrescente, dos divisores positivos do número 30: (30, 15, 10, 6, 5, 3, 1)
O ponto de abscissa 3 e ordenada –2 do plano cartesiano: (3, –2)
A origem do espaço tridimensional cartesiano: (0, 0, 0)
As coordenadas de um ponto no plano cartesiano formam uma sequência de apenas dois termos
chamada par ordenado. Não há necessidade de estudar as leis de formações de sequências de dois ou
três números. Já a sequência dos números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...) é infinita e ainda
hoje não somos capazes de enunciar sua lei de formação, embora um dia alguém tenha esbarrado numa
curiosa lei de formação tal que somando-se sucessivamente os números pares positivos ao número 41
obtém-se uma série de números primos. Veja:
41
43 = 41+2
47 = 41+2+4
53 = 41+2+4+6
61 = 41+2+4+6+8
71 = 41+2+4+6+8+10
93 = 41+2+4+6+8+10+12
107 = 41+2+4+6+8+10+12+14
123 = 41+2+4+6+8+10+12+14+16
Está sequência não apresenta todos os números primos maiores que 40. Ela salta alguns como 59, 63
e 73, mas de fato, essa lei de formação gera apenas números primos até o quadragésimo termo e, por
muito tempo acreditou-se que todos os termos desta sequência fossem primos. Mas a evolução da
notação matemática mostra claramente que o quadragésimo primeiro termo dessa sequência não é
primo. Observando-se a sequência (41, 43, 47, 53, 61, ...) é a imagem da função ordinal f(n) = n2+n+41,
percebe-se que f(41) = 412 +41+41 é múltiplo de 41. Há duas maneiras distintas de se enunciar a
formação de uma sequência infinita como esta: a recursiva e a iterativa.
a1 = 41 e an+1 = an + 2n , ∀ n∈ℕ*
⇔
an = n2 + n + 41
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Modelagem recursiva
A maneira recursiva ou recorrente declara o valor de pelo menos um termo, e associa os demais
termos da sequência aos dos valores dos termos declarados através de expressões com índices variáveis
de domínio ordinal. Essas expressões são denominadas leis de recorrência
A sequência dos múltiplos positivos do número 4, por exemplo: (4, 8, 12, 16, 20, 24, ...) pode ser
definida pelo seguinte par de informações:
a1 = 4

*
an+ 1 = an + 4 , ∀ n∈ℕ
n = 1 ⇒ a1 = 4
n = 2 ⇒ a2 = a1 + 4 = 4 + 4 = 8
⇒
n = 3 ⇒ a3 = a2 + 4 = 8 + 4 = 12
As informações são que o primeiro termo da sequência é o numero 4 e que cada um dos termos
sucessores pode ser obtido adicionando-se 4 unidades ao termo anterior. É importante observar que
esta segunda informação também poderia ser apresentada pela expressão an = an–1 + 4 para todo n
natural tal que n ≥ 2, pois assim, o termo an–1 antecede o termo an.
Note que n é variável ordinal da sequência, ou seja, n = 1 significa primeiro, n = 2 significa segundo,
n = 10 significa décimo e assim por diante:
a = (a
a1 , a2 , a3 , ... , an , ...)
n∈ℕ* ⇔ n ∈ {1, 2, 3, ...} ⇔ n = 1, 2, 3, ...
Modelagem iterativa
A maneira iterativa consiste na apresentação de uma fórmula para obter cada um dos termos de uma
sequência a partir do número que indica a posição deste termo, ou seja, obter o valor do primeiro termo
a partir do número 1, do segundo termo a partir do número 2 e assim por diante.
Esta formula é conhecida como termo geral – TG, e não é nada além de uma função, cujo domínio é o
conjunto dos ordinais {1o, 2o, 3o, 4o, ...}, escrita de uma maneira particular em que a variável é
apresentada como índice e não entre parênteses. Assim a notação tradicional f(x) é substituída pela
notação an.
Observe que f : {1, 2, 3, 4, ...} → ℝ tal que f(x) = 4x é uma função ordinal cuja imagem é o conjunto
dos múltiplos positivos do número quatro. Agora, considerando-se os elementos da imagem dessa
função em ordem crescente define-se a sequência (4, 8, 12, 16, ...).
A notação do termo geral das sequências numéricas indicará esta mesma função na forma an = 4n,
4n e
se não houver menção sobre o domínio da variável n devemos considerá-lo como o conjunto dos
números inteiros positivos, ou seja, dos números ordinais.
Progressões
Progressões aritméticas
aritméticas
A sequência dos sucessores naturais dos múltiplos positivos do número 4 é: (5, 9, 13, 17, 21, 25, ...)
que pode ser definida por a1 = 5 e an+1 = an +4 para todo n inteiro positivo ou pela função an = 4n +1.
+1
Para obter a lei de recorrência de uma sequência como essa basta encontrar uma relação entre dois
termos consecutivos que seja obedecida em toda a sequência:
+4
+4
+4
+4
+4
+4
( 5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , ... )
Essa foi declarada como sendo a dos sucessores dos múltiplos positivos do número 4, pode-se
deduzir que todo elemento desta sequência, a partir do segundo, é obtido da adição de quatro unidades
ao elemento anterior a ele.
As sequências que obedecem a leis de formação deste tipo (adição
adição de um valor constante)
constante) são
chamadas progressões aritméticas (PA) e essa constante, que pode ser encontrada subtraindo-se dois
termos consecutivos da sequência, é chamada de razão da PA. Por isso, costuma-se indicar a razão de
uma progressão aritmética usando-se a letra r, inicial da palavra resto.
resto
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Para se obter a expressão do termo geral de uma progressão aritmética, deve-se encontrar uma
função ordinal que faça an = f(n),
f(n) e um fato importante sobre as progressões aritméticas é que seus
termos gerais são expressos por funções constantes ou funções de primeiro grau. Sendo assim, devemos
procurar de uma função do tipo: f(n
f(n) = an
an + b.
b
*
f :ℕ → P.
P.A. tal que f(n) = an + b
*
ℕ
Sequ
Sequência
quência
10 20 3 0 4 0 5 0 6 0 ...
5 , 9 , 13, 17,
17, 21,
21, 25,
25, ...
f(1) = a⋅1+b = 5 ⇔ a + b = 5 (II)
f(2) = a⋅2+b = 9 ⇔ 2a + b = 9 (II
II)
II
Resolvendo-se o sistema formado pelas
equações I e II obtemos a = 4 e b = 1. Assim:
f(n) = 4n + 1
Observe que o coeficiente angular a da função f sempre coincidirá com o valor da razão da PA que é a
imagem da função f, já o valor do coeficiente linear b poderá ser encontrado ajustando-se qualquer
transformação da função. No exemplo acima, sabemos que: f(n) = 4n + b,
b pois a razão desta PA vele 4 e
como f(1) = 4+b deve ser o valor do primeiro termo da PA, encontramos o valor de b para que 4+b
resulte no número 5. Pode-se resumir o termo geral da PA, na forma de uma função ordinal, como:
an = (razão) ⋅ n + (ajuste)
Progressões
Progressões geométricas
geométricas
As relações entre os termos de duas ou mais sequências podem facilitar a obtenção de suas leis de
formação. Nos três exemplos a seguir, note que os elementos da sequência b são os triplos dos
elementos da sequência a e também são os sucessores inteiros dos elementos da sequência c, portanto,
sobre estas sequências pode-se afirmar: 3an = bn = 1+c
1+cn.
Lei de recorrência
Sequência
Termo geral
∀n∈ℕ*
⇒
a = (1, 5, 25, 125, 625, ...)
an = 5n-1
b1 = 3 e bn+1= 5⋅bn, ∀n∈ℕ*
⇒
b = (3, 15, 75, 375, 1875, ...)
bn = 3⋅ 5n-1
c1 = 2 e cn+1= 4+5⋅cn, ∀n∈ℕ*
⇒
c = (2, 14, 74, 374, 1874, ...)
cn = 3⋅ 5n-1 –1
a1 = 1 e an+1= 5⋅an,
Nas dias primeiras sequências acima temos que todos os termos a partir do segundo podem ser
obtidos multiplicando-se o termo antecessor por 5. As sequências que obedecem a leis de formação
deste tipo (multipli
multiplicação
cação sucessiva por um valor constante)
constante) são chamadas progressões geométricas (PG
(PG),
e esse fator constante que pode ser obtido dividindo-se dois termos consecutivos da sequência, é
chamado de razão da PG. Por isso, costuma-se indicar a razão de uma progressão geométrica usando a
letra q, inicial da palavra quociente.
quociente
A expressão do termo geral de uma progressão geométrica de termos positivos e razão diferente de 1
bn, cuja base b coincide com a razão da PG, e o coeficiente a
são funções exponenciais do tipo: f(n
f(n) = a⋅b
serve para ajustar as potências da razão aos termos da sequência como nos dois exemplos a seguir:
f(n) = Ajuste ⋅ (Razão)n
Veja como proceder em (1, 5, 25, 125, ... ):

1
1
1
⇒ f(n) = ⋅ 5n ≡ 5n-1
 ⇒ a⋅ 5 = 1 ⇔ a =
5
5
II. f(1) = 1 
n
I. f(n) = a ⋅ 5
Veja como proceder em (3, 15, 75, 375, ... ):

3
1
 ⇒ a⋅ 5 = 3 ⇔ a =
5
II. g(1) = 3 
n
I. g(n) = a ⋅ 5
⇒ g(n) =
3
5
⋅ 5n
≡
3⋅ 5n-1
Embora, a sequência (2, 14, 74, 374, ... ) não seja PG, podemos obter seu termo geral através de uma
translação da sequência anterior (3, 15, 75, 375, ... ): h(n) = g(n) – 1 = 3 ⋅5n-1 - 1.
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