Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) Aula 6a Por que fazemos ajustes? Relação funcional que melhor descreve os dados experimentais dentro de um limite de validade. Representa o “comportamento médio” dos dados. Ajuste visual vs. MMQ Depende de quem analisa É difícil de ponderar dados com incertezas diferentes Não é otimizado Bom para estimativas Independe de quem analisa A incerteza dos dados é ponderada É o ajuste que mais se aproxima dos dados Mais cálculos (PC) MMQ e os resíduos Qual é o ajuste que mais se aproxima dos dados? Menor distância entre os pontos exp. e os dados Rai yi f ( xi ) Mas e a incerteza? yi f ( xi ) Rri si MMQ e os resíduos Vários pontos, como fazer? yi f ( xi ) 0 i Rri i si ? E se tiver com pontos acima e abaixo da reta? Rr 2 i i 2 yi f ( xi ) 2 si i MMQ e os resíduos Qual então é a melhor reta? Lembrando o que foi discutido quanto as distâncias!! yi f ( xi ) si i 2 2 Mínimo Como minimizar? Chi^2 é uma função!!! Como achar o mínimo de uma função? yi f ( xi ) si i 2 F(x) x 2 Caso 1: Ajuste de uma constante yi f ( xi ) si i 2 f ( xi ) a 2 Como achar o mínimo de uma função? yi a si i 2 Quais os parâmetros a? Minimizando yi a 2. a i si 2 ( 2 1) 1 . 0 si 2 Caso 1: Ajuste de uma constante 2 N yi a 1 2. . 0 a i 1 si si yi a 1 i s . s 0 i i N yi 1 2 a. 2 i 1 si i 1 si N yi 2 i 1 si a N 1 s 2 i 1 i N yi 1 a 1 . . 0 i 1 si si si si N É a média ponderada!!! Caso 2: Ajuste de uma Reta Nosso Caso! f ( xi ) axi b Como achar o mínimo de uma função? Quais os parâmetros a e b que minimizam? yi f ( xi ) si i 2 2 yi (axi b) si i 2 2 Caso 2: Ajuste de uma Reta Minimizando a ... yi a.xi b 2. a si i 2 ( 2 1) xi 0 . si N 2 i 2 i yi a.xi b xi i . 0 si si N i 1 N yi xi x xi a b 2 2 si i 1 s i 1 si Caso 2: Ajuste de uma Reta Minimizando b... yi a.xi b 2. b si i 2 N i 1 ( 2 1) 1 . si N N yi xi 1 a 2 b 2 2 si i 1 si i 1 si N Definindo: N i 1 S qqcoisa qqcoisai i 1 N i 2 2 i 2 i N yi xi x xi a b 2 2 si i 1 s i 1 si S yx a . Sx2 b . Sx N i 1 N N yi xi 1 a 2 b 2 2 si i 1 si i 1 si S y a . Sx b . S1 Sistema de duas equações e duas incógnitas: { a S y a . Sx b . S1 S yx a . Sx2 b . Sx S yx S1 S y S x Onde: b S y S x 2 S yx S x S x 2 .S1 S x Propagando as incertezas Para Mais detalhes vide: Tratamento Estatístico de Dados em física Experimental, O. Helene, V. Vanin 2 S1 s a sb S x2 f x ax b Melhor reta que descreve o conjunto de pontos experimentais, ou seja foi ajustada uma reta aos pontos experimentais http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/cdfvv/livro/CabriJava/mmq5.html Fazer: MMQ utilizando os dados da sala!!! Na Mão!! Determinar a e b com incertezas! Calcular Chi^2, e tudo que estiver na tabela!!! Colocar a reta com os valores de a e b por MMQ no gráfico para comparação!!! PS: Fazer no formato Relatório!!! Colocar MMQ utilizando os dados da sala!!! Determinar a e b com incertezas! Calcular Chi^2, e tudo que estiver na tabela!!! Colocar a reta com os valores de a e b por MMQ no gráfico para comparação!!! Discutir as diferenças O que significa Chi^2 alto ou baixo? Trazer duvida para a próxima aula