MATEMÁTICA FINANCEIRA
Razão e Proporção
1. Razão
Considere dois números a e b, com b ≠ 0, a razão entre esses dois números, é o quociente de
.
Onde:
a – é denominado antecedente ou primeiro termo
b – é denominado conseqüente ou segundo termo
Exemplo:
A razão entre 9 e 3 é 3, pois
A razão entre 4 e 10 é 0,4, pois
2. Proporção
A proporção dos números a, b, c, d, sendo b ≠ 0 e d ≠ 0, só é formada quando a razão entre a e b for a mesma
razão entre c e d.
Simbolizando:
Lê-se: a está para b, bem como c está para d.
Onde:
a e d – são denominados extremos
b e c – são denominados meios
Exemplo:
Os números 9, 3, 12, 4, formam ordenadamente uma progressão, pois
Representando:
Lê-se: 9 está para 3, bem como 12 está para 4.
e
.
3. Propriedades das proporções
Considerando que os números a, b, c e d, formam ordenadamente uma proporção, temos:
Lê-se: o produto dos extremos é igual ao produto dos produtos do meio.
Lê-se: a soma dos dois primeiros está para o segundo, bem como a soma dos dois últimos está para o último.
Lê-se: a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes bem como cada antecedente está para o
correspondente conseqüente.
4. Grandezas proporcionais
A representação A = (a1, a2, a3, …) indica que a1, a2, a3, … são valores assumidos pela grandeza A.
Quando escrevemos num determinado problema que A = (a1, a2, a3, …) e B = (a1, a2, a3, …), significa que
quando a grandeza A assumir o valor a1, a grandeza B também assumirá o valor b1.
Portanto, significa que a1 e b1 são valores correspondentes das grandezas A e B. Podemos dizer que a2 e b2 são
valores correspondentes, bem como a3 e b3, e assim por diante.
Grandezas diretamente proporcionais (GDP)
Considere duas grandezas A e B. A será diretamente proporcional a grandeza B somente quando os valores A e
os correspondentes valores de B forem iguais. Sendo assim, quando A = (a1, a2, a3, …) e B = (a1, a2, a3, …)
forem grandezas diretamente proporcionais, temos:
Onde k é a constante da proporcionalidade.
Exemplo:
Um ônibus percorre:
90 km em 1 hora
180 km em 2 horas
270 km em 3 horas
Portanto, neste caso, a distância e o tempo são grandezas diretamente proporcionais.
Grandezas inversamente proporcionais (GIP)
Considere duas grandezas A e B. A será inversamente proporcional a grandeza B somente quando os produtos
entre os valores A e os correspondentes de B forem iguais. Sendo assim, quando A = (a1, a2, a3, …) e B = (a1,
a2, a3, …) forem grandezas inversamente proporcionais, temos:
Onde k é a constante da proporcionalidade.
Exemplo:
Um ônibus percorre:
120 km em 1 hora
60 km em 2 horas
40 km em 3 horas
Portanto, neste caso, a distância e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.
5. Divisão proporcional
Divisão em partes diretamente proporcionais
Fazer a divisão de um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b e c é o mesmo que
determinar os números x, y e z, de maneira que:
a) as seqüências (x, y, z) e (a, b, c) sejam diretamente proporcionais
b) x + y + z = N
Neste caso, através da definição de GDP e das propriedades das proporções, podemos usar a técnica operatória
abaixo:
Divisão em partes inversamente proporcionais
Fazer a divisão de um número M em partes inversamente proporcionais aos números m, n, p, significa fazer a
divisão de M em partes diretamente proporcionais aos inversos de m, n e p, sendo m . n . p ≠ 0.