PROGRESSÃO ARITMÉTICA
P.A.
Matemática Discreta
Observe as seqüências numéricas:
2
4
12
6
8 ...
9
6
5
3 ...
5
5
5 ...
Essas seqüências foram construídas
de forma que cada termo (número), a partir
do segundo, é a soma do anterior com
uma constante.
Observe a construção da primeira
seqüência:
Escolhemos um número para ser o primeiro termo da seqüência:
2
Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o segundo
termo:
Para obter os demais termos, vamos adicionando
algebricamente sempre o mesmo valor ao número
anterior:
+2
+2
+2
Seqüências desse tipo, nas quais cada
termo, a partir do segundo, é a soma do
anterior com uma constante, são
chamadas de Progressões Aritméticas.
Essa constante, que indicaremos por r, é
denominada razão da P.A.
Assim na progressão aritmética,
(2,4,6,8,...) temos r = 2 e a P.A. é dita crescente.
(12,9,6,3,...) temos r = -3 e a P.A. é dita decrescente.
(5,5,5,5,...) temos r = 0 e a P.A. é dita constante.
Termo Geral da Progressão Aritmética
Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um
termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo
apenas o primeiro e a razão.
Seja a1 o primeiro termo e r a razão da P.A.
O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão:
a2 = a1 + r
O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão:
a3 = a2 + r
Como: a2 = a1 + r tem-se que :
a3 = a1 + r + r logo, a3 = a1 + 2r
O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão:
a4 = a3 + r
Como a3 = a1 + 2r
a4 = a1 + 2r + r
temos que :
logo
a4 = a1 + 3r
Continuando assim podemos perceber que qualquer
termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma:
an = a1 + (n – 1) . r
onde “n” indica a qual termo estamos nos referindo.
Essa “fórmula” poderá ser usada sempre que quisermos
encontrar an, a1, n ou r. Veja alguns exemplos:
1) Sendo a1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo.
Como queremos o décimo termo temos que n = 10.
Substituindo na fórmula do termo geral teremos:
a10 =3 + (10–1).(-2)
a10 = 3 + 9.(-2)
a10 = 3 - 18
a10 = - 15
2) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e
200 termo igual a 30.
Aplicando na fórmula temos:
30 = a1 + (20–1).3
30 = a1 + 19.3
30 = a1 + 57
a1 = - 27
3) Calcule a razão da P.A. sabendo que a1 = 5 e a14 = - 21.
Substituindo os valores na fórmula temos:
- 21 = 5 + (14 – 1) . r
- 21 = 5 + 13 . r
- 21 – 5 = 13. r
- 26 = 13 . r
r=-2
4) Calcule o número de termos da P.A. finita:
(50,47,44,......,14).
Primeiro calculamos a razão:
Substituindo na fórmula:
14 = 50 + (n – 1).(-3)
14 – 50 = (n -1).(-3)
-36 = (n – 1).(-3)
n - 1 = -36 / (-3)
12 = n - 1
Logo, n = 13
r = 47– 50
r = -3
SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
ARITMÉTICA FINITA
Observe a P.A. finita:
Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos
extremos é igual à soma dos extremos.
Consideremos a P.A. finita de razão r:
(a1,a2,a3,...,an-2,an-1,an)
A soma dos seus termos pode ser escrita por:
Portanto, Sn = (a1 + an) + ( a1 + an ) + ....+ ( a1 + an))
n/2 parcelas iguais a (a1 + an)
Então:
Sn

a1  an .n

2
em que:
* a1 é o primeiro termo;
* an é o enésimo termo;
* n é o número de termos;
* Sn é a soma dos n termos.
Veja alguns exemplos de utilização da fórmula da soma
dos termos de uma P.A.
1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A.
(2,6,....).
Nessa P.A. infinita, os 50 primeiros termos
formam uma P.A. finita, na qual a1 = 2, r = 4 e n= 50
Devemos calcular an ou seja a50:
a50 = 2 + 49 . 4 = 2 + 196 = 198
Aplicando a fórmula da soma temos:
S50

2  198 .50

2
Logo, S50 = 5000
2) Em relação a seqüência dos números naturais ímpares,
vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos.
A seqüência é (1,3,5,7,......) com r = 2.
Calculando a20 temos:
a20 = 1 + 19.2 = 1 + 38
Então, a20 = 39
Assim:
S20

1  39 .20

2
Logo, S20 = 400