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DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS
A) Divisão em Partes Diretamente Proporcionais
Dividir um número N em partes diretamente proporcionais a
outros é achar partes de N, (x1, x2, ..., xn), diretamente
proporcionais a esses outros números, (y1, y2, ..., yn), e cuja soma
seja N.
Exemplo de aplicação
Três sócios resolveram abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30
mil reais, o segundo investiu 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais.
Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil
reais. Se esse lucro for distribuído de forma que a quantia
recebida seja diretamente proporcional ao valor investido.
Quanto cada um recebeu?
Solução: Indicando por a, b e c as quantias recebidas por cada um
dos sócios, temos: a + b + c = 24 e
a
b
c
.


30 40 50
Somando os numeradores e denominadores da proporção,
obtemos:
a
b
c
abc
24 1




 .
30 40 50 30  40  50 120 5
Daí:
a 1
 30  5
a  6


b 1
   b  8
c  10
 40 5

c 1

 50 5

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Assim, o primeiro sócio receberá 6 mil reais, o segundo sócio
receberá 8 mil reais e o terceiro sócio receberá 10 mil reais.
B) Divisão em Partes Inversamente Proporcionais
Dividir um número N em partes inversamente proporcionais a
outros é achar partes de N, (x1, x2, ..., xn), diretamente
proporcionais aos inversos desses outros números, (y1, y2, ..., yn),
e cuja soma seja N.
Exemplo de aplicação
Uma senhora deseja dividir sua fortuna, que é de R$ 1.100.000,00
entre seus netos, de maneira inversamente proporcional às idades
desses netos. Sabendo que as idades dos netos são 10, 5 e 4, qual a
quantia recebida por neto?
Solução: Indicando por x, y e z os valores recebidos por neto,
temos:
x
y z
x  y  z  1,1 e
  .
1
1 1
10 5 4
Somando os numeradores e denominadores da proporção,
obtemos:
x
y z
x y z
1,1

 2.
   ... 
1
1 1
1 1 1 11
 
10 5 4
10 5 4 20
Daí:
10 x  2  x  0,2


5 y  2   y  0,4
4 z  2
 z  0,5


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Assim, o neto mais velho receberá 0,2 milhão (200 mil reais), o
neto do meio receberá 0,4 milhão (400 mil reais) e o neto mais
novo receberá 0,5 milhão (500 mil reais).
C) Divisão Proporcional Composta
Em alguns casos, pode ser necessário dividir um número em
partes diretamente proporcionais a dois ou mais
conjuntos de números ou, ainda, diretamente proporcional a um
conjunto de números e inversamente proporcional a um outro
conjunto. Nesses casos, é só lembrar que:
- se x é inversamente proporcional a y, é diretamente
proporcional a
1
.
y
- se x é diretamente proporcional a y e z, x é diretamente
proporcional a yz.
Exemplo de aplicação
Dividir o número 98 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3
e também diretamente proporcionais a 1 e 4.
Solução:
Sejam x e y as partes procuradas. Temos:
x é D.P. a 2 e 1  x é D.P. a 2 . 1 = 2
y é D.P. a 3 e 4  y é D.P. a 3 . 4 = 12
Logo:
x
y e x + y = 9, que resolvido dá:

2 12
x = 14, e y = 84
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Observações
1. Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando os
valores da primeira grandeza e os valores da segunda grandeza
são diretamente proporcionais. Assim, quando o valor (absoluto)
de uma grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada por
uma constante k, o valor (absoluto) correspondente da outra
grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada pela mesma
constante k.
2. Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando
os valores da primeira grandeza e os valores da segunda
grandeza são inversamente proporcionais. Assim, quando o valor
(absoluto) de uma grandeza aumenta (ou diminui) sendo
multiplicada por uma constante k, o valor (absoluto)
correspondente da outra grandeza diminui (ou aumenta) sendo
dividida pela mesma constante k.
Exemplos
1. Velocidade e distância percorrida são grandezas diretamente
proporcionais, para um mesmo intervalo de tempo. Observe o
caso em que é medido o deslocamento de quatro móveis com
velocidades diferentes durante duas horas:
Podemos observar que os valores da velocidade e do
deslocamento formam uma proporção direta:
10 20 30 40



30 60 90 120
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Observe que da velocidade 10 para a velocidade 30, a grandeza
foi multiplicada por 3, enquanto a distância correspondente foi
de 30 para 90, ou seja, também multiplicada por 3.
2. Velocidade e tempo gasto são grandezas inversamente
proporcionais, para uma mesma distância. Observe o caso em
que é medido o deslocamento de quatro móveis com velocidades
diferentes para percorrer uma distância de 200 km:
Podemos observar que os valores da velocidade e do
deslocamento formam uma proporção inversa:
1020 = 2020 = 405 = 504
Observe que, da velocidade 10 para a velocidade 40, a grandeza
foi multiplicada por 4, enquanto o tempo correspondente foi de
20 para 5, ou seja, foi dividida por 4.
PROBLEMAS DAS TORNEIRAS
Considere um tanque de volume V e duas torneiras T1 e T2 .
Suponhamos que a torneira T2 enche este tanque em t1 horas e a
torneira T2 , enche o mesmo tanque em t 2 horas. Se elas são
abertas ao mesmo tempo, quando o tanque estará cheio?
Resolução: Sejam Q1 a vazão da torneira T1 , ou seja, Q1 
Analogamente, para a torneira T2 , sua vazão é Q2 
um t * . A quantidade de água
torneira T1 de 0 até t * é V1  Q1  t * e
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no
tanque
V
.
t1
V
. Fixe
t2
devido
a
da
torneira T2 é V2  Q2  t * . Portanto, se elas forem abertas
simultaneamente, a contribuição total das duas torneiras
de 0 a t * é V t *  V1  V2 .
 
Por outro lado, a quantidade de água armazenada no tanque é
proporcional ao tempo em que estas torneiras estão abertas.
Assim, se representa o tempo total para encher o tanque de
volume V, segue que
V
t
1 Q Q
1 1
 *  Vt *  t Q1  Q2 t *   1  2  
*
V t
t
t V V
t1 t 2
 
Exemplo de aplicação
Uma torneira enche um tanque em 3 horas. Outra torneira o
enche em 6 horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente,
em quanto tempo o tanque ficará cheio?
Solução:
Suponhamos que o volume do tanque seja V . O próximo passo é
analisar quanto cada torneira contribui para encher o tanque no
período de 1 hora. A primeira torneira neste período contribui
com
V
V
e a segunda torneira com
do tanque. Assim, se elas
3
6
forem abertas simultaneamente, elas juntas em 1 hora encherão
com
V
do
6
tanque.
Assim,
se
elas
simultaneamente, elas juntas em 1 hora encherão
V V 2V  V V
 

3 6
6
2
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forem
abertas
Se em uma hora elas enchem a metade do tanque, então o tanque
ficará completamente cheio em duas horas.
Regra de Três Simples
Dadas duas grandezas e conhecendo 2 medidas de uma grandeza
e 1 medida da outra, podemos calcular a quarta medida
estabelecendo uma proporção entre esses valores.
Exemplo de aplicação
Se 3 cachorros comem 5 quilos de ração, então 12 cachorros
comem quantos quilos de ração?
Solução: O número de cachorros e a quantidade de ração são
grandezas diretamente proporcionais, pois, quanto mais
cachorros, mais ração será consumida. Vamos representar que
são diretamente proporcionais por duas setas com mesmo
sentido.
 ( N º de cachorros )
 (Qde de ração )
3
5
12
x
Estabelecendo a proporção, temos:
3 5
  3 x  60  x  20
12 x
Assim, os 12 cachorros comem 20 quilos de ração.
Exemplo de aplicação
Quatro pintores demoram 60 horas para pintar uma casa, quantas
horas cinco pintores levariam para pintar a mesma casa?
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Solução: O número de pintores e a quantidade de horas são
grandezas
inversamente
proporcionais,
pois,
quando
aumentamos o número de pintores, vamos precisar de menos
horas para executar o mesmo serviço. Vamos representar as
grandezas inversamente proporcionais por duas setas com
sentidos contrários.
 ( N º de p int ores )
4
5
 (Qde de horas )
60
x
Estabelecendo a proporção, invertendo uma das frações, temos:
4 x

 5 x  240  x  48
5 60
Assim, os cinco pintores levariam 48 horas para pintar a casa.
Regra de Três Composta
Quando tratarmos de mais de duas grandezas, podemos
proceder de maneira idêntica à regra de três simples, porém
vamos adotar o seguinte procedimento:
• escolher uma das grandezas e comparar com as outras,
verificando se as grandezas são diretamente ou inversamente
proporcionais;
• isolar a fração obtida da grandeza que foi usada para
comparação no primeiro membro e no segundo membro
colocamos o produto das frações obtidas das outras grandezas,
com o cuidado de inverter as frações que são de grandezas
inversamente proporcionais à grandeza escolhida para
comparação.
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Exemplo de aplicação
Cinco pessoas comem doze quilos de feijão em quatro semanas,
em quanto tempo dez pessoas comem trinta quilos de feijão?
Solução: Vamos escolher o número de pessoas para comparar
com as outras grandezas. Quanto mais pessoas, mais feijão será
consumido, portanto a quantidade de feijão e o número de
pessoas são diretamente proporcionais. Quanto mais pessoas,
menos tempo irá durar o feijão, portanto o número de pessoas e o
tempo são duas grandezas inversamente proporcionais.
Estabelecendo a proporção, temos:
5 12 t
 .  120t  600  t  5
10 30 4
Assim, dez pessoas comendo trinta quilos de feijão precisarão de
cinco semanas.
Leia mais!
O número  (letra grega que se pronuncia “fi”), apesar de não ser
tão conhecido, tem um significado muito interessante. Durante
anos, o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. Os
gregos criaram, então, o retângulo de ouro. Era um retângulo, do
qual havia proporções (do lado maior dividido pelo lado menor)
e, a partir dessa proporção, tudo era construído. Assim, eles
fizeram o Parthernon (proporção do retângulo que forma a face
central e lateral). A profundidade dividida pelo comprimento ou
P á g i n a | 10
altura, tudo seguia uma proporção ideal de 1,618. Os egípcios
fizeram o mesmo com as pirâmides, cada pedra era 1,618 menor
do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de
cima, que era 1,618 maior que a da 3ª fileira e assim por diante.
Durante milênios, a arquitetura clássica grega prevaleceu. O
retângulo de ouro era padrão, mas, depois de muito tempo, veio
a construção gótica com formas arredondadas, que não
utilizavam retângulo de ouro grego. Mas, em 1200, Leonardo
Fibonacci um matemático que estudava o crescimento das
populações de coelhos criou aquela que é provavelmente a mais
famosa sequência matemática: a Série de Fibonacci. A partir de 2
coelhos, Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir
da reprodução de várias gerações e chegou a uma sequência em
que um número é igual a soma dos dois números anteriores: 1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
1
1
1+1=2
1+2=3
2+3=5
3+5=8
5 + 8 = 13
8 + 13 = 21
13 + 21 = 34
e assim por diante.
Aí entra a primeira “coincidência”: proporção de crescimento
média da série é 1,618. Os números variam, um pouco acima às
vezes, um pouco abaixo, mas a média é 1,618, exatamente a
proporção das pirâmides do Egito e do retângulo de ouro dos
gregos. Então, essa descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia
de tal proporção que os cientistas começaram a estudar a
natureza em termos matemáticos e começaram a descobrir coisas
fantásticas:
P á g i n a | 11
•
•
•
•
a proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas
machos numa colmeia é de 1,618;
a proporção em que aumenta o tamanho das espirais de um
caracol é de 1,618;
a proporção em que aumenta o diâmetro das espirais
sementes de um girassol é de 1,618;
a proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore à
medida que subimos de altura é de 1,618.
E não só na Terra se encontra tal proporção. Nas galáxias, as estrelas
se distribuem em torno de um astro principal numa espiral
obedecendo à proporção de 1,618 também. Por isso, o número 
ficou conhecido como a DIVINA PROPORÇÃO. Porque os
historiadores descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria
escolhido para fazer o mundo. Bom, por volta de 1500, com o
Renascentismo, a cultura clássica voltou à moda. Michelangelo e,
principalmente, Leonardo da Vinci, grandes amantes da cultura
pagã, colocaram esta proporção natural em suas obras. Mas Da
Vinci foi ainda mais longe; como cientista, pegava cadáveres para
medir a proporção do seu corpo e descobriu que nenhuma outra
coisa obedece tanto à Divina proporção quanto o corpo humano...
obra-prima Divina.
Exemplos
1. Meça sua altura e depois divida pela altura do seu umbigo até
o chão; o resultado é 1,618.
2. Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho do seu
cotovelo até o dedo; o resultado é 1,618.
3. Meça seu dedo, ele inteiro dividido pela dobra central até a
ponta ou da dobra central até a ponta dividido pela segunda
dobra; o resultado é 1,618.
4. Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do seu joelho
até o chão; o resultado é 1,618.
5. A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua
mandíbula até o alto da cabeça; o resultado é 1,618;
P á g i n a | 12
6. Da sua cintura até a cabeça e depois só o tórax; o resultado é
1,618. (Considere erros de medida da régua ou fita métrica que
não são objetos acurados de medição.)
7. Cada osso do corpo humano é regido pela Divina Proporção.
Seria Deus, usando seu conceito maior de beleza em sua maior
criação feita à sua imagem e semelhança?
Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis, árvores,
arte e o homem; coisas teoricamente diferentes, todas ligadas
numa proporção em comum. Então, até hoje, essa é
considerada a mais perfeita das proporções.
Porcentagem
Qualquer razão de denominador 100 é chamada de razão
centesimal, taxa percentual ou simplesmente porcentagem.
Exemplos
3
 3%
100
3
15
2.

 15%
20 100
42,86
3
3.
 0,4286 
 42,86%
7
100
1.
Observe, no terceiro exemplo, que, para transformarmos um
número escrito na forma decimal para porcentagem, basta
multiplicarmos o número por 100%.
Exemplos
1. 0,23 = 0,23100% = 23%.
2. 0,3214 = 0,3214100% = 32,14%.
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Observação: Podemos calcular a porcentagem que um número a
representa de outro b, com b0, simplesmente escrevendo a
fração
a
na forma de porcentagem.
b
Exemplo: O número 9 representa 60% do número 15, pois
9
=
15
0,6 = 60%.
EXERCÍCIOS
O PROFESSOR RESOLVE
01. (VUNESP) Para uma prova, 150 candidatos deveriam ser
acomodados nas salas A, B, C e D de um colégio, com
capacidade para receber 60, 50, 40 e 30 candidatos,
respectivamente. A organização decidiu preencher inicialmente
todos os lugares da sala menor, e os candidatos restantes foram
repartidos entre as demais salas de forma diretamente
proporcional à capacidade de cada uma. O número de lugares
não ocupados na sala de maior capacidade foi igual a
A) 8.
B) 10.
C) 12.
D) 14.
E) 16.
02. Quando estava na 3ª série colegial, participei de um grupo de
trabalho de biologia, composto de 4 pessoas: André, Beth,
Carlos e eu. Combinamos que os gastos com os materiais
seriam divididos inversamente à participação de cada um na
elaboração do trabalho, ou seja, quem trabalhasse mais
pagaria proporcionalmente menos. No balanço final, após a
entrega do trabalho, o resultado foi o seguinte:
P á g i n a | 14
Total dos gastos: R$ 840,00
Tempo trabalhado: André: 15h, Beth: 20h, Carlos: 30h e eu:
40h.
Dessa forma, André, Beth, Carlos e eu,
respectivamente
A) R$ 105,00, R$ 175,00, R$ 210,00 e R$ 350,00.
B) R$ 120,00, R$ 160,00, R$ 240,00 e R$ 320,00.
C) R$ 320,00, R$ 240,00, R$ 160,00 e R$ 120,00.
D) R$ 350,00, R$ 210,00, R$ 175,00 e R$ 105,00.
E) R$ 400,00, R$ 200,00, R$ 140,00 e R$ 100,00.
pagamos,
03. (UPENET) Uma bomba enche um tanque em 3 horas, e uma
válvula colocada no fundo o esvazia em 5 horas. Estando o
tanque vazio, a bomba ligada e a válvula aberta, em quanto
tempo o tanque estará cheio?
A) 6 horas.
B) 7 horas.
C) 7,5 horas.
D) 8 horas.
E) 8,5 horas.
04. (UECE-2010) Três torneiras X, Y e Z, abertas
simultaneamente, enchem um tanque em três horas. Cada
uma das torneiras tem vazão constante e, sozinhas,
encheriam o tanque em x horas, 8 horas e 6 horas,
respectivamente. Nestas condições, o valor de x será
A) 18.
B) 20.
C) 22.
D) 24.
E) 28.
05. (PUC-SP) Paulina está sempre apressada: quando usa a
escada rolante de uma certa estação de metrô, costuma subir
alguns degraus no percurso para ganhar tempo.
Considerando que, quando ela sobe 8 degraus, gasta 50
segundos no percurso de toda a escada e, quando sobe 12
degraus, gasta 40 segundos, então o total de degraus dessa
escada é
P á g i n a | 15
A) 22.
D) 30.
B) 24.
E) 32.
C) 28.
06. Um fazendeiro tem ração para alimentar 32 bois durante 25
dias; no fim de 4 dias compra mais 10 bois. Se a ração de
cada boi não for diminuída, as provisões serão suficientes
para
A) 5 dias.
D) 19 dias.
B) 14 dias.
E) 21 dias.
C) 16 dias.
07. (AFRE) Se 8 homens, trabalhando 8 horas por dia, levam 8
dias para fabricar 8 unidades de um artigo, então, em 12 dias,
o número de unidades do mesmo artigo fabricado por 12
homens de mesma capacidade de trabalho que os primeiros,
trabalhando 12 horas por dia, é
A) 12.
D) 32.
B) 24.
E) 35.
C) 27.
08. (FCC) Sabendo que 1 megabyte = 106 bytes, suponha que
certo site de pesquisa da internet processa 1 megabyte de
informações digitais a cada 40 segundos. Com base nessa
informação e sabendo que 1 gigabyte é igual a 1 bilhão de
bytes, o esperado é que esse site seja capaz de processar 1
gigabyte de informações digitais a cada
A) 11 horas, 6 minutos e 40 segundos.
B) 11 horas e 46 minutos.
C) 11 horas, 56 minutos e 20 segundos.
D) 12 horas, 6 minutos e 46 segundos.
E) 12 horas, 56 minutos e 40 segundos.
09. A capa de uma revista de grande circulação trazia a seguinte
informação, relativa a uma reportagem daquela edição:
P á g i n a | 16
“O brasileiro diz que é feliz na cama, mas debaixo dos lençóis 47%
não sentem vontade de fazer sexo”.
O texto abaixo, no entanto, adaptado da mesma reportagem,
mostra que o dado acima está errado:
“Outro problema predominantemente feminino é a falta de desejo –
35% das mulheres não sentem nenhuma vontade de ter relações. Já
entre os homens, apenas 12% se queixam de falta de desejo”.
Considerando que o número de homens na população seja
igual ao de mulheres, a porcentagem aproximada de
brasileiros que não sentem vontade de fazer sexo, de acordo
com a reportagem, é
A) 12%.
D) 35%.
B) 24%.
E) 50%.
C) 29%.
10.
Suponha que a garçonete tenha decidido misturar água ao
café-com-leite do "seu" Almeida. Num copo de 300 ml,
colocou 20 ml de água pura e completou o restante de acordo
com o pedido do freguês.
Em comparação com a porção solicitada de café-com-leite,
pode-se afirmar que "seu" Almeida bebeu a menos uma
quantidade de leite igual a
P á g i n a | 17
A) 5 ml.
B) 10 ml.
C) 15 ml.
D) 20 ml.
E) 25 ml.
SOLUÇÕES
Solução – 1ª questão
Sala menor : 30 candidatos
Re s tan te :150  30  120 candidatos
4
60 x  50 x  40 x  120  x  .
5
4


Ocupados : 60   48
SalaMaior : 
5
 Não ocupadas : 60  48  12 lugares.
P á g i n a | 18
Solução – 2ª questão
120
.x  8 x
15
120
.x  6 x
B:
20
120
.x  4 x
C:
30
120
.x  3 x
E:
40
8 x  6 x  4 x  3 x  840  x  40.
A:
Solução – 3ª questão
1 1 1
5 x  3x 15
  


3 5 x
15 x
15 x
2 x  15  x  7,5 h
Solução – 4ª questão
1 1 1 1
24  3 x  4 x
   
24 x
x 8 6 3
8x

 x  24
24 x
P á g i n a | 19
Solução – 5ª questão
Seja " x" o número de deg raus : ( D.P)
( x  8)       50 seg 
  x  28 deg raus
( x  12)       40 seg 
Solução – 6ª questão
 n º dias 

32       21
  42 x  32.21  x  16 dias

42       x

 n º bois
Solução – 7ª questão
 Homens
 horas / dia
 n º dias
 unidades
8
8
8
8
12
12
12
x
8 8 8 8
1 1
 . .  
 x  27 unidades
x 12 12 12
x 27
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Solução – 8ª questão
 Quantidade
1 MB
1000 MB
 tempo

40 seg   x  40.000 seg 

x

x  11 horas 6 min e 40 seg
Solução – 9ª questão
(35% de 50%)  (12% de 50%)  17,5%  6%  23,5%
Solução – 10ª questão
75% de leite  0,75  300  225
Porção Solicitada : 
25% de café  0,25  300  75
20ml de água

Porção com água : leite : 75% de 280  210
Café : 25% de 280  70

Bebeu 225  210  15ml de leite a menos.
P á g i n a | 21