Simulação com Modelos Teóricos de
Probabilidade
Algumas distribuições teóricas apresentam certas
características que permitem uma descrição correta de
variáveis muito comuns em processos de simulação.
Usando essas distribuições teóricas estaremos
adicionando informações ao comportamento da variável,
o que torna o modelo mais apto a prever o futuro.
– p. 1/21
Distribuição Uniforme
É a distribuição de uma variável aleatória X, num
intervalo [a, b], cuja função densidade de probabilidade
FDP é dada por:
0 para x < a ou x > b
f (x) =
1
para a ≤ x ≤ b
b−a
A média e a variância são dadas por:
(b − a)2
a+b
e V (X) =
µ = E(X) =
2
12
– p. 2/21
Função Densidade Acumulada:
A função densidade acumulada FDA é dada por:


0
se
x
≥
a

 x−a
se a < x < b
F (x) = P (X ≤ x) =

b−a

 1
se x ≥ b
– p. 3/21
Exemplo:
O departamento de montagem de uma empresa requisita
caixas de parafusos para o departamento de serviços. O
tempo de atendimento é de 1 a 6 horas, dependendo do
acumulo do trabalho no departamento de serviços, e
acredita-se que tenha uma distribuição uniforme. Se a
chegada de material é verificada em hora em hora a
partir da segunda hora do pedido, simular o tempo de
espera para 5 pedidos.
– p. 4/21
Solução:
x−1
A FDA no intervalo [1.6] é F (x) =
.
5
x = 1 F (1) = 0
x = 3 F (3) = 0, 4
x = 5 F (5) = 0, 8
x = 2 F (2) = 0, 2
x = 4 F (4) = 0, 6
x = 6 F (6) = 1
– p. 5/21
Exemplo
Os limites para os números aleatórios são:
Tempo de
atendimento
0`1
1`2
2`3
3`4
4`5
5`6
FDA
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1
Limite para
números aleatórios
···
00 - 19
20 - 39
40 - 59
60 - 79
80 - 99
– p. 6/21
Exemplo
Simulando os tempos de espera:
Número
Tempo de
aleatório espera em horas
12
2
93
6
02
2
86
6
14
2
– p. 7/21
Observação
Podemos gerar valores sobre uma distribuição uniforme
no intervalo [a, b], usando a expressão:
x = a + (b − a) · R
onde R é um número aleatório no intervalo [0, 1].
Exemplo: O tempo de atendimento em uma fila se
distribui uniformemente de 0,5 min a 3 min. A expressão
x = 0, 5 + 2, 5 · R gera para cada número aleatório R de
[0, 1] um tempo de atendimento nesta fila.
– p. 8/21
Distribuição de Poisson
A variável de Poisson descreve o número de vezes que
ocorre um evento, que certamente ocorrerá muitas vezes,
mas que é pouco provável que ocorra num particular
instante de observação. Essa característica é típica de
chegadas de fila de espera.
A probabilidade de n ocorrências em um intervalo de
tempo ∆t é dada por:
αn · e−α
P (X = n) =
n!
onde α é o número médio de chegadas na unidade de
tempo usada para ∆t.
– p. 9/21
Distribuição de Poisson
A média e a variância da variável de Poisson são:
µ = E(X) = V (X) = α
Exemplo: Em um determinado dia da semana chegam
em média, a um guichê de pedágio, 1,8 carro por minuto.
Admitindo que a chegada de carros ao guichê obedeça a
uma distribuição de Poisson, realizar uma simulação
abrangendo 10 minutos de operação do guichê.
– p. 10/21
Exemplo
Devemos simular o número de carros que chegam a cada
minuto, durante o intervalo de 10 minutos, obedecendo a
uma distribuição de Poisson onde α = 1, 8, ou seja
1, 8n e−1,8
P (X = n) =
n!
O número n pode, teoricamente, assumir valores desde
0(zero) até qualquer número positivo inteiro que se
queira, mas na prática existe um limite a partir do qual
podemos considerar P (X = n) = 0.
– p. 11/21
Exemplo
A tabela a seguir mostra os valores de n e as respectivas
probabilidades e probabilidades acumuladas:
n P (X = n) P (X ≤ n)
0
1
2
3
4
5
6
7
0,165
0,298
0,268
0,161
0,072
0,026
0,008
0,002
0,165
0,463
0,731
0,892
0,964
0,990
0,998
1,000
Limites para
números aleatórios
000 - 164
165 - 462
463 - 730
731 - 891
892 - 963
964 - 989
990 - 997
998 - 999
– p. 12/21
Exemplo
Procedendo a simulação, obtemos:
Número Número de carros Número Número de car
aleatório chegando ao guichê aleatório chegando ao gu
294
1
177
1
079
0
258
1
904
4
112
0
977
5
037
0
766
3
314
1
– p. 13/21
Distribuição Normal
Uma variável tem distribuição normal se esta
distribuição tiver a forma da curva de Gauss, isto é, a
sua função distribuição de probabilidade for:
1 x−µ 2
1
· e− 2 ( σ ) ,
f (x) = √
2πσ
onde µ = média e σ 2 = variância.
Conhecidas a média e a variância da variável normal X,
x−µ
a expressão z =
fornece através da tabela da
σ
variável normal padrão a probabilidade P (X ≤ x).
– p. 14/21
Exemplo
As vendas semanais de um produto se distribuem-se
normalmente com média 5 e variância 2,25. Construir
um padrão de venda para as próximas 4 semanas.
Solução: Seja X a variável vendas semanais. Como ela
possui valores inteiros, isso pode ser contornado fazendo
P (X = n) = P (X ≤ n + 0, 5) − P (X ≥ n − 0, 5).
Então:
P (X = 0) = P (X ≤ 0, 5) − P (X ≥ −0, 5),
P (X = 1) = P (X ≤ 1, 5) − P (X ≥ 0, 5),
P (X = 2) = P (X ≤ 2, 5) − P (X ≥ 1, 5), etc.
x−5
Para usar a tabela temos Z =
.
1, 5
– p. 15/21
Exemplo
x = −0, 5 ⇒ z = 3, 67 ⇒ P (X ≤ −0, 5) = 0, 000
x = 0, 5 ⇒ z = −3 ⇒ P (X ≤ 0, 5) = 0, 001
x = 1, 5 ⇒ z = −2, 33 ⇒ P (X ≤ 1, 5) = 0, 009
x = 2, 5 ⇒ z = −1, 67 ⇒ P (X ≤ 2, 5) = 0, 048
Então:
P (X = 0) = 0, 001 − 0, 000 = 0, 001
P (X = 1) = 0, 009 − 0, 001 = 0, 008
P (X = 2) = 0, 048 − 0, 009 = 0, 039 etc.
A probabilidade acumulada é dada portanto por
P (X ≤ n + 0, 5).
– p. 16/21
Tabela
Número P (X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
≤ n + 0, 5) Limite para no aleatório
0,001
000
0,009
001 - 008
0,048
009 - 047
0,159
048 - 158
0,371
159 - 370
0,629
371 - 628
0,862
629 - 861
0,953
862 - 952
0,990
953 - 989
0,999
990 - 998
1,000
999
– p. 17/21
Números aleatórios para 4 semanas
N o aleatórios Vendas
266
4
527
5
593
5
729
6
– p. 18/21
Controle de Parâmetros de Simulação
Cálculo do Número de Simulações
Qual o número de simulações devemos devemos efetuar
para garantir o erro dentro de limites aceitáveis, com um
nível de confiança desejável?
Controle da Média
Supondo que sejam satisfeitas as condições:
A média amostral é normalmente distribuída.
O tamanho da amostra é suficientemente grande, o
que é usual em processos de simulação.
– p. 19/21
Controle da Média
Se:
1 − α é o nível de confiança desejado.
zα/2 é o desvio normal entre a média amostral e a
verdadeira média em um nível de confiança de
1 − α.
θ é a diferença tolerável entre a média amostral e a
verdadeira média (erro padrão de estimativa) então
o mínimo de elementos da amostra (número de
simulações) é dado por:
n=
z
2
·
σ
α/2
θ
– p. 20/21
Exemplo
Suponha que a média amostral de uma população com
desvio padrão σ = 5, seja normalmente distribuída.
Qual será o tamanho da amostra que garanta um desvio
entre a média amostral e a verdadeira média de no
máximo ±1 , em um nível de confiança de 95%?
Solução: Como α = 1 − 0, 95 = 0, 05 temos da tabela
normal padrão que zα/2 = 1, 96. Então
n=
2
σ 2 zα/2
θ2
52 · 1, 962
=
= 96, 04 =⇒ 97 elementos.
2
1
– p. 21/21