FUVEST 2006– 2a FASE – MATEMÁTICA
A área da borda é igual a 2 . 190 . 5 + 2 . 180 . 5 = 3700 cm2.
MATEMÁTICA
A área total de cor mostarda é 3700 + 100 . 54 = 9100 cm2.
1. Um tapete deve ser bordado sobre uma tela de 2 m por 2 m,
O número de novelos é
com as cores marrom, mostarda, verde e laranja, da seguinte
forma: o padrão quadrado de 18 cm por 18 cm, mostrado abaixo, será repetido tanto na horizontal quanto na vertical; e
uma faixa mostarda, de 5 cm de largura, será bordada em toda
a volta do tapete, como na figura.
≥
=
E assim, n = 23
2. Um comerciante compra calças, camisas e saias e as revende
com lucro de 20%, 40% e 30% respectivamente. O preço x
que o comerciante paga por uma calça é três vezes o que ele
paga por uma camisa e duas vezes o que ele paga por uma
saia.
Um certo dia, um cliente comprou duas calças, duas camisas
e duas saias e obteve um desconto de 10% sobre o preço
total.
a) Quanto esse cliente pagou por sua compra, em função de x?
b) Qual o lucro aproximado, em porcentagem, obtido pelo
comerciante nessa venda?
Resolução
Sendo x,
e
o custo de uma calça, uma camisa e uma saia,
e 1,3
respectivamente, e 1,2x; 1,4
a) Qual o tamanho do maior tapete quadrado, como descrito
acima, que pode ser bordado na tela? Quantas vezes o
padrão será repetido?
seus preços de venda,
então:
⎛
a) 2 . 0,9 ⎜
⎝
2
b) Se com um novelo de lã pode-se bordar 400 cm , qual é o
número mínimo de novelos de lã mostarda necessário para
confeccionar esse tapete?
⎞
⎟=
⎠
=
b) O custo de duas calças, duas camisas e duas saias é
⎛
⎜
⎝
lucro da venda
Resolução
⎞
⎟=
⎠
é
. Logo, a porcentagem de
a) Comprimento da tela: 200 cm
=
=
Cabem 11 padrões no comprimento da tela. Como 11 . 18 =
= 198, não sobram os 10 cm necessários para a faixa.
Devemos, então, bordar 10 padrões no comprimento,
obtendo assim um tapete de comprimento 10 . 18 + 10 =
= 190 cm, isto é, 1,9 m por 1,9 m.
3. Uma função f satisfaz a identidade f(ax) = af(x) para todos os
números reais a e x. Além disso, sabe-se que f(4) = 2. Considere ainda a função g(x) = f(x–1) + 1 para todo o número real x.
a) Calcule g(3).
O padrão será repetido 100 vezes.
b) Determine f(x), para todo x real.
b) Cada padrão tem a área de cor mostarda igual a
=
≅
c) Resolva a equação g(x) = 8.
2
1
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Resolução
Os triângulos OAB e CAO são semelhantes cuja razão entre
a) g(3) = f(3 – 1) + 1 = f(2) + 1 =
áreas é
. 4) + 1 =
= f(
=
. f(4) + 1 =
2
=
. A razão linear é
=
=
=
s
isto é,
.
V
.2+1=2
=
5. Na figura abaixo, O é o centro da circunferência de raio 1, a
. 4) =
b) f(x) = f(
=
. f(4) =
reta
suur
é secante a ela, o ângulo b mede 60o e
.
.2=
Daí, f(x) =
c) g(x) = 8
f(x – 1) + 1 = 8
f(x – 1) = 7
−
=7
x = 15
a) Determine sen OÂB em função de AB.
4. A reta s passa pela origem O e pelo ponto A do primeiro
b) Calcule AB.
quadrante. A reta r é perpendicular à reta s, no ponto A, e
intercepta o eixo x no ponto B e o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular de s se a área do triângulo OBC for o
triplo da área do triângulo OAB.
Resolução
Resolução
Sendo a agudo e m(OÂB) = g, então cos a =
a)
α
=
sen g =
h2 = mn
=
θ=
α
=
b) a + g + 120o = 180o
g = 60o – a
A figura acima consolida as informações do enunciado. Assim:
=
γ
Daí,
sen g = sen(60o – a) =
= sen 60o . cos a – sen a . cos 60o =
s
=
2
−
=
−
. Temos:
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Logo,
Por semelhança de triângulos, vem que:
⇒
−
=
5
AB =
−
1
=
5
⇒
⎡
⎣
⎤
⎦
O volume do sólido gerado é dado por:
6. Um torneiro mecânico dispõe de uma peça de metal maciça na
forma de um cone circular reto de 15 cm de altura e cuja base
B tem raio 8 cm (Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de
sua base, usando uma broca, cujo eixo central coincide com o
eixo do cone. A broca perfurará a peça até atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura 2. Se a área da base deste novo
sólido é 2/3 da área de B , determine seu volume.
2
=
⎡
⎤
π ⎢
⎥
⎣ 424444
⎦
1444
3
π 2
14
4244
3
vol. cone maior
=
vol. cone menor
π
π
π
π+
2
⎡
⎤
π ⎢
⎥
⎣
⎦4244444
14444
3
(
)
vol. do cilindro
π
7. No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se AD = 3 e DÂB = 30°.
Além disso, sabe-se que o ponto P pertence ao lado
bissetriz do ângulo DÂB.
eà
a) Calcule AP.
Resolução
b) Determine AB, sabendo que a área do quadrilátero ABCP
é 21.
Resolução
A figura acima consolida as informações do enunciado. Assim
a) DADP:
x2 = 32 + 32 – 2 . 3 . 3 cos 150°
x2 = 9 + 9 – 18 . ⎛⎜
⎝
Do enunciado vem que:
x2 = 18 + 9
p . 82 – pr2 =
ou
π
2
⇒ π/
2
=
π/
2
⇒ =
x2 = 9 (2 +
=
x=3
3
)
⎞
⎟
⎠
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b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite soluções não triviais?
b) DBCE:
=
sen 30° =
c) Calcule as soluções do sistema quando e sen2a = 1 e
cos2c = 1/5.
h=
l+l
Resolução
=
l
2
=
2
a)
2l – 3 = 28
2
­
2l = 31
l=
D
2
E
2
F
2
2
D
E =
2
E =
F
2
F
1
jacobi
=
D
–1
2
D
2
E =
2
F
2
D−
­
2
E
8. Determine os números complexos z que satisfazem, simulta⎛ − ⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
neamente,
b) Admite soluções não triviais se sen2a – sen2b = 0 ou sen2a =
= sen2b
.
1o) sen a = sen b
Lembretes: i2 = –1; se w = a + bi, com a e b reais, então |w| =
2
+
a = b + 2kp ou a = p – b + 2 kp
e Im(w) = b.
2
2o) sen a = –sen b
Resolução
a = –b + 2kp ou a = p + b + 2kp
Sendo z = a + bi, a, b e R, temos:
−
=
+
=
+
−
−
−
+
+ −
+
−
=
+
onde k Î Z.
+ − −
Pode-se resumir a resposta na forma a = ±b + kp, b Î R, c Î R.
=
− −
c) Do enunciado sen2a = 1 e cos2c =
sen2c =
Devemos ter:
⎧ − −
=
⎪
⎨
⎪ 2+ 2=
⎩
− =
⎪⎧
⇒ ⎨
⎪⎩
2
+
2
=
⎧ =
⎪
⇒⎨
⎪
⎩ =−
1o) Se sen2b ¹ 1 Þ S = {(0; 0; 0)}
=
2o) Se sen2b = 1 tem-se infinitas soluções
=
⎧
⎪ +
+ =
⎪
+
+ =
⎨
⎪
⎪
+
+
⎩
Daí,
z = –2 ou z = 2i
9. Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z:
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
2
. Então, cos2a = 0 e
=
2
D
2
D
Fazendo z = t, onde t Î R, e resolvendo o sistema, obtém-se
x = – t, y = –4t e z = t.
2
E
2
E
S = {(–t; –4t; t)}
F
2
F
a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do sistema linear.
4
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10. a) Determine os pontos A e B do plano cartesiano nos quais
os gráficos de
−
=
Se
então C deve pertencer à circunferência
definida pelos pontos O, A e B.
e x + y – 6 = 0 se interceptam.
x2 + y2 + ax + by + c = 0, então,
Sendo:
b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto
quadrante que satisfaz
x = 2.
02 + 02 + a . 0 + b . 0 + c = 0 Þ c = 0
e que pertence à reta
42 + 22 + a . 4 + b . 2 + c = 0 Þ
Þ 4a + 2b = –20
Resolução
a)
Þ 2a + b = –10
32 + 32 + a . 3 + b . 3 + c = 0 Þ
⎧
−
⎪ =
⎨
⎪⎩ + − =
Þ 3a + 3b = –18
Þ a + b = –6
Do sistema, resulta x +
− −
=
, ou seja, x2 – 7x + 12 = 0.
Assim, a = –4 e b = –2
A equação da circunferência fica x2 + y2 – 4x – 2y = 0
Assim, há duas soluções:
Como c (2; y), então,
1a) x = 4 Þ y = 2
2a) x = 3 Þ y = 3
22 + y2 – 4 . 2 – 2y = 0
e, assim, A (4; 2) e B (3; 3)
Daí,
y2 – 2y – 4 = 0
b)
= ±
e sendo y < 0
= −
Assim, c
(
−
)
COMENTÁRIO
Não é tarefa simples classificar a prova de 2a fase da FUVEST/2006 em fácil, média ou difícil, porque essa avaliação depende
da bagagem de conhecimentos de cada candidato. A prova reflete o que os examinadores esperam daqueles que pretendem uma
vaga.
Além de uma questão sobre porcentagem, a prova abordou assuntos variados como Geometria, Funções, Geometria Analítica,
Números Complexos, Trigonometria e Sistemas Lineares.
Os enunciados são claros e não deixam dúvidas em sua interpretação. A resolução das questões propostas, em vários casos,
envolve cálculos trabalhosos, o que pode dificultar a situação dos candidatos.
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