Geometria Espacial
Prof. Kairo O Silva
Axiomas

Axiomas, ou postulados (P), são
proposições aceitas como verdadeiras sem
demonstração e que servem de base para
o desenvolvimento de uma teoria.


A reta é infinita, ou seja, contém infinitos
pontos.

Por um ponto podem ser traçadas infinitas
retas.

Por dois pontos distintos passa uma única
reta.

Por três pontos não-colineares passa um
único plano.

Por uma reta pode ser traçada uma
infinidade de planos.
Posições relativas de duas
retas
Posições relativas de duas
retas
Posições relativas de duas
retas
Temos que considerar dois casos
particulares:

retas perpendiculares:

retas ortogonais:
Postulado de Euclides ou das
retas paralelas


Dados uma reta r e um ponto P r, existe
uma única reta s, traçada por P, tal que
r // s:
Determinação de um plano

uma reta e um ponto não-pertencente a
essa reta:
Determinação de um plano

duas retas distintas concorrentes:
Determinação de um plano

duas retas paralelas distintas:
Posições relativas de reta e
plano

reta contida no plano
Posições relativas de reta e
plano

reta concorrente ou incidente ao plano
Posições relativas de reta e
plano

reta paralela ao plano
Perpendicularismo entre reta e
plano
Posições relativas de dois
planos

planos coincidentes ou iguais
Posições relativas de dois
planos

planos concorrentes ou secantes
Posições relativas de dois
planos

planos paralelo
Poliedros convexos e côncavos

Chamamos de poliedro o sólido limitado
por quatro ou mais polígonos planos,
pertencentes a planos diferentes e que
têm dois a dois somente uma aresta em
comum
Poliedros convexos e côncavos







Os poliedros convexos possuem nomes especiais
de acordo com o número de faces, como por
exemplo:
tetraedro: quatro faces
pentaedro: cinco faces
hexaedro: seis faces
heptaedro: sete faces
octaedro: oito faces
icosaedro: vinte faces
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a
relação seguinte:
V-A+F=2

V=8 A=12 F=6
8 - 12 + 6 = 2
Relação de Euler
V = 12 A = 18 F = 8
 12 - 18 + 8 = 2

Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e
somente se:
 a) for convexo;
 b) em todo vértice concorrer o mesmo
número de arestas;
 c) toda face tiver o mesmo número de
arestas;
 d) for válida a relação de Euler.

Poliedros platônicos
Poliedros platônicos
Prismas
Prismas
bases:as regiões poligonais R e S
 altura:a distância h entre os planos
 arestas das bases:os lados ( dos
polígonos)
 arestas laterais:os segmentos
 faces laterais: os paralelogramos AA'BB',
BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Prismas
Classificação
 reto: quando as arestas laterais são
perpendiculares aos planos das
bases;

Prismas
Classificação
 oblíquo: quando as arestas laterais
são oblíquas aos planos das bases.

Prismas

Chamamos de prisma regular todo prisma
reto cujas bases são polígonos regulares:
Prismas
Prismas
volume de um prisma
 V = AB.h

Paralelepípedo retângulo
Diagonais da base e do
paralelepípedo
Sendo AL a área lateral de um
paralelepípedo retângulo, temos:

AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =
AL = 2(ac + bc)
área total é a soma das áreas de
cada par de faces opostas:

AT= 2( ab + ac + bc)
volume de um paralelepípedo
volume de um paralelepípedo retângulo de
dimensões a, b e c é dado por:
 V = abc

Cubo
Diagonais da base e do cubo
Área lateral

AL=4a2
Área total
AT=6a²
Volume


V= a . a . a = a³
Cilindro
Classificação do Cilindro
circular oblíquo: quando as geratrizes são
oblíquas às bases;
 circular reto: quando as geratrizes são
perpendiculares às bases

cilindro de revolução

O cilindro circular reto é também chamado
de cilindro de revolução
Secção transversal
Secção meridiana
Áreas
Volume

Vcilindro = Ab.h
Pirâmides
Relações entre os elementos
de uma pirâmide regular
Relações entre os elementos
de uma pirâmide regular

A face lateral da pirâmide é um triângulo
isósceles.
Relações entre os elementos
de uma pirâmide regular

Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
Áreas

AT = AL +Ab

Volume
Cone circular
Cone circular
altura: distância h do vértice V ao plano
 geratriz (g):segmento com uma
extremidade no ponto V e outra num
ponto da circunferência
 raio da base: raio R do círculo
 eixo de rotação:reta determinada pelo
centro do círculo e pelo vértice do cone


Cone reto

g² = h²+ R²
Secção meridiana
Áreas
Teorema de Pappus - Guldin

quando uma superfície gira em torno de
um eixo e, gera um volume tal que:
d = distância do centro de gravidade (CG) da sua superfície ao eixo e
S=área da superfície
Volume
Secção paralela à base de uma
pirâmide
Tronco da pirâmide
Áreas & Volume

AT =AL+AB+Ab
Tronco do cone
Áreas
Volume
Esfera
Fuso esférico
Cunha esférica
Calota esférica
Zona esférica