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Matemática e
suas Tecnologias
Matemática
Adriano Aquino, Carlos Mattos,
Márcio Rebouças e Samyo Praciano
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26
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ínio sobre razões, proporçõe
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ndezas e solucionar situaçõesgra
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função afim. Assim, voc
ent
ção
rela
a
sar
res
exp
qual é necessária para
da linguagem matemática, a
seu dia a dia.
Bom estudo!
Razões e Proporções
Considere que, no ano de 2010, o faturamento de uma
empresa tenha sido de R$ 200.000,00 e que, em 2011,
tenha sido de R$ 500.000,00. Poderíamos comparar
essas duas grandezas, subtraindo-as e dizendo que o
faturamento de 2011 é maior que o de 2010 em R$
300.000,00. Entretanto, a diferença não dá uma ideia
relativa do crescimento do faturamento.
Para obter essa ideia, podemos dividir os valores dos
faturamentos: 500000 = 2,5 . Desta maneira, dizemos
200000
que as vendas de 2011 equivalem a duas vezes e meia as
vendas de 2010 ou, ainda, que o crescimento foi de uma
vez e meia do faturamento de 2010. Essa comparação é
denominada razão.
Razão
Dados dois números a e b, com
, define-se
razão de a para b ou, simplesmente, razão entre a e b,
a
que também pode ser
nessa ordem, ao quociente
b
indicado por a : b, em que o número a é denominado
antecedente e o número b é denominado consequente.
As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de
espécies diferentes (por exemplo, densidade demográfica) ou de mesma espécie (por exemplo, escala) sendo
expressas numa mesma unidade.
Exemplos
1. Escala é a razão entre o comprimento no desenho e
o comprimento real correspondente.
comprimento no desenho
E =
comprimento real
Fonte: www.mundogeografico.sites.uol.com.br
O mapa acima foi feito na escala 1:100000, ou seja,
a cada 1 cm no desenho, temos 100000 cm ou 1km de
comprimento real. A distância entre os pontos A e B é de
5,5 cm no desenho, o que equivale a 5,5 km de distância
real. Observe que como a escala é uma razão, segue que
quanto maior é o denominador (distância real) menor é
a escala.
2. Densidade Demográfica é a razão entre o número
de habitantes e a área do território ocupado por eles
Densidade Demográfica =
número de habitantes
área do território
A maneira como uma população está distribuída em
determinado território e as transformações que essa distribuição sofre no decorrer do tempo são importantes
para evidenciar problemas e contradições socioeconômicas. Por exemplo, segundo dados do IBGE, o Brasil em
2010 possuía 190.732.694 habitantes em uma área de
8.514.215,3 km², ou seja, uma densidade demográfica
de 22,40 habitantes por quilômetro quadrado.
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27
Proporção
Exemplo de aplicação
Define-se proporção a uma igualdade de duas ou mais
razões. Dizemos que os números a, b, c e d, com
a c
ou a :
=
b d
b = c : d, em que a e d são os extremos enquanto b e c
são os meios. Por exemplo, os números 2, 4, 6 e 12 for-
, formam uma proporção quando
e
mam, nessa ordem, uma proporção, pois
2 6
= , isto é,
4 12
os resultados das duas frações são iguais a
1
, sendo esse
2
resultado denominado constante de proporcionalidade.
Propriedades:
1. a = c ⇔ a ⋅ d = b ⋅ c
b d
2 6
(por exemplo, = ⇔ 2 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 ).
3 9
2.
a c
a +b c +d
= ⇔
=
d
b d
b
(por exemplo, 3 = 6 ⇔ 3 + 2 = 6 + 4 ).
4
2 4
2
3.
a c
a +b c +d
= ⇔
=
c
b d
a
3 6
3+2 6+4
=
(por exemplo, = ⇔
).
2 4
3
6
a c
a −b c −d
4.
= ⇔
=
d
b d
b
5 10
5 − 3 10 − 6
(por exemplo, =
).
=
⇔
3 6
3
6
a c
a −b c −d
= ⇔
=
5.
c
b d
a
6.
28
(por exemplo,
a
b
=
c
d
=
a +c
b +d
(por exemplo,
5 10
5 − 3 10 − 6
).
=
=
⇔
3 6
5
10
=
6
9
a −c
b −d
=
4
6
=
6+4
9+6
=
6-4
9-6
).
Num bar, suco de tangerina é uma mistura de xarope
com água na razão de 1 parte de xarope para 2 de água
e refresco de tangerina é uma mistura de xarope com
água na razão de 1 para 5. Juntando um copo de suco
com um de refresco, obtemos uma mistura de xarope
com água na razão de
A.
B.
C.
D.
E.
1 para 3.
2 para 5.
3 para 5.
5 para 13.
6 para 17.
Solução: No suco, a quantidade de xarope é de 1 parte
num total de 3 partes, enquanto a quantidade de água
representa 2 partes num total de 3 partes. O refresco é
constituído de 1 parte de xarope num total de 6 partes e
de 5 partes de água num total de 6 partes. Misturando-se 1 copo de suco com 1 copo de refresco, temos
2+1
1
copo
copo + copo
3 1
xarope 3
6
6
=
= =
=
5
4 +5
2
9 3
água
copo + copo
copo
3
6
6
Assim, a proporção é de 1 parte de xarope para 3 partes
de água.
Resposta: a
1
Números Diretamente Proporcionais
Dizemos que os números (x1, x2, ..., xn) são diretamente
proporcionais aos números (y1, y2, ..., yn), quando podemos estabelecer uma proporção direta entre esses valores, ou seja,
x1 x2
x
= =…= n .
y1 y2
yn
Exemplo de aplicação
Três sócios resolveram abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo investiu 40 mil reais e o
terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a
pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for
distribuído de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido. Quanto cada um
recebeu?
Solução: Indicando por a, b e c as quantias recebidas
por cada um dos sócios, temos:
a
b
c
.
a + b + c = 24 e = =
30 40 50
Somando os numeradores e denominadores da proporb
c
a+b+c
24 1
a
ção, obtemos:
=
=
=
=
= .
30 40 50 30 + 40 +50 120 5
Daí:
1
a
 30 = 5
a = 6

1
b


=
⇔ b = 8 .
 40 5
c = 10

1
c
 50 = 5
Assim, o primeiro sócio receberá 6 mil reais, o segundo
sócio receberá 8 mil reais e o terceiro sócio receberá 10
mil reais.
Números Inversamente Proporcionais
Dizemos que os números (x1, x2, ..., xn) são inversamente
proporcionais aos números (y1, y2, ..., yn), quando podemos estabelecer uma proporção entre os valores da
primeira sequência e os inversos dos valores da segunda
sequência, ou seja,
x1 x2
x
=
=…= n ⇔ x1 × y1 = x2 × y2 =…= xn × yn
1
1
1
y1 y2
yn
.
Exemplo de aplicação
Uma senhora deseja dividir sua fortuna, que é de R$
1.100.000,00 entre seus netos, de maneira inversamente proporcional às idades desses netos. Sabendo que as
idades dos netos são 10, 5 e 4, qual a quantia recebida
por neto?
Solução: Indicando por x, y e z os valores recebidos por
neto, temos:
x
y
z
x + y + z = 11
, e = =
1
1 1.
10 5 4
Somando os numeradores e denominadores da proporção, obtemos:
Assim, o neto mais velho receberá 0,2 milhão (200 mil
reais), o neto do meio receberá 0,4 milhão (400 mil reais)
e o neto mais novo receberá 0,5 milhão (500 mil reais).
Observações
1. Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais
quando os valores da primeira grandeza e os valores
da segunda grandeza são diretamente proporcionais. Assim, quando o valor (absoluto) de uma grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada por
uma constante k, o valor (absoluto) correspondente
da outra grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada pela mesma constante k.
2. Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando os valores da primeira grandeza e os
valores da segunda grandeza são inversamente proporcionais. Assim, quando o valor (absoluto) de uma
grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada
por uma constante k, o valor (absoluto) correspondente da outra grandeza diminui (ou aumenta) sendo dividida pela mesma constante k.
Exemplos
1. Velocidade e distância percorrida são grandezas diretamente proporcionais, para um mesmo intervalo
de tempo. Observe o caso em que é medido o deslocamento de quatro móveis com velocidades diferentes durante duas horas:
2
x
y z
x+y+z
1,1
= 2.
= = =
=
1
1 1
1 1 1 11
+ +
10 5 4 10 5 4 20
Daí:
x = 0,2
10x = 2


5y = 2 ⇔  y = 0,4 .
z = 0,5
4z = 2


Velocidade (km/h)
10
20
30
40
Deslocamento (km)
30
60
90
120
Podemos observar que os valores da velocidade e do
deslocamento formam uma proporção direta:
10 20 30 40
=
=
=
30 60 90 120 .
Observe que da velocidade 10 para a velocidade 30,
a grandeza foi multiplicada por 3, enquanto a distância correspondente foi de 30 para 90, ou seja,
também multiplicada por 3.
Velocidade e tempo gasto são grandezas inversamente proporcionais, para uma mesma distância. Observe
o caso em que é medido o deslocamento de quatro móveis com velocidades diferentes para percorrer
uma distância de 200 km:
Velocidade (km/h)
10
20
40
50
Tempo (h)
20
10
5
4
Podemos observar que os valores da velocidade e do
deslocamento formam uma proporção inversa:
10 ⋅ 20 = 20 ⋅ 20 = 40 ⋅ 5 = 50 ⋅ 4
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29
Observe que, da velocidade 10 para a velocidade
40, a grandeza foi multiplicada por 4, enquanto o
tempo correspondente foi de 20 para 5, ou seja, foi
dividida por 4.
Regra de Três Simples
Dadas duas grandezas e conhecendo 2 medidas de uma
grandeza e 1 medida da outra, podemos calcular a quarta
medida estabelecendo uma proporção entre esses valores.
Exemplo de aplicação
Se 3 cachorros comem 5 quilos de ração, então 12 cachorros comem quantos quilos de ração?
Solução: O número de cachorros e a quantidade de
ração são grandezas diretamente proporcionais, pois,
quanto mais cachorros, mais ração será consumida. Vamos representar que são diretamente proporcionais por
duas setas com mesmo sentido.
↑ (Nº de cachorros) ↑ (Qde de ração)
3
5
12
x
Estabelecendo a proporção, temos:
3 5
= ⇔ 3x = 60 ⇔ x = 20
12 x
.
Assim, os 12 cachorros comem 20 quilos de ração.
Assim, os cinco pintores levariam 48 horas para pintar
a casa.
Regra de Três Composta
Quando tratarmos de mais de duas grandezas, podemos
proceder de maneira idêntica à regra de três simples,
porém vamos adotar o seguinte procedimento:
•• escolher uma das grandezas e comparar com as outras, verificando se as grandezas são diretamente ou
inversamente proporcionais;
•• isolar a fração obtida da grandeza que foi usada
para comparação no primeiro membro e no segundo membro colocamos o produto das frações obtidas das outras grandezas, com o cuidado de inverter
as frações que são de grandezas inversamente proporcionais à grandeza escolhida para comparação.
Exemplo de aplicação
Cinco pessoas comem doze quilos de feijão em quatro
semanas, em quanto tempo dez pessoas comem trinta
quilos de feijão?
Solução: Vamos escolher o número de pessoas para
comparar com as outras grandezas. Quanto mais pessoas, mais feijão será consumido, portanto a quantidade
de feijão e o número de pessoas são diretamente proporcionais. Quanto mais pessoas, menos tempo irá durar
o feijão, portanto o número de pessoas e o tempo são
duas grandezas inversamente proporcionais.
Exemplo de aplicação
Quatro pintores demoram 60 horas para pintar uma
casa, quantas horas cinco pintores levariam para pintar
a mesma casa?
Solução: O número de pintores e a quantidade de horas
são grandezas inversamente proporcionais, pois, quando aumentamos o número de pintores, vamos precisar
de menos horas para executar o mesmo serviço. Vamos
representar as grandezas inversamente proporcionais
por duas setas com sentidos contrários.
↑ (Nº de pintores) ↓ (Qde de horas)
4
60
5
x
Estabelecendo a proporção, invertendo uma das frações,
temos:
4
x
=
⇔ 5x = 240 ⇔ x = 48
5 60
.
30
↑ (Nº de pessoas) ↑ (Qde de feijão) ↓ ( Tempo)
4
5
12
10
30
t
Estabelecendo a proporção, temos:
5 12 t
=
⋅ ⇔ 120t = 600 ⇔ t = 5
10 30 4
.
Assim, dez pessoas comendo trinta quilos de feijão precisarão de cinco semanas.
Questão comentada
(Enem/2011) A resistência das vigas de dado comprimento é
diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade
k varia de acordo com o material utilizado na sua construção.
Considere que a escala de tempo fornecida seja substituída por um ano de referência, no qual a evolução
química é identificada como 1º de janeiro à zero hora e
a era dos dinossauros como dia 31 de dezembro às 23 h
59 min e 59,99 s. Desse modo, nesse ano de referência,
a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera
atingiu 10% no
Considerando-se S como a resistência, a representação
algébrica que exprime essa relação é
A. S = k ⋅ b ⋅ d .
B. S = b ⋅ d 2 .
C. S = k ⋅ b ⋅ d
D. S = k ⋅ b
d2
2
2
E. S = k ⋅ d
b
Solução: A resistência S é diretamente proporcional à
largura b e ao quadrado da altura d, ou seja, dividindo S
por b e por d2 obtemos uma constante:
S
b = k ⇔ S ⋅ 1 = k ⇔ S = k ⋅ b ⋅d 2
b d2
d2
.
Resposta: C.
Para aprender mais!
1. A figura a seguir mostra a porcentagem de oxigênio
(O2) presente na atmosfera, ao longo de 4,5 bilhões
de anos, desde a formação da Terra até a era dos
dinossauros.
Disponível em: <http://www.universia.com.br/MIT/10/1018J/PDF/lec02hand2003.
pdf>. Acesso em: 1º mar.2009
A. 1º bimestre.
C. 2º trimestre.
E. 4º trimestre.
B. 2º bimestre.
D. 3º trimestre.
2. O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou o álcool nos veículos automotores. Nas grandes
cidades, essa possibilidade tem sido explorada, principalmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo
relativamente curto o investimento feito com a conversão por meio da economia proporcionada pelo
uso do gás natural. Atualmente, a conversão para
gás natural do motor de um automóvel que utiliza
a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolina
permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,80,
enquanto um metro cúbico de GNV permite percorrer cerca de 12 km e custa R$ 1,80. Desse modo,
um taxista que percorra 6000 km por mês recupera o
investimento da conversão em aproximadamente
A. 2 meses.
C. 6 meses.
E. 10 meses.
B. 4 meses.
D. 8 meses.
Leia mais!
O número (letra grega que se pronuncia “fi”), apesar
de não ser tão conhecido, tem um significado muito interessante. Durante anos, o homem procurou a beleza
perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram, então,
o retângulo de ouro. Era um retângulo, do qual havia
proporções (do lado maior dividido pelo lado menor) e,
a partir dessa proporção, tudo era construído. Assim,
eles fizeram o Parthernon (proporção do retângulo que
forma a face central e lateral). A profundidade dividida
pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma proporção ideal de 1,618. Os egípcios fizeram o mesmo com as
pirâmides, cada pedra era 1,618 menor do que a pedra
de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que
era 1,618 maior que a da 3ª fileira e assim por diante.
Durante milênios, a arquitetura clássica grega prevaleceu. O retângulo de ouro era padrão, mas, depois de
Universidade Aberta do Nordeste
31
muito tempo, veio a construção gótica com formas arredondadas, que não utilizavam retângulo de ouro grego.
Mas, em 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que
estudava o crescimento das populações de coelhos criou
aquela que é provavelmente a mais famosa sequência
matemática: a Série de Fibonacci. A partir de 2 coelhos,
Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir
da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequência em que um número é igual a soma dos dois números
anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
1
1
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
13 + 21 = 34
e assim por diante.
Aí entra a primeira “coincidência”: proporção de
crescimento média da série é 1,618. Os números variam,
um pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a média é 1,618, exatamente a proporção das pirâmides do
Egito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa
descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal proporção que os cientistas começaram a estudar a natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir
coisas fantásticas:
•• a proporção de abelhas fêmeas em comparação
com abelhas machos numa colmeia é de 1,618;
•• a proporção em que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de 1,618;
•• a proporção em que aumenta o diâmetro das espirais sementes de um girassol é de 1,618;
•• a proporção em que se diminuem as folhas de uma
árvore à medida que subimos de altura é de 1,618.
E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas
galáxias, as estrelas se distribuem em torno de um astro principal numa espiral obedecendo à proporção de
1,618 também. Por isso, o número ficou conhecido
como a DIVINA PROPORÇÃO. Porque os historiadores
descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria escolhido para fazer o mundo.
Bom, por volta de 1500, com o Renascentismo, a
cultura clássica voltou à moda. Michelangelo e, principalmente, Leonardo da Vinci, grandes amantes da cultura pagã, colocaram esta proporção natural em suas
32
obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe; como cientista, pegava cadáveres para medir a proporção do seu
corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedece
tanto à Divina proporção quanto o corpo humano... obra-prima Divina.
Exemplos
1. Meça sua altura e depois divida pela altura do seu
umbigo até o chão; o resultado é 1,618.
2. Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho
do seu cotovelo até o dedo; o resultado é 1,618.
3. Meça seu dedo, ele inteiro dividido pela dobra central até a ponta ou da dobra central até a ponta
dividido pela segunda dobra; o resultado é 1,618.
4. Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do
seu joelho até o chão; o resultado é 1,618.
5. A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua
mandíbula até o alto da cabeça; o resultado é 1,618;
6. Da sua cintura até a cabeça e depois só o tórax; o
resultado é 1,618. (Considere erros de medida da
régua ou fita métrica que não são objetos acurados
de medição.)
7. Cada osso do corpo humano é regido pela Divina
Proporção. Seria Deus, usando seu conceito maior
de beleza em sua maior criação feita à sua imagem
e semelhança?
Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis,
árvores, arte e o homem; coisas teoricamente diferentes,
todas ligadas numa proporção em comum. Então, até
hoje, essa é considerada a mais perfeita das proporções.
Porcentagem
Qualquer razão de denominador 100 é chamada de
razão centesimal, taxa percentual ou simplesmente
porcentagem.
Exemplos
1.
3
= 3% .
100
3
15
2. = = 15% .
20 100
3.
3
42, 86
≅ 0, 4286 =
= 42, 86% .
7
100
Observe, no terceiro exemplo, que, para transformarmos um número escrito na forma decimal para porcentagem, basta multiplicarmos o número por 100%.
Exemplos
1. 0, 23 = 0, 23 ⋅ 100% = 23% .
2. 0,3214 = 0,3214 ⋅ 100% = 32,14% .
Observação: Podemos calcular a porcentagem que um
, simplesnúmero a representa de outro b, com
a
mente escrevendo a fração na forma de porcentagem.
b
Exemplo: O número 9 representa 60% do número 15,
9
pois = 0=
, 6 60% .
15
Variação Percentual
Sendo V0 o valor inicial e V o valor final de uma grandeza, define-se variação percentual o número, escrito no
V −V0
formato de porcentagem, obtido pela razão
, ou
V0
seja, Variação .
Valor inicial
Exemplos
1. O preço de uma mercadoria aumentou de R$
13,00 para R$ 25,00. Observe que o aumento foi
de 12 reais, enquanto o aumento percentual foi de
25 − 13 12
=
= 0, 9231 = 92, 31% .
13
13
2. Um comerciante comprou uma mercadoria por R$
200,00 e vendeu com 50% de lucro. Observe que o
lucro do comerciante foi de 50%⋅ 200 = 100 reais e,
portanto, o comerciante vendeu a mercadoria por 200
+ 100 = 300 reais, ou, ainda, o preço de venda foi de
200 + 50% ⋅ 200 = 200 ⋅ (1 + 50%) = 200 ⋅ 1,5 = 300
reais.
Observação: Para obtermos o valor de uma grandeza
após um acréscimo percentual, podemos multiplicar o
valor inicial por 1+i, em que i é o acréscimo percentual,
caso seja um decréscimo, multiplicaremos por 1-i.
Exemplos
1. Acréscimo de 30% ⇒ x (1 + 30%) = x1,3.
2. Acréscimo de 70% ⇒ x (1 + 70%) = x1,7.
Por outro lado, caso um número seja multiplicado por
0,6, sofrerá uma decréscimo de 0,4 em relação a 1 (valor
inicial), multiplicando 0,4 por 100%, concluímos que o
decréscimo foi de 40%.
Exemplos
1
A temperatura de um corpo que é de 15° aumentou
40% e, assim, a temperatura final do corpo será de
15° ⋅ (1 + 40%) = 15° ⋅ 1, 4 = 21° .
2.Uma pessoa comprou um computador de
R$ 1.200,00 com desconto de 15% e, assim, o preço final do computador será de
1200 ⋅ (1 − 15%) = 1200 ⋅ 0, 85 = 1020 reais.
Variações Percentuais Sucessivas
Considere i1, i2, ..., in como sendo as variações sucessivas
de uma certa grandeza, para obter o valor final V de
uma grandeza, devemos multiplicar o valor inicial V0 por
1 mais cada taxa de variação, isto é:
V = V0 ⋅ (1 + i 1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ … ⋅ (1 + i n ) .
Exemplo de aplicação
O preço de um livro é de R$ 60,00. Em dezembro, o preço
aumenta 20%; em janeiro, aumenta 10% e, em março,
diminui 30%. Qual o valor do preço desse livro em março?
Solução: Aplicando dois acréscimos e um desconto sucessivamente, obtemos:
V = V0 ⋅ (1 + i 1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ … ⋅ (1 + i n )
V = 60 ⋅ (1 + 20%) ⋅ (1 + 10%) ⋅ (1 − 30%) .
V = 60 ⋅ 1, 2 ⋅ 11
, ⋅ 0, 7
V = 55, 44
Assim, o valor do preço desse livro em março será de
55,44 reais.
Questão comentada
(ENEM/2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No
primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no
segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois
desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3.800,00
gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de
4. Decréscimo de 40% ⇒ x (1 - 40%) = x0,6.
A. R$ 4.222,22.
C. R$ 5.000,00.
E. R$ 17.100,00.
Podemos raciocinar de forma contrária, caso um
número seja multiplicado por 1,3, sofrerá um acréscimo de 0,3 em relação a 1 (valor inicial), multiplicando
0,3 por 100%, concluímos que o acréscimo foi de 30%.
Solução: No primeiro mês, perdeu 30% do total C
investido, ficando com (1 − 30%) ⋅ C = 0, 7 ⋅ C . No
3. Decréscimo de 20% ⇒ x (1 - 20%) = x0,8.
B. R$ 4.523,80.
D. R$ 13.300,00.
Universidade Aberta do Nordeste
33
segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido, ou seja, 20% ⋅ (0, 3 ⋅ C ) = 0, 06 ⋅ C , ficando com
0, 7 ⋅ C + 0, 06 ⋅ C = 0, 76 ⋅ C . Daí:
várias taxas. A primeira delas é a Taxa de Abertura de Crédito (TAC), que pode variar, dependendo do lojista ou da
instituição financeira, de R$ 400,00 até R$ 1.000,00.
0, 76 ⋅ C = 3800
3800 .
C =
0, 76
380000
C =
76
C = 5000
Assim, o valor investido no início foi de R$ 5.000,00.
Além disso, há a taxa de juros, que, no mercado de automóveis, pode chegar a até 2,5% ao mês, dependendo do valor a ser financiado e idade do veículo. Quanto
mais antigo, maior os juros. Há ainda impostos e o valor
cobrado pelos bancos, por folha de boleto bancário emitida, que pode chegar a R$ 4,50. Todas estas cobranças
são legais e estão diluídas nas prestações. O problema
está na taxa de retorno, uma espécie de presente que
as financeiras dão aos lojistas, à custa do consumidor,
incluídas nas parcelas. Apesar disso, não é proibida por
lei. Mesmo assim, nós não reconhecemos a legalidade
dessa cobrança. A consideramos abusiva porque o consumidor, às vezes, nem sabe que a está pagando.
Resposta: C.
Ampliando conhecimentos para o Enem
1. Um fabricante de papel higiênico reduziu o comprimento dos rolos de 40m para 30m. No entanto, o
preço dos rolos de papel higiênico, para o consumidor, manteve-se constante. Nesse caso, é correto
afirmar que, para o consumidor, o preço do metro
de papel higiênico teve um aumento
A.
B.
C.
D.
E.
inferior a 25%.
igual a 25%.
superior a 25% e inferior a 30%.
igual a 30%.
superior a 30%.
A taxa de retorno surgiu há vários anos, por sugestão das
instituições financeiras. Elas lançaram aos revendedores
pelo menos dez tabelas de financiamentos diferentes,
que vão de R1 a R10. “R” significa retorno, e, quando
maior o “R”, maior é a comissão que os revendedores
de automóveis recebem das financeiras. É uma espécie
de presente, pelo lojista ter sugerido aquela instituição
financeira ao consumidor para o fechamento do negócio. Mecanismos de fidelização entre lojistas e financeiras devem existir, mas não é o consumidor que tem que
pagar por isso.
2. Em maio de cada ano, certa empresa reajusta os salários de seus funcionários pelo índice de aumento
de preços ao consumidor, apurado no ano anterior.
Em 2001, esse índice foi de 6,2%. Com base nesses
dados, pode-se estimar que um funcionário que, em
maio de 2001, recebia R$ 540,00, passou a receber,
em maio de 2002,
O que deveria ser uma oportunidade de aumentar o volume de negócios, passou a ser, para os lojistas, uma
maneira fácil de ganho extra de dinheiro. Além de não
darem o desconto sugerido pelas financeiras nos automóveis, ainda empurravam aos clientes as tabelas de financiamento com taxas de retorno. Qual é o critério utilizado para escolher entre a tabela R1 e a R10? Nenhum.
A. R$ 573,48.
C. R$ 577,28.
E. R$ 591,34.
O lojista usa a tabela de acordo com a cara do cliente, o
carro e o valor que ele vai financiar. Se o vendedor percebe que o comprador é pouco esclarecido e tem dinheiro
para gastar, pode até lhe jogar uma tabela R10, da qual
o cliente pode chegar a pagar até 14,4% a mais do que
o valor total do financiamento.
B. R$ 575,20.
D. R$ 580,34.
Leia mais!
FINANCIAMENTO DE VEÍCULO
Consumidor desavisado paga mais por um financiamento
de veículo. Nem a resolução 3517 do Banco Central conseguiu disciplinar totalmente os valores extras que os consumidores pagam embutidos nas prestações, sem saber.
Muitos lojistas ainda estão aproveitando-se da falta de
informação da maioria dos compradores para cobrar valores adicionais. Num financiamento, o consumidor paga
34
Fonte: http://www.caesp.org
Juros
Fundamentalmente, a Matemática Financeira estuda os
procedimentos utilizados em pagamentos de empréstimos, bem como os métodos de análise de investimentos em geral. Quando uma pessoa empresta a outra um
valor monetário, durante certo tempo, essa quantia é
denominada capital (ou principal) e é indicada por C.
O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro,
ou o valor pago pelo tomador do empréstimo é denominado juros e indicado por J. A taxa de juros, indicada
por i (do inglês interest, que significa juros), é expressa
como porcentagem do capital.
Ela representa os juros numa certa unidade de
tempo, normalmente indicada da seguinte forma: ao
dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao ano (a.a.), etc. Assim, por
exemplo, se o capital emprestado for R$ 8.000,00 e a
taxa, 1,5% ao mês, os juros pagos no mês serão iguais a
1,5% sobre R$ 8.000,00, que equivale a 0, 015 ⋅ 8000 e,
portanto, igual a R$ 120,00. De modo geral, os juros em
cada período são determinados pelo produto do capital
pela taxa, isto é:
J = C ⋅ i (juros em cada período da taxa).
Se o pagamento do empréstimo for feito numa única parcela, ao final do prazo do empréstimo, o tomador
pagará a soma do capital emprestado com o juro, que
é denominado montante e indicado por M. No caso do
empréstimo de R$ 8.000,00, durante 1 mês, à taxa de
1,5% ao mês, o montante será igual a R$ 8.120,00. De
modo geral, teremos:
M =C + J .
As operações de empréstimo são feitas geralmente
por intermédio de um banco que, de um lado, capta dinheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de outro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados
no empréstimo. A captação é feita sob várias formas,
como cadernetas de poupança e certificados de depósito bancário (cada aplicação recebe uma taxa de acordo
com o prazo e os riscos envolvidos). Os tomadores também podem obter financiamento sob diversas maneiras,
e as taxas cobradas dependem do prazo do empréstimo,
dos custos do capital para o banco e do risco de não
pagamento por parte do tomador.
Juros Simples
Juros Simples é o regime de capitalização em que os juros são calculados sobre o capital inicial. Nesse caso, o
juro em cada período de tempo (mês, ano, ...) é constante e igual ao produto C ⋅ i , passados três meses, por
exemplo, os juros são 3 ⋅ C ⋅ i , mas, se considerarmos t
períodos de tempo, os juros acumulados serão dados
por: J = C ⋅ i ⋅ t .
Os juros simples são resultado do produto do capital
pela taxa e pelo prazo da aplicação. Observe que, nessa
fórmula, o prazo t deve estar expresso na mesma unidade de i, isto é, se a taxa i for definida em meses, o prazo
virá também em meses. Além disso, embora a fórmula
tenha sido deduzida para t inteiro, ela é estendida tam-
1
bém para qualquer prazo fracionário, por exemplo,
2
5
ano ou
ano.
12
Exemplo de aplicação
Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado a juros simples,
à taxa de 2% a.m., durante 5 meses. Qual o valor do
montante acumulado?
Solução: Os juros da aplicação, em reais, são:
J = C ⋅ i ⋅t
.
J = 8000 ⋅ 0, 02 ⋅ 5 = 800
O montante da aplicação, em reais, é:
M =C + J
.
M = 8000 + 800 = 8800
Assim, o montante acumulado após 5 meses é 8.800 reais.
Juros Compostos
Juros Compostos é o regime de capitalização em que os
juros são calculados sobre o montante do período anterior. Nesse caso, os juros em cada período são variáveis.
Considerando a taxa de juros constante igual a i, para
obtermos o montante de cada período, vamos multiplicar o de cada período anterior por 1+i.
Montante
Início
C
Após 1 período
C ⋅ (1 + i )
Após 2 períodos
C ⋅ (1 + i )
Após 3 períodos
C ⋅ (1 + i )
Após t períodos
C ⋅ (1 + i )
2
3
t
Portanto, o montante será dado por M = C ⋅ (1 + i ) .
t
Exemplo de aplicação
Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, uma
pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia R$
6.000,00, à taxa de 1% ao mês?
Universidade Aberta do Nordeste
35
Solução: Observe que C = 6000, t = 6 meses e i = 1%
(a.m.). Logo:
M = C ⋅ (1 + i )
t
M = 6000 ⋅ (1 + 1%)
6
Daí:
.
M = 6000 ⋅ 1, 016 ≅ 6369,12
M =C + J
J = 6369,12 − 6000 = 369,12
2
,
≅ 1, 392 . Logo, a rentabilidade do investimento C é
é, 118
39,2%. Assim, essa pessoa deve escolher o investimento A,
pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades
anuais dos investimentos B e C.
Resposta: C.
Para aprender mais!
.
Assim, a pessoa receberá R$ 369,12 de juros.
Questão comentada
3. O preço à vista de uma mercadoria é R$ 130,00. O
comprador pode pagar 20% de entrada no ato da
compra e o restante em uma única parcela de R$
128,96, vencível em 3 meses. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros mensal cobrada na venda a prazo é de
(ENEM/2011) Considere que uma pessoa decida investir uma
determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:
A.5,2%.
C.8,3%.
E.9,8%.
•• Investimento A: 3% ao mês
•• Investimento B: 36% ao ano
•• Investimento C: 18% ao semestre
4. Em 1626, Peter Minuit comprou a ilha de Manhattan
(em Nova Iorque) dos índios em troca de objetos no
valor de 24 dólares. (dados extraídos de: Zvi Bodie.
Finanças. Porto Alegre, 1999.) Se os índios tivessem
recebido em dinheiro e aplicado esse valor a juros
compostos, à taxa de 8% ao ano, o valor do seu
montante em 2011, 385 anos depois, teria sido:
(Dado: 1, 08385 = 7, 4 ⋅ 1015 )
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o
valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:
n
1,03n
3
1,093
6
1,194
9
1,305
12
1,426
Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual,
essa pessoa deverá
A. escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois
as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%.
B. escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%.
C. escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
D. escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36%
é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e
de 18% do investimento C.
E. escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39%
ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos
investimentos A e B.
Solução: Para transformar uma taxa de 3% mensal para taxa
anual, basta considerarmos 12 aumentos sucessivos, isto é,
1, 0312 ≅ 1, 426 . Logo, a rentabilidade do investimento A
é 42,6%. Para transformar uma taxa de 18% mensal para
taxa anual, basta considerarmos 2 aumentos sucessivos, isto
36
A.
B.
C.
D.
E.
B. 8%.
D.8,6%.
mais de 1 trilhão de dólares.
um valor entre 1 bilhão e 1 trilhão de dólares.
um valor entre 1 milhão e 1 bilhão de dólares.
um valor entre 1 mil e 1 milhão de dólares.
menos de 1 mil dólares.
Leia mais!
A NOVA POUPANÇA
Determinada a reduzir os juros reais a 2% até o fim de seu
mandato, a presidente Dilma Rousseff não viu alternativa
senão mudar a remuneração das cadernetas de poupança. O rendimento fixo de 6,17% ao ano mais TR mostrou-se um obstáculo à queda acentuada dos juros depois
que a Selic ficou abaixo de um dígito. Na sexta-feira 4,
o governo publicou a Medida Provisória 567 com a nova
fórmula de cálculo. As cadernetas agora passam a render
70% da Selic mais TR. “Sei que a medida é ousada, mas
precisa ser feita”, disse a presidenta Dilma ao ministro
da Fazenda, Guido Mantega, e ao presidente do Banco
Central, Alexandre Tombini, ao bater o martelo. Na reunião do Conselho Político, com líderes de partidos da base
aliada, a presidenta explicou que, depois de dois anos,
abriu-se uma janela de oportunidades que não poderia
ser desperdiçada. O momento, segundo Dilma, é ideal
por três motivos: o cenário econômico favorece a redução de juros, sua popularidade recorde de 77% sustenta
reações negativas e a atenção da oposição está totalmente voltada para a CPI do Cachoeira. Com a nova regra
de reajuste, a poupança terá um gatilho. Sempre que a
Selic se igualar ou ficar abaixo de 8,5%, a remuneração
da caderneta será de 70% da Selic mais TR. Ao defender
a mudança, Guido Mantega adiantou-se a possíveis críticas: “Não há rompimento de contrato nem usurpação de
direito.” Frisou também que as mudanças não são imediatas – hoje a Selic está em 9% –, que a liquidez continuará diária e a poupança permanece isenta de Imposto
de Renda. O mais importante é que o novo cálculo só vale
para os depósitos que forem feitos a partir de 4 de maio.
Antes dessa data, todos os investimentos em poupanças
estão preservados, com o rendimento tradicional. A medida manteve a caderneta simples e acessível. Os novos
depósitos serão remunerados com base na Selic em vigor
no dia do investimento, independentemente do valor, podendo ser R$ 10 ou R$ 100 mil.
Fonte: www.istoe.com.br (09/07/2012)
alunos de seus campus conforme indicado na tabela
a seguir:
Campus
Número de Alunos
A
2.200
B
2.600
C
5.200
O valor recebido pelo campus B foi
A. R$ 37.400,00. B. R$ 42.500,00.
C. R$ 44.200,00. D. R$ 52.000,00.
E. R$ 88.400,00.
4. A hidrovia é o modelo de transporte menos oneroso
que qualquer outra modalidade disponível no mundo. Mas, no Brasil, onde há condições geográficas
bastante favoráveis a esse tipo de operação, os investimentos no setor andam na contramão. O meio
mais utilizado é o rodoviário, que chega a ser 20 vezes mais caro que o fluvial. Estudos indicam que, caso
o Brasil cresça uma média de 5% durante três anos
consecutivos, o país pode entrar em colapso logístico.
Uma barcaça (unidade que compõe a embarcação)
pode transportar até 1.500 toneladas em cargas. Na
comparação com o transporte rodoviário, cada barcaça equivale a 60 carretas, que podem transportar
no máximo até 25 toneladas. “Nas hidrovias, não há
pedágios, estradas esburacadas que causam danos
à unidade de transporte e desperdício da carga, e o
risco de roubo também é menor”, destaca Rocha.
Quando o comparativo é com as ferrovias, o sistema
hidroviário também é mais vantajoso. Cada barcaça
pode substituir até 15 vagões, com capacidade para
carregar até 100 toneladas. Considerando a degradação da malha ferroviária brasileira, abandonada há
cerca de 50 anos, a hidrovia se mostra ainda mais
viável, por não oferecer riscos.
Fonte: http://www.revistaportuaria.com.br
Uma empresa deseja transportar 30.000 toneladas de minério de ferro, podendo usar o transporte marítimo ou o
rodoviário, seria necessário, no mínimo, o equivalente a
Ampliando conhecimentos para o Enem
A. 20 barcaças.
C. 60 carretas.
E. 100 carretas.
B. 25 barcaças.
D. 80 carretas.
3. Uma universidade recebeu do Governo Federal recursos financeiros no valor de R$ 170.000,00 para
serem divididos proporcionalmente ao número dos
5. Segundo a Organização Pan-Americana de Saúde (OPAS), cada indivíduo necessita de 189 litros
Universidade Aberta do Nordeste
37
de água por dia para atender suas necessidades
de consumo, para higiene e preparo de alimentos.
Além disso, cada pessoa necessita de 1.325 litros
por ano só para beber.
Tabela de
consumo de água
Consumo
Escovar os dentes com torneira constantemente aberta por 5 minutos
15 litros/dia
Escovar os dentes com torneira ocasionalmente fechada por 5 minutos
6 litros/dia
Escovando os dentes com a torneira ocasionalmente fechada por 8 minutos, pode-se, durante um ano, economizar água suficiente para
A.
B.
C.
D.
E.
2 pessoas beberem.
3 pessoas beberem.
4 pessoas beberem.
5 pessoas beberem.
6 pessoas beberem.
6. Um automóvel, modelo flex, consome 34 litros de
gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta
pelo uso do álcool, o automóvel consome 37 litros
deste combustível para percorrer 259 km. Suponha
que um litro de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve
ser o preço do litro do álcool para que o custo do
quilômetro rodado por esse automóvel, usando somente gasolina ou somente álcool como combustível, seja o mesmo?
A. R$ 1,00.
C. R$ 1,20.
E. R$ 1,40.
B. R$ 1,10.
D. R$ 1,30.
7. Uma fábrica produz 2000 peças em 2 dias de trabalho, usando 6 máquinas iguais. No momento, duas
máquinas estão quebradas, porém a fábrica recebeu
uma encomenda de 6000 peças, então para atender
essa encomenda, serão necessários
A.
B.
C.
D.
E.
5 dias de trabalho.
6 dias de trabalho.
7 dias de trabalho.
8 dias de trabalho.
9 dias de trabalho.
8. Um quilograma de tomates é constituído por 80%
de água. Essa massa de tomate (polpa+H2O) é submetida a um processo de desidratação, no qual
38
apenas a água é retirada, até que a participação da
água na massa de tomate se reduza a 20%. Após
o processo de desidratação, a massa de tomate, em
gramas, será de
A.200.
C.250.
E.300.
B. 225.
D.275.
9. A tabela a seguir foi utilizada para calcular o Imposto de Renda devido à Receita Federal nos meses de
janeiro a março de 2012.
Parcela a
Alíquota deduzir do
%
Imposto
em R$
Base de cálculo
mensal em R$
Até 1.499,15
-
-
De 1.499,16 até 2.246,75
7,5
112,43
De 2.246,76 até 2.995,70
15,00
280,94
De 2.995,71 até 3.743,19
22,5
505,62
Acima de 3.743,19
27,5
692,78
O Imposto de Renda devido por Alfredo, que presta serviços a uma empresa, é calculado da seguinte maneira:
toma-se por base de cálculo o seu salário bruto em reais,
aplica-se a alíquota (porcentagem) e, do resultado deste
produto, subtrai-se a parcela a deduzir. O salário líquido
de Alfredo é calculado subtraindo-se do seu salário bruto o valor do Imposto de Renda devido. Em fevereiro de
2012, o salário bruto de Alfredo foi R$ 3.000,00, então
seu salário líquido, nesse mês, foi de
A. R$ 1.530,94.
C. R$ 2.530,94.
E. R$ 2.830,62.
B. R$ 1.830,94.
D. R$ 2.650,00.
10. Com o início da temporada de turismo na ilha de Florianópolis, observa-se uma alta de preços em vários
produtos, principalmente no mês de janeiro. Veja na
tabela as diferenças de preços de alguns produtos
observados no dia 30 de dezembro de 2007, em
comparação com os meses anteriores.
Meses
anteriores
Dezembro
de 2007
Cerveja
R$ 3,00
R$ 7,00
Coquetel de frutas
R$ 10,00
R$ 20,00
Milho cozinho
R$ 2,00
R$ 2,00
Produtos
Água de coco
R$ 3,00
R$ 3,00
Tomate (Kg)
R$ 0,95
R$ 2,49
Corvina (Kg)
R$ 6,00
R$ 8,00
Filé de peixe (Kg)
R$ 8,00
R$ 10,00
Sorteve artesanal
R$ 4,50
R$ 5,00
Gasolina (litro)
R$ 2,49
R$ 2,60
Álcool (litro)
R$ 1,65
R$ 1,79
Segundo a tabela, o conjunto de produtos que tiveram
aumento entre 10% e 110% é compreendido por
A. cerveja, coquetel de frutas, corvina e filé de peixe.
B. álcool, corvina, filé de peixe e sorvete artesanal.
C. sorvete artesanal, coquetel de frutas, corvina e filé
de peixe.
D. sorvete artesanal, cerveja, coquetel de frutas e corvina.
E. filé de peixe, sorvete artesanal, coquetel de frutas e
álcool.
11. A Suíça tem um dos mais altos IDH (Índice de Desenvolvimento Humano) do mundo. Sua área é 41.285
km² e sua população é de 7 milhões de habitantes.
A tabela abaixo mostra a área degradada em km² da
Floresta Amazônica.
13. A Lei de Boyle-Mariotte (enunciada por Robet Boyle
e Edme Mariotte) diz que: “Sob temperatura constante (condições isotermas), o produto da pressão e
do volume de uma massa gasosa é constante, sendo, portanto, inversamente proporcionais. Qualquer
aumento de pressão produz uma diminuição de volume e qualquer aumento de volume produz uma
diminuição de pressão.” Aumentando a pressão do
gás em 25%, o volume do gás diminuirá
A.20%.
C.15%.
E.10%.
B. 18%.
D.12%.
14.O crescimento anual das exportações de um país,
em um determinado ano, é medido tendo-se por
base o valor total das exportações do ano imediatamente anterior. Considere um país em que o crescimento das exportações foi de 12% em 2008 e 8%
em 2009. Em 2009, o valor das exportações, em relação a 2007, foi maior em
A.8%.
B.12%.
C. entre 12 % e 20 %.
D.20%.
E. maior que 20%.
15. “Pão por quilo divide opiniões em Campinas” (Correio Popular, 21/10/2006).
Se a área degradada na Suíça fosse igual a média de
km² degradados na Amazônia no período 2007-2009,
o porcentual aproximado de natureza destruída nesse
país seria de
Uma padaria de Campinas vendia pães por unidade, a
um preço de R$ 0,20 por pãozinho de 50 g. Atualmente,
a mesma padaria vende o pão por peso, cobrando R$
4,50 por quilograma do produto.
A taxa de variação percentual do preço do pãozinho provocada pela mudança de critério para o cálculo do preço foi de
A.25%.
C.35%.
E.45%.
A.10%.
C.15%.
E.20%.
B. 30%.
D.40%.
12. Define-se renda per capita de um país como a razão
entre o produto interno bruto (PIB) e a população
economicamente ativa. Em certo país, o governo
pretende aumentar a renda per capita em 50%. Se,
nesse período, a população economicamente ativa
aumentar em 20%, o acréscimo do PIB deverá ser de
A.50%.
C.80%.
E.110%.
B. 65%.
D.95%.
B. 12,5%.
D.17,5%.
16. Um determinado cidadão recebe um salário bruto de
R$ 2.500,00 por mês e gasta cerca de R$ 1.800,00
por mês com escola, supermercado, plano de saúde,
etc. Uma pesquisa recente mostrou que uma pessoa
com esse perfil tem seu salário bruto tributado em
13,3% e paga 31,5% de tributos sobre o valor dos
produtos e serviços que consome. Nesse caso, o percentual total do salário mensal gasto com tributos é
de cerca de
Universidade Aberta do Nordeste
39
A.40%.
C.45%.
E.30%
B. 41%.
D.36%.
17.Há um ano, Bruno comprou uma casa por
R$50.000,00. Para isso, tomou emprestados
R$10.000,00 de Edson e R$10.000,00 de Carlos,
prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano,
acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A
casa valorizou 3% durante esse período de um ano.
Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou
o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de
A. R$ 400,00.
C. R$ 600,00.
E. R$ 800,00.
B. R$ 500,00.
D. R$ 700,00.
18.Uma rede de lojas promove a venda de uma máquina fotográfica digital pela seguinte oferta: “Leve
agora e pague daqui a três meses”. Caso o pagamento seja à vista, a rede de lojas oferece ao consumidor um desconto de 20%. Caso o consumidor
prefira aproveitar a oferta, pagando no final do 3º
mês a compra, a taxa anual de juros simples que
está sendo aplicada ao financiamento é de
A.20%.
C.80%.
E.120%.
B. 50%.
D.100%.
mas será depositado nessa conta corrente apenas
no dia 10/12. Maria está considerando duas opções
para pagar a prestação:
1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros
compostos de 2% ao dia sobre o saldo negativo em
sua conta corrente, por dois dias.
2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma
multa de 2% sobre o valor total da prestação.
Suponha que não haja outras movimentações em sua
conta corrente. Se escolher a opção 2, ela terá, em relação à opção 1
A.
B.
C.
D.
E.
desvantagem de 22,50 euros.
vantagem de 22,50 euros.
desvantagem de 21,52 euros.
vantagem de 21,52 euros.
não há diferença.
21. O mercado automotivo na América Latina crescerá,
no máximo, 2% em 2012. A estimativa é que, após
esse período, ele voltará a expandir-se mais rapidamente, o que permitirá um crescimento médio
de 5% nos próximos 5 anos. A afirmação foi feita
pelo presidente da GM na América do Sul. Suas
estimativas para as vendas, especificamente da GM
na América Latina, são de 1,1 milhão de unidades
em 2012 e de chegar a 1,4 milhão de veículos por
ano até 2015.
(http://economia.estadao.com.br, 06.10.2011. Adaptado.)
19.O Sr. Marcelo quer dividir seu capital de R$
30.000,00 em duas partes, uma a ser aplicada no
banco A, que paga juros simples à taxa de 0,5% ao
mês, e a outra no banco B, que também paga juros
simples, mas à taxa de 0,8% ao mês. A aplicação
no banco A é por dois anos e a aplicação no banco
B por dois anos e meio, os juros obtidos nas duas
aplicações são iguais, então, no banco A, foi aplicado o valor de
A.
B.
C.
D.
E.
R$ 20.000,00.
R$ 21.000,00.
R$ 22.000,00.
R$ 23.000,00.
R$ 24.000,00.
20.No próximo dia 8/12, Maria, que vive em Portugal,
terá um saldo de 2.300 euros, em sua conta corrente, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 euros. O salário dela é suficiente para saldar a dívida,
40
A estimativa de que as vendas da GM, na América Latina, chegarão a 1,4 milhão de unidades no ano de 2015
pode ser considerada
A. otimista, pois, para isso, a taxa média de crescimento anual das vendas para o período deveria ser maior
que 5%.
B. tímida, pois, para isso, a taxa média de crescimento
anual das vendas para o período deveria ser menor
que 5%.
C. correta, pois, para isso, a taxa média de crescimento
anual das vendas para o período deveria ser igual a 5%.
D. realista, pois, para isso, a taxa média de crescimento
anual das vendas para o período deveria ser menor
ou igual a 5%.
E. não matematicamente verificável, pois não são fornecidos dados suficientes para isto.
22. A nota do Ceará no IDEB (Índice de Desenvolvimento da Educação Básica), relativa ao Ensino Médio,
A.
B.
C.
D.
E.
em 2009 foi 3,6. Admitindo um aumento percentual cumulativo e constante desta nota, ao longo dos
próximos 11 anos, para que, em 2020, a nota atinja
valor 6,0, é necessário que haja um aumento em
5
torno de: (Dado: 11 ≅ 1, 047 )
3
3,5% a.a.
4,1% a.a.
4,7% a.a.
5,2% a.a.
5,6% a.a.
Função Afim
João pegou um táxi que cobra uma parcela fixa, chamada de bandeirada, mais um valor que depende da
distância rodada. A tabela abaixo fornece esses valores.
Preço(R$)
Bandeirada
5,00
Quilômetro Rodado
2,00
Para uma distância de 10Km, João terá pago
.
10 R$2,00 = R$20,00 pela distância percorrida e mais
R$ 5,00 pela bandeirada, totalizando R$20,00 + R$ 5,00
= R$25,00.
Para uma determinada distância d (km), o valor gasto V por João foi R$2,00 . d pela distância percorrida,
mais a bandeirada de R$ 5,00 resultando na expressão
abaixo.
V(d) = 2.d + 5, com V em reais.
A expressão V = 2d + 5 é um exemplo de função
afim, também conhecida como função do 1º grau.
Chama-se função afim ou função do 1º grau qualquer função real do tipo f(x) = ax + b, com a e b sendo
números reais e a ≠ 0.
Na função y = f(x) = ax + b,o número a é chamado
de coeficiente angular e b como coeficiente linear ou
termo independente .
Ex:
•• f(x) = 2x + 3, em que a = 2 e b = 3
•• g(x) = – 3x + 5 em que a = – 3 e b = 5
•• h(x) = 4x, em que a = 4 e b = 0
Como exemplo, considere a velocidade de um móvel dada por v = vo + at, em que a velocidade inicial é de
4m/s e a aceleração de 2m/s²:
v = 4 + 2t
v = 6 m/s
t = 1s
v = 8 m/s
t = 2s
v = 14 m/s
t = 5s
Observe que de t = 1s para t = 2s, a velocidade passou de 6m/s para 10 m/s . A taxa de variação da velocidade em relação ao tempo foi de ∆v = 10 − 8 = 2m / s ² .
2−1
∆t
De t = 2s para t = 5s, a velocidade aumentou de 8 m/s para 14 m/s. A taxa de variação foi de
∆v 14 − 8
=
= 2m / s ² .
5−2
∆t
Note que a taxa de variação da função afim é constante, igual ao coeficiente angular.
Gráfico
O gráfico da função afim é uma reta oblíqua aos eixos
Ox e Oy. Para traçar o gráfico da função afim, basta atribuir dois valores a uma das grandezas para se obter os
valores da outra. Dessa maneira, obtemos dois pontos
que são suficientes para traçar a reta.
Ex: Construa o gráfico da função y = 2x + 3.
Para a construção do gráfico, podemos atribuir
qualquer valor ao x, no caso usaremos os valores 0 e 1.
y = 2.0 + 3 = 3
Ponto (0,3)
x =0
y = 2.1 + 3 = 5
Ponto (1,5)
x =1
Marcamos os pontos no plano cartesiano.
Então, traçamos a reta passando pelos dois pontos.
Taxa de Variação
A taxa de variação ou taxa de crescimento é representada pela razão entre as variações de duas grandezas.
Universidade Aberta do Nordeste
41
O gráfico intercepta o eixo y no ponto de ordenada
3, esse valor é o coeficiente linear.
Na função y = ax + b, o valor b representa o ponto
em que a reta intercepta o eixo y.
Raiz da função
Zero ou raiz da função é o valor de x que anula a função,
ou seja, o valor de x para o qual f(x) = 0.
f(x) = ax + b
0 = ax + b
ax = – b
x = – b/a
O zero da função representa o ponto de ordenada
zero, ou seja, o ponto em que o gráfico corta o eixo Ox.
O coeficiente angular a representa a tangente do
ângulo que a reta forma com o eixo Ox, situado acima
do eixo Ox e à direita da reta, como indicado abaixo.
f(x) = ax + b
Estudo do sinal
a = tg
Se a > 0 teremos tg >0, o que ocorre quando o ângulo é agudo, portanto a função será crescente.
Se a < 0 teremos tg <0, o que ocorre quando o
ângulo é obtuso, portanto a função será decrescente.
Estudar o sinal da função é analisar o valor de y em cada
ponto do gráfico, a parte do gráfico que está acima do
eixo x tem y positivo, enquanto a parte do gráfico que
está abaixo do eixo x tem y negativo.
Se a > 0, teremos:
b

f(x) < 0 ⇒ x < − a

b

f(x) = 0 ⇒ x = −
a

b

f(x) > 0 ⇒ x > − a

Se a < 0, teremos:
42
Nesse caso, temos a função afim dada pela lei f(x) = ax,
com a real e diferente de zero.
Ex: y = 3x, em que a = 3 e b = 0
b

f(x) < 0 ⇒ x > − a

b

f(x) = 0 ⇒ x = −
a

b

f(x) > 0 ⇒ x < − a
Ex: Um comerciante de camarão tem uma despesa
fixa de R$ 3.000,00, com aluguel, energia, etc. O comerciante compra o camarão por R$ 3,00 e vende por R$ 5,00 o
quilo. A partir de quantos quilos esse comerciante terá
de vender para ter lucro?
O lucro por quilo é de R$ 2,00, considerando que
são vendidos x quilos de camarão, o valor do lucro com
a venda do camarão é de R$ 2,00.x. Descontando a despesa fixa, temos:
R = 2.x – 3000, em que R representa o resultado
financeiro.
Igualando a receita a zero, obtemos a raiz da função:
0 = 2.x – 3000
2x = 3000
x = 1500
A função R = 2x – 3000 apresenta coeficiente angular (a = 2) positivo, portanto, a função é crescente.
Fazendo o estudo do sinal temos,
Quando duas grandezas são relacionadas por uma
função linear, dizemos que elas são diretamente proporcionais, podendo, inclusive, usar regra de três.
Ex: O valor arrecadado com a venda de um produto depende da quantidade de unidades vendidas.
A tabela abaixo apresenta alguns exemplos de arrecadação ou receita.
Unidades vendidas
Arrecadação (R$)
25
625
50
1250
75
1875
100
2500
Com base nos dados da tabela, a função que melhor descreve a arrecadação é a
A.exponencial
B.quadrática
C.linear
D.logarítmica
A razão entre os valores da arrecadação e o número de unidades vendidas é constante, indicando que as
grandezas são proporcionais.
arrecadaçao
625 1250 1875 2500
= = = =
= 25
5
quantidade vendida
25
50
75
100
Como as grandezas são proporcionais, a função que
relaciona as duas grandezas é a linear.
Questão Comentada
04. (ENEM-2011) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês
de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento
de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores
com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br.
Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).
O resultado será positivo, ou seja, terá lucro ao vender mais de 1500 quilos de camarão.
Função Linear
Um caso particular de função afim é aquele em que b = 0.
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano.
Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as
quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses,
janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por
diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades
nesses meses é
Universidade Aberta do Nordeste
43
A.
B.
C.
D.
E.
Esse índice, que é denotado por WCI (índice de sensação
térmica), pode ser obtido pela seguinte fórmula
y = 4300x
y =884905x
y = 872 005 + 4300x
y = 876 305 + 4300x
y = 880 605 + 4 300x
T , se 0 ≤ v ≤ 4

WCI = 91, 4 + (91, 4 − T ) 0, 02v − 0, 3 v − 0,5 , se 4 < v < 45

1, 6T − 55,, sev ≥ 45
(
Solução: O mês de janeiro corresponde a x = 1, o mês de
fevereiro corresponde x = 2 e assim por diante.
x = 1s
y = 876305
x = 2s
y = 880605
880605 − 876305
= 4300 ,
O coeficiente angular é a =
2 −1
para encontrar o coeficiente linear, podemos substituir qualquer um dos pontos na função y = 4300x + b.
(1, 876305)
y = 4300x + b
876305 = 4300.1 + b
b = 872005
A função é y = 4300x + 872005.
Resposta: C.
Leia mais!
De alguns anos para cá, quando procuramos informações
sobre a previsão do tempo, é comum encontrarmos dois tipos de temperatura: a real e a relativa à sensação térmica.
em que T é a temperatura do ar em graus Fahrenheit e v é a velocidade do vento em milhas por hora.
Para aprender mais!
5. O Museu do Louvre é um dos mais visitados do
mundo. Em 2001, recebeu a visita de 5.093.280
pessoas. A tabela apresenta o número de visitantes,
em três anos consecutivos.
Anos
44
2004 2005 2006
Números de visitantes
(em milhões)
6,7
7,5
8,3
Observe que o aumento do número de visitantes, por
ano, entre 2004 e 2006, é constante. Supondo-se que o
aumento, nos anos seguintes, se mantenha constante, o
ano em que haverá ou houve, no Louvre, 12,3 milhões
de visitantes é
A.2010
C.2012 E.2014
Mas o que é essa tal sensação térmica?
Muitas vezes, quando olhamos um termômetro que
registra a temperatura ambiente, parece que a temperatura que ele acusa não condiz com a sensação de frio
que estamos sentindo. Não é raro notarmos que está
calor, que o sol brilha intensamente, mas, mesmo assim,
ainda sentirmos um certo “friozinho”... Pois é, esse tal
friozinho é um exemplo da chamada sensação térmica,
a qual é mais intensamente sentida em dias com muitos
ventos, uma vez que, nesses dias, parece que o vento
“rouba” calor do corpo das pessoas, aumentando a sensação de frio. Uma fórmula empírica, baseada em experiências e observações, permite-nos obter, a partir da
temperatura externa do ar e da velocidade do vento, um
índice que representa o valor numérico da temperatura,
em graus Fahrenheit, equivalente àquela que a pele sentiria com um vento a uma velocidade de 4 milhas/hora.
)
B. 2011
D.2013
6. O dono de uma loja de pneus distribuiu a tabela
abaixo para seus vendedores, para que não perdessem muito tempo calculando o custo dos pneus,
que são iguais.
Número de pneus (n)
Custo (C)
1
R$ 100,00
2
R$ 190,00
3
R$ 280,00
4
R$ 370,00
A função C(n) que relaciona o custo, em reais, com o
número de peças é dada por
A. C(n) = 90n – 10 B. C(n) = 90n + 10
C. C(n) = 10n – 10 D. C(n) = 10n + 10
E. C(n) = 10n.
Ampliando conhecimentos para o Enem
23.Para a produção de um alimento matinal, uma indústria utiliza dois tipos de cereal, A e B, na razão
3 para 2, nessa ordem. O custo por quilograma do
cereal A é R$ 5,00 e do cereal B é R$ 3,00. A função
que expressa o custo c de x kg da mistura dos dois
cereais empregados na produção do alimento é
A. c (x) = 2x/3.
C. c (x) = 7x/3.
E. c (x) = 21x/3.
B.
D.
c (x) = 3x/3.
c (x) = 19x/3.
24. A fórmula usada como padrão no esporte, há mais de
três décadas, para o controle dos batimentos cardíacos
está superada. No mesmo artigo, é apresentada uma
nova fórmula que, assim como a fórmula tradicional,
permite encontrar a frequência cardíaca máxima, em
batimentos por minuto, de uma pessoa em função de
sua idade. Se X é a idade, em anos, de uma pessoa, e 20
≤ X ≤ 80, então essas duas fórmulas são as seguintes:
Fórmula Nova
Fórmula Tradicional
208 – 0,7 . X
220 – X
Com base nessas informações, pode-se afirmar que
A) os valores obtidos com a Fórmula Nova serão sempre maiores do que os valores obtidos com a Fórmula Tradicional.
B) os valores obtidos com a Fórmula Nova serão sempre menores do que os valores obtidos com a Fórmula Tradicional.
C) para idades acima de 30 anos, os valores obtidos
com a Fórmula Tradicional serão sempre menores do
que os valores obtidos com a Fórmula Nova.
D) para idades acima de 40 anos, os valores obtidos
com a Fórmula Nova serão sempre maiores do que
os valores obtidos com a Fórmula Tradicional.
E) para a idade de 50 anos, os valores obtidos com a Fórmula Nova e com a Fórmula Tradicional serão idênticos.
25. Uma artesã que produz pequenas esculturas em argila, pensando em ampliar seu negócio, elaborou a
tabela a seguir para calcular seus custos mensais.
Salário do auxiliar
R$ 450,00
Energia elétrica e água
R$ 60,00
Impostos
R$ 160,00
Combustível
R$ 70,00
Material para uma peça
R$ 3,40
Embalagem de uma peça
R$ 0,60
C e o número de peças N produzidas mensalmente pode
ser estabelecida na sentença matemática dada por
A. C = 740N.
C. C = 740 – 4.
E. C = 4N + 820.
B. C = 4 + 740N.
D. C = 4N + 740.
26.As empresas de telefonia I e II, na disputa pelos
clientes, lançaram as seguintes tabelas de preços
para seus serviços:
Assinatura
(R$)
I
II
32,00
18,00
Preço do
minuto
diurno (R$)
0,60
0,80
Preço do
minuto
noturno (R$)
0,25
0,35
Se chamarmos de P o valor mensal da conta, de D o
número de minutos diurnos falados e de N o número de
minutos noturnos falados, obteremos as leis matemáticas que relacionam esses valores:
P = 32 + 0,60D + 0,25N para a empresa I
P = 18 + 0,80D + 0,35N para a empresa II
Para um assinante que só utiliza os serviços diurnos, é
mais vantajoso optar pelos serviços da empresa I se o
número de minutos falados for
A.
B.
C.
D.
E.
maior que 60.
maior que 70.
menor que 60.
menor que 70.
menor que 50.
27. Um vendedor recebe, ao final de cada mês, além do
salário-base de R$ 400,00, uma comissão percentual
sobre o total de vendas que realizou no mês. No gráfico abaixo, estão registrados o total de vendas realizadas pelo vendedor e o salário total recebido por ele.
Utilizando-se os dados da tabela, a relação entre o custo
Universidade Aberta do Nordeste
45
Com base nos dados fornecidos pelo gráfico, pode-se
afirmar que a comissão do vendedor sobre o total de
vendas que realizou no mês é de
C. 7h e 36 min.
D.19h.
E.36h.
A.10%.
B.15%.
C.20%.
D.25%.
E.30%.
30. A figura mostra os esboços das funções A(x) e B(x),
que fornecem os preços que as papelarias, A e B,
cobram para fazer x cópias de uma folha.
28.Em janeiro de 2011, o diretório acadêmico de uma
faculdade começou a publicar um jornal informativo
mensal e, nesse mês, foram impressos 150 exemplares. Devido à aceitação, esse número foi acrescido,
a cada mês subsequente, de uma quantidade constante, até atingir, em dezembro de 2011, o número
de 920 exemplares.
A expressão que representa o número E de exemplares
impressos em relação ao tempo t, em meses, sendo janeiro de 2004 equivalentee a t = 0, é
Uma pessoa deseja tirar 360 cópias, a copiadora A cobra
A.
B.
C.
D.
E.
a) R$ 7,00 a menos que B.
b) R$ 5,00 a mais que B.
c) R$ 10,00 a menos que B.
d) 3/2 do que cobra B.
e) o mesmo preço cobrado por B.
E = 920t – 150.
E = 920t + 150.
E = 70t – 150.
E = 70t + 150.
E = 70t.
29. Uma caixa de água de forma cilíndrica é alimentada
por uma torneira. Aberta a torneira, o volume de
água vai aumentando em função do tempo, segundo o gráfico abaixo.
31.Nos últimos anos, o salário-mínimo tem crescido
mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da
população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento
do salário-mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005.
Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos
valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica,
na região Nordeste, possam ser aproximados mediante
funções polinomiais do 1º grau., f(x) = ax + b, em que x
representa o número de anos transcorridos após 2005.
Sabendo que o volume dessa caixa é de 3,8 m³ e que a
caixa estava vazia quando a torneira foi aberta, o tempo
em que a torneira deverá permanecer aberta para encher completamente a caixa será de
A. 1,9 h.
B. 7h e 9 min.
46
Em que ano, aproximadamente, um salário-mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região
A.2010.
B.2011.
C.2012.
D.2013.
E.2014.
BIBLIOGRAFIA CONSULTADA
DANTE, Luís Roberto. Matemática contexto e aplicações.
v. 1
LEZZI, Gelson; Samuel Hazzan; David Degenszajn. Fundamentos de matemática elementar. v. 1
32. Uma pesquisa mostra como a transformação demográfica do país, com o aumento da expectativa de
vida, vai aumentar o gasto público na área social em
centenas de bilhões de reais. Considere que os gráficos dos aumentos com aposentadorias e pensões,
educação e saúde sejam, aproximadamente, linhas
retas de 2010 a 2050.
LEZZI, Gelson; Osvaldo Dolce; Davis Degensza JN; Roberto Périgo; Nilze de Almeida. Matemática ciências e
aplicações. v. 1
GABARITO FASCÍCULO 1
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Para aprender mais!
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Estima-se que o gasto com aposentadorias e pensões
em 2050 será de
A.
B.
C.
D.
E.
500 bilhões de reais.
600 bilhões de reais.
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Expediente
Presidente: Luciana Dummar
Coordenação da Universidade Aberta do Nordeste: Eloisa Vidal
Coordenação Pedagógica: Ana Paula Costa Salmin
Coordenação de Produção Editorial: Sérgio Falcão
Apoio
Parceria
Editor de Design: Deglaucy Jorge Teixeira
Projeto Gráfico e Capas: Dhara Sena e Welton Travassos
Editoração Eletrônica: Dhara Sena
Ilustrações: Karlson Gracie
Realização
Promoção
Universidade Aberta do Nordeste
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