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Geometria Espacial
Conceitos primitivos
São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem
definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto,
reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:
pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto
retas: letras minúsculas do nosso alfabeto
P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta.
planos: letras minúsculas do alfabeto grego
Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.
Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:
P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas
semi-retas.
Postulados sobre o plano e o espaço
P5) Por três pontos não-colineares passa um único
plano.
Axiomas
Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas
como verdadeiras sem demonstração e que servem de
base para o desenvolvimento de uma teoria.
Temos como axioma fundamental: existem infinitos
pontos, retas e planos. Postulados sobre pontos e retas
P1)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.
P2)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.
P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado.
P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de
planos.
P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas
regiões chamadas semiplanos.
P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões
chamadas semi-espaços.
1
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Posições relativas de duas retas
No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes,
paralelas ou reversas:
Postulado de Euclides ou das retas paralelas
P10) Dados uma reta r e um ponto P r, existe
uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:
Determinação de um plano
Lembrando que, pelo postulado 5, um único
plano passa por três pontos não-colineares, um plano
também pode ser determinado por:
uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:
Temos que considerar dois casos particulares:
duas retas distintas concorrentes:
retas perpendiculares:
duas retas paralelas distintas:
retas ortogonais:
Posições relativas de reta e plano
Vamos considerar as seguintes situações:
a) reta contida no plano
Se uma reta r tem dois pontos distintos num
2
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plano , então r está contida nesse plano:
Uma reta r é perpendicular a um plano
somente se, r é perpendicular a todas as retas de
passam pelo ponto de intersecção de r e .
se, e
que
b) reta concorrente ou incidente ao plano
Dizemos que a reta r "fura" o plano
ou que r e são
concorrentes em P quando .
Note que:
se uma reta r é perpendicular a um plano
perpendicular ou ortogonal a toda reta de
, então ela é
:
Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano
que não passam pelo ponto P.
c) reta paralela ao plano
Se uma reta r e um plano
não têm ponto em
comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no
plano ; portanto, r //
Em
existem infinitas retas paralelas, reversas ou
ortogonais a r.
P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum,
então a sua intersecção é dada por uma única reta que
passa por esse ponto.
Perpendicularismo entre reta e plano
para que uma reta r seja perpendicular a um plano ,
basta ser perpendicular a duas retas concorrentes,
contidas em :
Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja
perpendicular a uma única reta t de para que seja
perpendicular ao plano:
Posições relativas de dois planos
Consideramos as seguintes situações:
a) planos coincidentes ou iguais
3
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b) planos concorrentes ou secantes
Dois planos,
, são concorrentes quando sua
intersecção é uma única reta:
c) planos paralelo
Dois planos,
intersecção é vazia:
, são paralelos quando sua
A projeção ortogonal de uma figura geométrica F (
qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o
conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos
de F sobre :
Distâncias
A distância entre um ponto e um plano é a medida do
segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção
ortogonal sobre o plano:
Perpendicularismo entre planos
Dois planos,
, são perpendiculares se, e
somente se, existe uma reta de um deles que é
perpendicular ao outro:
Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a
um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre
si ou secantes.
Projeção ortogonal
A projeção ortogonal de um ponto P sobre um
plano
é a intersecção do plano com a reta
perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:
A distância entre uma reta e um plano paralelo é a
distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:
A distância entre dois planos paralelos é a distância
entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
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Observações:
Diedros, triedos, poliedros
Diedros
Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa
mesma reta, determinam uma figura geométrica
chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:
A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância
entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que
passa pela outra e é paralelo à primeira reta:
Triedos
Três semi-retas não-coplanares, com origem num
mesmo ponto, determinam três ângulos que formam
uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou
simplesmente triedro:
O ângulo entre duas retas reversas é o ângulo agudo que
uma delas forma com uma reta paralela à outra:
O ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo que a
reta forma com sua projeção ortogonal sobre o plano:
Ângulo poliédrico
Sejam n
semi-retas de mesma origem tais que
nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semiretas determinam n ângulos em que o plano de cada um
deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço.
A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.
5
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Isso não acontece no último poliedro, pois, em
relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas
em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado
côncavo.
Classificação
Os poliedros convexos possuem nomes especiais de
acordo com o número de faces, como por exemplo:
tetraedro: quatro faces
pentaedro: cinco faces
hexaedro: seis faces
heptaedro: sete faces
octaedro: oito faces
icosaedro: vinte faces
Poliedros
Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro
ou mais polígonos planos, pertencentes a planos
diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em
comum. Veja alguns exemplos:
Poliedros regulares
Um poliedro convexo é chamado de regular se suas
faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo
número de lados e, para todo vértice, converge um
mesmo número de arestas.
Existem cinco poliedros regulares:
Poliedro
Planificação
Elementos
Tetraedro
Hexaedro
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os
vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do
poliedro.
Octaedro
4 faces
triangulares
4 vértices
6 arestas
6 faces
quadrangular
es
8 vértices
12 arestas
8 faces
triangulares
6 vértices
12 arestas
Poliedros convexos e côncavos
Observando os poliedros acima, podemos notar
que, considerando qualquer uma de suas faces, os
poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semiespaço que essa face determina. Assim, esses poliedros
são denominados convexos.
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Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e
12 faces
pentagonais
20 vértices
30 arestas
distintos,
, um polígono convexo R contido em
e uma reta r que intercepta
, mas não R:
Dodecaedro
20 faces
triangulares
12 vértices
30 arestas
Icosaedro
Relação de Euler
Em todo poliedro convexo é válida a relação
seguinte: V - A + F = 2
em que V é o número de vértices, A é o número de
arestas e F, o número de faces.
Observe os exemplos:
V=8 A=12 F=6
8 - 12 + 6 = 2
Para cada ponto P da região R, vamos considerar o
segmento
, paralelo à reta r
:
V = 12 A = 18 F = 8
12 - 18 + 8 = 2
Assim, temos:
Poliedros platônicos
Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente
se:
a) for convexo;
b) em todo vértice concorrer o mesmo número de
arestas;
c) toda face tiver o mesmo número de arestas;
d) for válida a relação de Euler.
Assim, nas figuras acima, o primeiro poliedro é
platônico e o segundo, não-platônico.
Prismas
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Chamamos de prisma ou prisma limitado o
conjunto de todos os segmentos congruentes
paralelos a r.
Observação: As faces de um prisma regular são
retângulos congruentes.
Elementos do prisma
Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes
elementos:
prisma regular triangular
bases:as regiões poligonais R e S
altura:a distância h entre os planos
arestas das bases:os lados
prisma regular hexagonal
( dos polígonos)
arestas laterais: os segmentos
faces laterais: os paralelogramos
AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A
Classificação
Um prisma pode ser:
reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos
planos das bases;
oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos
planos das bases.
Secção
Um plano que intercepte todas as arestas de um
prisma determina nele uma região chamada secção do
prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela
intersecção do prisma com um plano paralelo aos
planos das bases ( figura 1). Todas as secções
transversais são congruentes ( figura 2).
Áreas
prisma reto
prisma oblíquo
Num prisma, distinguimos dois tipos de
superfície:as faces e as bases. Assim, temos de
considerar as seguintes áreas:
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a) área de uma face (AF ):área de um dos paralelogramos
que constituem as faces;
b) área lateral ( AL ):soma das áreas dos paralelogramos
que formam as faces do prisma.
No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das
bases;
d) área total ( AT): soma da área lateral com a área das
bases
AT = AL + 2AB
Vejamos um exemplo.
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da
base a e aresta lateral h, temos:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de
medida b e quatro arestas de medida c; as arestas
indicadas pela mesma letra são paralelas.
Diagonais da base e do paralelepípedo
Considere a figura a seguir:
,
db = diagonal da base
dp = diagonal do paralelepípedo
Na base ABFE, temos:
Paralelepípedo
Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe
o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:
a)paralelepípedo oblíquo b) paralelepípedo reto
No triângulo AFD, temos:
Se o paralelepípedo reto tem bases retangulares,
ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou
paralelepípedo retângulo.
Paralelepípedo retângulo
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e
c da figura:
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Área lateral
Sendo AL a área lateral de um paralelepípedo
retângulo, temos:
do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base
AB pela medida da altura h:
Cubo
Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas
congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa
forma, as seis faces são quadrados.
AL= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =AL = 2(ac + bc)
Área total
Planificando o paralelepípedo, verificamos que a
área total é a soma das áreas de cada par de faces
opostas:
Diagonais da base e do cubo
Considere a figura a seguir:
dc=diagonal do cubo
db = diagonal da base
AT= 2( ab + ac + bc)
Volume
Por definição, unidade de volume é um cubo de
aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de
dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2
cubos de aresta 1:
Na base ABCD, temos:
No triângulo ACE, temos:
Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de
dimensões a, b e c é dado por:
V = abc
Como o produto de duas dimensões resulta sempre
na área de uma face e como qualquer face pode ser
considerada como base, podemos dizer que o volume
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Área lateral
A área lateral AL é dada pela área dos quadrados de
lado a:
Vprisma = ABh
Cilindro
Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e
distintos,
, um círculo R contido em
reta r que intercepta
AL=4a
e uma
, mas não R:
2
Área total
A área total AT é dada pela área dos seis quadrados
de lado a:
AT=6a2
Para cada ponto C da região R, vamos considerar o
segmento
, paralelo à reta r
:
Volume
De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o
volume de um cubo de aresta a é dado por:
V= a . a . a = a3
Generalização do volume de um prisma
Para obter o volume de um prisma, vamos usar o
princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos
diversos.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano
Assim, temos:
, se todo plano , paralelo a , intercepta os sólidos
e determina secções de mesma área, os sólidos têm
volumes iguais:
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então
V2 = ABh.
Assim, o volume de todo prisma e de todo
paralelepípedo é o produto da área da base pela medida
da altura:
Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto
de todos os segmentos
congruentes e paralelos a r.
Elementos do cilindro
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Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes
elementos:
A reta
do cilindro.
contém os centros das bases e é o eixo
Secção
Secção transversal é a região determinada pela
intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases.
Todas as secções transversais são congruentes.
bases: os círculos de centro O e O'e raios r
altura: a distância h entre os planos
geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos
das circunferências das bases ( por exemplo,
paralelo à reta r
) e
Classificação do Cilindro
Um cilindro pode ser:
circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às
bases;
circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares
às bases.
Veja:
Secção meridiana é a região determinada pela
intersecção do cilindro com um plano que contém o
eixo.
O cilindro circular reto é também chamado de
cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação
completa de um retângulo por um de seus lados. Assim,
a rotação do retângulo ABCD pelo lado
cilindro a seguir:
gera o
Áreas
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro
fazendo a sua planificação:
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No caso do cilindro circular reto, a área da base é
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e
cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo
de dimensões
:
a área do círculo de raio r
portanto seu volume é:
;
b) área da base ( AB):área do círculo de raio r
c) área total ( AT): soma da área lateral com as áreas das
bases
Volume
Para obter o volume do cilindro, vamos usar
novamente o princípio de Cavalieri.
Dados dois sólidos com mesma altura e um plano
Cilindro eqüilátero
Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado
( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro
eqüilátero.
, se todo plano
, paralelo ao plano , intercepta
os sólidos e determina secções de mesma área, os
sólidos têm volumes iguais:
:
Cone circular
Dado um círculo C, contido num plano , e um
ponto V ( vértice) fora de , chamamos de cone circular o
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo
e de todo cilindro é o produto da área da base pela
medida de sua altura:
Vcilindro = ABh
conjunto de todos os segmentos
.
Elementos do cone circular
Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes
elementos:
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altura: distância h do vértice V ao plano
geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V
e outra num ponto da circunferência
raio da base: raio R do círculo
Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também
será eqüilátero:
eixo de rotação:reta
determinada pelo centro do
círculo e pelo vértice do cone
Cone reto
Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à
base é chamado cone reto, também denominado cone de
revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de
um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.
Áreas
Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular
reto, obtemos um setor circular de raio g e
comprimento
:
Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): área do setor circular
Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a
seguinte relação:
g 2 = h2 + R 2
Secção meridiana
A secção determinada, num cone de revolução, por
um plano que contém o eixo de rotação é chamada
secção meridiana.
b) área da base (AB):área do circulo do raio R
c) área total (AT):soma da área lateral com a área da base
Volume
Para determinar o volume do cone, vamos ver
como calcular volumes de sólidos de revolução.
Observe a figura:
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Elementos da pirâmide
Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes
elementos:
d = distância do centro de gravidade (CG) da sua
superfície ao eixo e S=área da superfície
Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que,
quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera
um volume tal que:
Vamos, então, determinar o volume do cone de
revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo
em torno do cateto h:
base: o polígono convexo R
arestas da base: os lados
polígono
do
arestas laterais: os segmentos
faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE,
VEA
altura: distância h do ponto V ao plano
O CG do triângulo está a uma distância
eixo de rotação. Logo:
do
Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal
do vértice coincide com o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é
regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser
triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua
base seja, respectivamente, um triângulo, um
quadrilátero, um pentágono etc.
Veja:
Pirâmides
Dados um polígono convexo R, contido em um
plano
, e um ponto V ( vértice) fora de
,
chamamos de pirâmide o conjunto de todos os
segmentos
.
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Observações:
1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do
tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces
triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas
as faces e todas as arestas são congruentes).
2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides
regulares de bases quadradas resulta num octaedro.
Quando as faces das pirâmides são triângulos
eqüiláteros, o octaedro é regular.
Secção paralela à base de uma pirâmide
Um plano paralelo à base que intercepte todas as
arestas laterais determina uma secção poligonal de
modo que:
as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma
razão;
a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
as áreas desses polígonos estejam entre si assim como
os quadrados de suas distâncias ao vértice.
Relações entre os elementos de uma pirâmide regular
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal,
de aresta lateral l e aresta da base a:
Assim, temos:
A base da pirâmide é um polígono regular inscritível
em um círculo de raio OB = R.
A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
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Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
Áreas
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base
da pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da
base AT = AL +AB Para uma pirâmide regular, temos:
Troncos
Se um plano interceptar todas as arestas de uma
pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o
plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros:
uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um
novo cone e um tronco de cone.
Vamos estudar os troncos.
Tronco da pirâmide
Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:
as bases são polígonos regulares paralelos e
semelhantes;
as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.
Áreas
Temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): soma das áreas dos trapézios
isósceles congruentes que formam as faces laterais
b) área total (AT): soma da área lateral com a soma das
áreas da base menor (Ab) e maior (AB)
em que:
AT
=AL+AB+Ab
Volume
O princípio de Cavalieri assegura que um cone e
uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:
Volume
O volume de um tronco de pirâmide regular é dado
por:
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Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da
pirâmide obtido pela secção é válida a relação:
essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície
esférica e formada por todos os pontos pertencentes a
essa superfície e ao seu interior.
Tronco do cone
Sendo o tronco do cone circular regular a seguir,
temos:
Volume
O volume da esfera de raio R é dado por:
as bases maior e menor são paralelas;
a altura do tronco é dada pela distância entre os planos
que contém as bases.
Áreas
Temos:
a) área lateral
b) área total
Partes da esfera
Superfície esférica
A superfície esférica de centro O e raio R é o
conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O
é igual ao raio R.
Se considerarmos a rotação completa de uma
semicircunferência em torno de seu diâmetro, a
superfície esférica é o resultado dessa rotação.
A área da superfície esférica é dada por:
Volume
Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone
obtido pela secção são válidas as relações:
Zona esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
Esfera
Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto
de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor
ou igual ao raio R.
Considerando a rotação completa de um semicírculo
em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por
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A área da zona esférica é dada por:
Calota esférica
É a parte da esfera gerada do seguinte modo:
O volume da cunha pode ser obtido por uma regra
de três simples:
Ä área da calota esférica é dada por:
Fuso esférico
O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que
se obtém ao girar uma semi-circunferência de um
ângulo
em torno de seu eixo:
A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra
de três simples:
Cunha esférica
Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo
em torno de seu eixo de um ângulo
:
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