GABARITEI
CONCURSOS
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MATEMÁTICA
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Charlles Nunes
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CRONOGRAMA
Aula 1 – 13.03.2010
Números e grandezas proporcionais. Razão e proporção. Divisão
proporcional. Regras de três simples e composta.
Aula 2 – 20.03.2010
Medidas de comprimento, superfície, volume, capacidade, massa e
tempo. Sistema legal de unidades de medida.
Aula 3 – 27.03.2010
Porcentagem. Juros simples e compostos. Descontos.
Aula 4 – 03.04.2010
Equações e inequações de 1o e 2o graus. Sistemas de 1o e 2o graus.
Problemas.
Aula 5 – 10.04.2010
Números reais, inteiros e racionais. Operações. Revisão
Aulas 6 e 7 – 17 e 24.04.2010
Progressões aritméticas e geométricas.
Aulas 8 e 9 – 01 e 08.05.2010
Análise combinatória.
Aulas 10 e 11 – 15 e 22.05.2010
Probabilidade.
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I – Grandezas e Medidas
Ao final dessa unidade você será capaz de
•
Identificar grandezas, instrumentos e unidades de medida.
•
Resolver situações práticas do dia a dia, utilizando os conceitos
aprendidos.
•
Diferenciar grandezas diretamente e inversamente proporcionais.
Comece respondendo às seguintes perguntas:
Qual é sua idade?
Quanto você pesa? (Qual é a sua massa?)
Quanto tempo dura o curso preparatório?
Quantos dias faltam até a data do próximo concurso?
Quantos litros de água você consegue tomar por dia?
Para responder a cada uma dessas perguntas, você utiliza um tipo de medida. Eis
alguns exemplos de grandezas, instrumentos e unidades de medida que utilizamos
no dia a dia:
GRANDEZA
INSTRUMENTO
UNIDADE DE MEDIDA
2. temperatura
termômetro
grau Celsius
3. massa
balança
quilograma
4. comprimento
trena, metro, fita métrica
metro, centímetro
5. tempo
relógio
hora, minuto, segundo
6. capacidade
recipiente
litro
7. abertura do ângulo
transferidor
grau
Existem métodos de medição que utilizam como base de medida o próprio corpo
(palmo, pé, passo). Outros, mais padronizados, são portanto mais confiáveis, como
por exemplo o sistema métrico (milímetro, centímetro, metro, quilômetro).
Responda:
1. Qual é o comprimento da sua carteira (em palmos e em centímetros)
2. Como você mede o comprimento:
a. Da frente da sua casa.
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b. De uma página do seu livro.
c. Da distância entre duas cidades.
d. Da espessura da capa de um livro.
3. A afirmação “Uma folha de papel mede 21” está certa ou errada? Por quê?
4. Imagine a cozinha dos seus sonhos. Qual é a cor e o tamanho dela? Vamos
medir a superfície (área) de uma cozinha usando como unidade de medida a própria
cerâmica:
a. Qual é a grandeza a ser medida?
b. Qual é a unidade a ser usada?
c. Qual é a área dessa superfície, tomando-se
como unidade de medida a própria
cerâmica?
d. Que outras unidades de área ou unidades de
medida de superfície você conhece?
5. Algumas medidas de capacidade bastante utilizadas no dia a dia são a xícara, o
copo e a colher. Utilizando a capacidade de uma xícara como unidade de medida, a
medida da capacidade do copo é de duas xícaras, e a medida da capacidade do
litro, oito xícaras.
a. Se utilizarmos o copo como unidade de medida, qual será a medida da
capacidade do litro?
6. Gabaritaldo saiu de sua casa às 7h40min. Chegou ao curso preparatório em 15
minutos. Estudou por 3h30min e gastou 14 minutos para chegar em casa.
a. À que horas Gabaritaldo chegou em casa?
b. Que grandeza está sendo medida?
c. Quais as unidades de medida de tempo presentes neste exemplo?
d. Que outras você conhece?
GRANDEZAS DIRETAMENTE – E INVERSAMENTE – PROPORCIONAIS
“Gentileza gera gentileza. Violência gera violência.
Excesso de velocidade gera acidentes.”
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7. Por falar em velocidade, resolva esse desafio:
a. Gabarinaldo e Gabarinildo decidem realizar um duelo ao volante, para ver
quem é o mais rápido. Gabarinaldo percorre 340 km em 4 horas, e
Gabarinildo percorre 400 quilômetros em 5 horas. Qual dos dois é o mais
veloz?
8. Recordando... Dividendo – divisor – quociente – resto.
a. Por qual divisor devemos dividir o dividendo para obter um quociente de valor
igual ao dividendo?
9. Gabaritécio resolveu dar um churrasco para comemorar a vitória do seu time.
Comprou 13 kg de costela, 10 de asa de frango e 7 de lingüiça. Convidou toda a
torcida para participar (59 pessoas). A galera aproveitou para esvaziar a
churrasqueira em apenas 37 minutos.
a. Em média, quantos gramas de carne cada pessoa presente no churrasco
comeu?
10. Assinale se a frase corresponde à proporção diretamente proporcional, ou
inversamente proporcional:
a. Quanto mais carne for comprada, mais o povo irá comer.
b. Quanto mais um participante comer, menos carne irá sobrar para o outro.
c. Numa churrascaria sem rodízio, quanto mais se come, mais se paga.
d. Quanto mais se come, menos dinheiro se tem na carteira.
11. Caloria (cal) é uma unidade de medida de energia. Observe a tabela de lanches
e responda:
Quantas calorias o x-salada tem a mais que o hambúrguer duplo?
O hambúrguer duplo tem aproximadamente quantas vezes o número de calorias do
peito de peru light?
GABARITÉCIA LANCHES
Lanche
cal
Peito de peru light
195
Hambúrguer duplo
595
X-Gabarito
795
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12. O decibel – dB é usado como unidade de medida do nível de intensidade sonora.
Ele corresponde à décima parte do bel. A Organização Mundial de Saúde (OMS)
recomenda que no interior de edifícios o ruído de fundo não deva ser superior a 45
dB e que á noite, no interior de dormitórios o ruído não seja superior a 35 dB.
Também que os ruídos externos diurnos não sejam superiores a 55 dB e os
noturnos não superiores a 45 dB. Confira os sons (em decibéis) produzidos por:
Discotecas 85 a 100
Avião a jato: 120
Motos: 80 a 105
Grandes shows de rock: acima de 120
13. Crie uma situação a ser resolvida com base nesses dados. Compartilhe com um
colega e resolva-a.
MEDIDA DE TEMPO – HORAS, MINUTOS E SEGUNDOS
14. Gabaritônio retirou um DVD na locadora. O DVD tem dois documentários: um de
1h 45min e outro de 56 minutos.
a. Qual a duração total do DVD?
b. Se ele começar a assistir aos documentários às 20h 37min, a que horas ele
vai terminar?
15. Em suas últimas férias, Gabaritosa decidiu rever os parentes. Ela iniciou sua
viagem de carro em Angra dos Reis ao meio-dia e foi até Campinas. A viagem durou
5h 35min.
a. A que horas ela chegou a Campinas?
16. Transforme as medidas de tempo completando as lacunas:
a. 317 min =
_____ h _____ min
c. 420 s =
_____ h _____ min
b. 7 min 23 s = _____ h _____ min
17. Gabaritôncio levou o sobrinho ao estádio. A partida teve a seguinte duração:
1º tempo:
45 min + 3 min de acréscimo
Intervalo:
18 minutos
2º tempo:
45 min + 4 min de acréscimo.
a. Se o jogo começou meio-dia e meia, a que horas foi dado o apito final?
b. O certo é dizer ‘meio-dia e meio’ ou ‘meio-dia e meia’?
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18. Resolva os seguintes exercícios de soma e multiplicação de minutos:
a. (3h 47min 58s) + (2h 7min 23s)
b. 4 · (5h 17min 53s)
19. Agora, resolva mentalmente:
a. (3 h 10 min) + (50 min 30 s)
d. 45 s + 35 s
b. (2 h 30 min 40 s) + (1 h 29 min
20 s)
e. (3 h 30 min) + (2 h 30 min)
f. 8 · 15 min
c. 3 h – (1 h 50 min)
20. Qual intervalo de tempo é maior: 3 h 5 min, 198 min ou 12 800 s?
21. Gabarinácio e sua irmã gêmea correm na praia 3 vezes por semana. Em sua
última corrida, ele percorreu 3500 m em 50 min, e ela, 4,8 km em 1h 20 min. Em
média, qual dos dois foi mais veloz?
22. Exercícios com divisão de tempo: (Ex.: 7h 15min : 5 = 1h 27 min)
a. 9 h : 2
d. 2h : 5
b. (8 h 15 min) : 2
e. (1 h 30 min) : 3
c. (5 h 46 min 10 s) : 5
f. (5 h 45 min 20 s) : 4
23. Exercícios de subtração de tempo:
a. 3h – (1h 7min 40s)
b. (5h 10m 30s0 – (2h 7 min 40s)
24. Cálculos de tempo em dias, meses e anos.
a. Quantos dias tem o ano
comercial?
b. Qual é o próximo ano bissexto?
25. Efetue:
a. (1a 7 m 20d) + (3a 9m 13 d)
c. (7a 9m 25d) – (3a 10m 7d)
b. 2 · (3a 5m 8d)
d. 4a – (2a 6m 20d)
*Transformar em dias, converter depois.
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26. O Sr. Gabarítono é um tenor famoso que pretende se aposentar. Para isso,
precisa completar 35 anos de serviço. No zoológico de Volta Redonda, ele se
apresentou por 17a 7m 15d. Na rodoviária de Quixeramobim, entreteve os
passageiros por 12a 2m 20d, e no coral da sub-prefeitura do Parque Mambucaba,
está há 4a 11m 20d.
a. Quanto tempo falta para ele se aposentar?
UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO
26. Uma lesma flamenguista amarga a derrota na final do campeonato indo se
esconder no fundo de um poço seco de 10 m de profundidade. Ao ouvir sobre a
vitória do seu time, resolve sair de lá.
a. Durante o dia consegue subir 2 m pela parede, mas à noite, quando dorme,
escorrega 1 m. Em quantos dias ela atingirá o topo do poço, e poderá voltar a
torcer na arquibancada?
Múltiplos e submúltiplos do metro
Múltiplos do metro: decâmetro (dam), hectômetro (hm), quilômetro (km)
Submúltiplos do metro: decímetro (dm), centímetro (cm), milímetro (mm)
Mudança de unidades de medida no Sistema Métrico Decimal:
0,
0
0
1
km
hm
dam m
1
0
0
dm
cm
mm
0
27. Complete:
a. 1 dm = _____ cm
d. 1 dm = _____ m
b. 1 m = _____ km
e. 1 km = _____ hm
c. 1 m = 10 _____
f. 1 dm = 100 _____
28. Resolva: 3,72 hm + 24,62 m + 4962 dm = __________ m
Nota: 1 milha terrestre mede 1609 metros. Uma polegada, aproximadamente 25mm.
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II – Razão, Proporção, Regra de Três Simples e Composta
RAZÃO (*Por Marcos Noé, Equipe Brasil Escola.)
Dizemos que a razão entre dois números a e b é a relação a/b, onde a e b são
números reais com b ≠ 0. Dessa forma, concluímos que razão é uma fração, a qual é
utilizada no intuito de comparar grandezas. A razão pode ser representada por uma
fração, um número na forma decimal, porcentagem ou até mesmo por uma divisão.
3 : 5 = 3/5 = 0,6 = 60%
1 : 10 = 1/10 = 0,1 = 10%
Para entendermos a idéia principal de uma razão, observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Em uma turma de preparatório para o vestibular, o número de mulheres é igual a 50
e o número de homens é 40. Determine:
A razão entre o número de homens e o número de mulheres.
Temos 40 homens para 50 mulheres, então: 40/50 que simplificado fica 4/5.
Concluímos que para cada cinco mulheres existem quatro homens.
A razão entre o número de homens e de mulheres na forma de porcentagem: 40/50
= 0,8 = 80%
Exemplo 2
Em uma prova de testes, Carlos acertou 28 questões e errou 12. Escreva na forma
de fração:
a) A razão entre o número de acertos e o número de erros:
28/12, simplificando fica 7/3
b) A razão entre o número de erros e o número de acertos.
12/28 simplificando temos 3/7
c) A razão entre o número de acertos e o número total de questões.
28/40 simplificando temos 7/10
Exemplo 3
Em um jogo de basquete, a equipe de Pedro e de José marcou 60 pontos, dos quais
Pedro marcou 20 pontos e José marcou 15. Com base nessas informações
determine:
a) A razão entre o número de pontos marcados por José e o número de pontos
marcados por Pedro. 15/20 simplificando temos ¾
b) A razão entre o número de pontos marcados por Pedro e o número de pontos
marcados pela equipe. 20/60 que simplificado fica 1/3
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* A ordem dos números no cálculo de uma razão é muito importante. O numerador é
denominado antecedente e o denominador recebe o nome de consequente.
PROPORÇÃO(*Por Marcos Noé, Equipe Brasil Escola.)
A igualdade entre duas razões forma uma proporção, vale lembrar que razão é a
divisão entre dois números a e b, tal que b ≠ 0 e pode ser escrito na forma de a/b.
Observe os exemplos de proporções a seguir:
é uma proporção, pois 10:20 = 3:6
é uma proporção, pois 9:12 = 3:4
As proporções possuem uma propriedade que diz o seguinte: “em uma proporção, o
produto dos extremos é igual ao produto dos meios.” Essa propriedade pode ser
colocada em prática na verificação da proporcionalidade, realizando uma operação
denominada multiplicação cruzada.
9 x 4 = 12 x 3
36 = 36
Multiplicação cruzada
4 x 15 = 6 x 10
60 = 60
As proporções possuem uma enorme aplicabilidade em situações problemas
envolvendo informações comparativas, na regra três a proporcionalidade é usada no
intuito de calcular o quarto valor com base nos três valores estabelecidos pelo
problema. Acompanhe os exemplos a seguir no intuito de demonstrar a importância
do estudo das proporções.
Exemplo 1
Para fazer 600 pães, são gastos, em uma padaria, 100 Kg de farinha. Quantos pães
podem ser feitos com 25kg de farinha?
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Estabelecemos a seguinte relação:
600 -------------- 100
x -------------- 25
Podem ser feitos 150 pães.
Exemplo 2
Se com 40 laranjas é possível fazer 26 litros de suco, quantos litros de suco serão
obtidos com 25 laranjas?
40 -------- 26
25 -------- x
Com 25 laranjas podemos fazer 16,25 litros de suco.
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Proporcionalidade entre Grandezas
Definimos por grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, como o tempo,
a velocidade, comprimento, preço, idade, temperatura entre outros. As grandezas
são classificadas em: diretamente proporcionais e inversamente proporcionais.
Grandezas Diretamente Proporcionais são aquelas grandezas onde a variação de
uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra a outra dobra,
se uma triplica a outra triplica, se uma é divida em duas partes iguais a outra
também é divida à metade.
Exemplo 1
Se três cadernos custam R$ 8,00, o preço de
seis cadernos custará R$ 16,00. Observe que
se dobramos o número de cadernos também
dobramos o valor dos cadernos. Confira pela
tabela:
Exemplo 2
Para percorrer 300 km, um carro gastou 30
litros de combustível. Nas mesmas
condições, quantos quilômetros o carro
percorrerá com 60 litros? E com 120 litros?
Grandezas Inversamente Proporcionais são aquelas nas quais operações
inversas são utilizadas nas grandezas. Se dobramos uma das grandezas temos que
dividir a outra por dois, se triplicamos uma delas devemos dividir a outra por três e
assim sucessivamente. A velocidade e o tempo são considerados grandezas
inversas, pois aumentarmos a velocidade, o tempo é reduzido, e se diminuímos a
velocidade, o tempo aumenta.
Exemplo 3
Para encher um tanque são necessárias 30 vasilhas de 6 litros cada uma. Se forem
usadas vasilhas de 3 litros cada, quantas serão
necessárias?
Utilizaremos 60 vasilhas, pois se a capacidade da
vasilha diminui, o número de vasilhas aumenta no
intuito de encher o tanque.
* A utilização da regra de três nos casos
envolvendo proporcionalidade direta e inversa é
de extrema importância para a obtenção dos resultados.
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REGRA DE TRÊS SIMPLES (*Por Marcos Noé, Equipe Brasil Escola.)
A regra de três é usada nas situações de proporcionalidade utilizando de três
valores dados para o cálculo do quarto valor. A regra de três é muito utilizada na
Física e na Química para o cálculo de conversão de grandezas: velocidade, massa,
volume, comprimento, área. A regra de três pode ser considerada diretamente
proporcional ou inversamente proporcional. Acompanhe a resolução de exemplos
utilizando a regra de três.
Exemplo 1
Um pintor utilizou 18 litros de tinta para pintar 60m² de parede. Quantos litros de
tintas serão necessários para pintar 450 m², nas mesmas condições?
Vamos relacionar os dados através de uma tabela:
Litros
Área em m²
18
60
x
450
18 -------------- 60
x --------------- 450
Observe que, quanto maior a área a ser pintada maior será a quantidade de
tinta, então podemos dizer que a regra de três é diretamente proporcional.
Nesse caso não invertemos os termos, multiplicamos cruzado:
60*x = 18 * 450
60x = 8100
x = 8100/60
x =135
R= Serão necessários 135 litros de tintas para pintar uma parede de 450 m²
Exemplo 2
Dias
Páginas por dia
4
15
x
6
Márcia leu um livro em 4 dias, lendo 15 páginas por
dia. Se tivesse lido 6 páginas por dia, em quanto
tempo ela leria o mesmo livro?
Se ela ler mais páginas por dia demorará menos tempo para ler o livro, caso ela
diminua as páginas lidas por dia aumentará o tempo de leitura, nesse caso a regra
de três é proporcionalmente inversa, então devemos inverter a coluna em que se
encontra a incógnita e depois multiplicar cruzado.
Dias
Páginas por dia
x
15
4
6
6 * x = 4 * 15
x ---------------- 15
4 ---------------- 6
6x = 60
x = 60/6
x = 10
Se passar a ler 6 páginas por dia levará 10 dias para ler o livro.
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REGRA DE TRÊS COMPOSTA (*Por Marcos Noé, Equipe Brasil Escola.)
Podemos realizar comparações entre duas grandezas utilizando a regra de três
simples, pois através dela podemos montar uma proporção, calcular um quarto
termo com base nos três existentes. Porém, se envolvermos três grandezas, a regra
de três simples não terá muita utilidade, mas poderemos aplicar a regra de três
composta. Observe os exemplos a seguir:
Exemplo 1
Torneiras
Água
(L)
Tempo
(h)
6
10000
10
12
12000
x
Seis torneiras despejam 10.000 litros de água em
uma caixa em 10 horas. Em quanto tempo 12
torneiras despejarão 12.000 litros de água?
Número de torneiras e tempo inversamente
proporcionais. (inverter a coluna das torneiras)
Litros de água e tempo diretamente proporcionais.
Exemplo 2
Tempo (min) Dias kW/h
60
20
10
110
30
x
Usando um ferro elétrico 1 hora por dia, durante 20
dias, o consumo de energia será de 10 kw/h.
Se o mesmo ferro elétrico for usado 110 minutos por
dia durante 30 dias, qual será o consumo?
Tempo e kW/h são diretamente proporcionais.
Dias e kW/h são diretamente proporcionais.
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Exemplo 3
Horas/dia
Dias
R$
10
18
2100
8
x
2700
Trabalhando 10 horas por dia, durante 18 dias, João
recebeu R$ 2 100,00. Se trabalhar 8 horas por dia,
quantos dias ele deverá trabalhar para receber R$ 2
700,00
Horas por dia e dias são inversamente
proporcionais. (inverter a coluna das horas / dia)
Dias e salário são diretamente proporcionais.
Exemplo 4
nº
Peças h/d Dias
funcionários
10
3000
8
5
x
7000
4
15
Em uma empresa, 10 funcionários produzem 3 000
peças, trabalhando 8 horas por dia durante 5 dias. O
número de funcionários necessários para que essa
empresa produza 7 000 peças em 15 dias,
trabalhando 4 horas por dia, será de:
Funcionários e peças são diretamente proporcionais.
Funcionários e horas por dia são inversamente
proporcionais. (inverter coluna horas por dia)
Funcionários e dias são inversamente proporcionais.
(inverter coluna dos dias)
A regra de três composta é muito utilizada em situações que envolvem mais de duas
grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Dúvidas? Sugestões? Comentários? Escreva para o Professor Charlles:
Email: [email protected]
Skype: charllesnunes
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