Antifairese:
Antifairese e a descoberta
da incomensurabilidade.
Etimologia:
Anthyphairesis:
anto = reciprocal
hypo = sub
hairesis = traction
Antifairese: Subtrações mútuas.
Motivação:
É um fato curioso, que os “Elementos
de Euclides” não contenham uma
definição precisa de razão, ainda que a
palavra logos apareça com este
significado. Livro V, definição 3 o
introduz:
Definição de razão do livro V
dos Elementos de Euclides:
“Uma razão (logos) é um tipo de relação
em respeito à medida entre duas
grandezas do mesmo tipo”
A definição 6 introduz uma terminologia
alternativa:
“Permita que [quatro] grandezas que
possuem a mesma razão sejam
chamadas proporcionais (analogon)”
Procedimento:
“Dadas duas grandezas A e B (pense em
A e B como segmentos de linhas) com
B menor que A, suponha que B cabe
em A algum número de vezes n0,
deixando um resto A1 menor que B;
agora repita o procedimento com B e
A1, dando origem a um segundo
segmento n1 e uma grandeza B1...”
Procedimento:
“... Se em algum estágio , a menor
grandezas corrente couber
precisamente na maior grandeza, então
esta grandeza menor corrente mede a
grandeza anterior a ela, a qual mede a
grandeza anterior a ela e assim por
diante até que sejam medidas as duas
grandezas originais, que são,
conseqüentemente, incomensuráveis”.
Figura 1: Antifairese.
Incomensurabilidade:
 Da
raiz quadrada de cinco;
 Entre o lado e a diagonal de um
quadrado;
 Entre o lado e a diagonal de um
pentágono.
Teoria de razão antifairética:
Consideraremos, agora, que a
razão entre dois números ou
grandezas era definida por suas
antifaireses, ou por algum
procedimento intimamente
conectado com antifairese e duas
razões são iguais se elas
tiverem a mesma antifairese.
Evidências:
Passagem de “Aristóteles Topics
(158b29)”;
 Comentários de “Alexander of
Aprodisias”;
 Evidências aritméticas:
 Frações Contínuas;

Este projeto foi desenvolvido por:
Fernando M. Jorge; R.A.:981178;
 E-mail: [email protected]
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Antifairese e a descoberta da incomensurabilidade