Introdução
Vamos generalizar os conceitos de limite, continuidade e
diferenciabilidade, dados para funções reais de variável real, ao
caso de funções definidas em subconjuntos do espaço vectorial
R n e com valores em R m , com n e m números naturais.
Isto é
f : D ` Rn
v Rm
Ÿx 1 , ..., x n v fŸx 1 , ..., x n Notação: as características vectoriais da função e/ou do seu
argumento são normalmente sugeridas escrevendo em letra
carregada (“bold”) esses símbolos.
Exemplos:
S
S
fŸx v caso os argumentos e as imagens sejam vectores;
fŸx v caso os argumentos sejam escalares e as imagens
sejam vectores;
S
fŸx v caso os argumentos sejam vectores e as imagens sejam
escalares.
Muitos autores utilizam a notação fŸx ou f Ÿx .
Se nenhuma notação em especial for utilizada é o contexto que
permite averiguar das características vectoriais da função e/ou
do seu argumento.
Campos Escalares e Vectoriais
Definição: Chama-se campo escalar a uma função
f : D ` Rn v R
x
v fŸx .
Exemplos: a distribuição espacial de temperaturas numa sala ou
a distribuição das pressões na atmosfera.
Definição: Chama-se campo vectorial a uma função
f : D ` Rn v Rm
x
v f Ÿx .
(Se m 1, a função é um campo escalar).
Exemplos: o campo de velocidade de escoamento de um flúido,
ou o seu campo de aceleração.
Sendo f : D ` R n v R m um campo vectorial, chamamos
componentes escalares associadas a f aos campos escalares f 1 ,
T, f m tais que
fŸx Ÿf 1 Ÿx , C, f m Ÿx .
Para cada 1 J i J m,
fi : D ` Rn v R
x
v a i -ésima componente da imagem fŸx Deste modo, grande parte do estudo de campos vectoriais vai
reduzir-se ao estudo das suas componentes escalares.
Exemplos importantes:
S
identidade em R n :
id R n : R n
v Rn
Ÿx 1 , ..., x n v Ÿx 1 , ..., x n que a cada vector de R n associa o mesmo vector.
S
projecção de ordem j em R n :
=j : Rn
v R
Ÿx 1 , ..., x j , T, x n v x j
que a cada vector de R n associa a sua componente de ordem j.
Nota: A identidade em R n tem por componentes escalares as
projecções em R n .
Noção de Domínio e de Contradomínio
Definição: Sendo f um campo vectorial ou escalar, chama-se
domínio de f ao conjunto D dos elementos de R n para os quais a
função está definida.
Em geral consideramos D o maior conjunto para o qual a função
pode ser definida.
Observação: Sendo f um campo vectorial de R n em R m , tem-se
que
D f D f1 ' D f2 ' C ' D fm .
Definição: Sendo f : D f ` R n v R m um campo vectorial ou
escalar, chama-se contradomínio de f ao conjunto dos
elementos de R m que são imagem por meio de f de algum
x D f , isto é, a
fŸD f y R m : y fŸx para algum x D f
fŸx : com x D f .
Composição de Funções
Consideremos duas funções
f : Df ` Rn v Rm e g : Dg ` Rp v Rn.
A função
h : Dh ` Rp v Rm
x
v hŸx fŸgŸx designa-se por composição da função g com a função f e
representa-se por f g [lê-se f após g].
A função f g está definida se a intersecção do contradomínio de
g com o domínio de f for não vazia, isto é, se
gŸD g ' D f F .
Neste caso
D fg x R p : x D g e gŸx D f .
Nota 1: se gŸD g ` D f então D fg D g .
Nota 2: sendo f um campo vectorial de R n em R m tem-se que
f j = j f.
Representação Gráfica de Funções
Considerando o sistema de eixos ortogonais XYZ, o gráfico de
uma função f : D ` R 2 v R, é o conjunto
Ÿx, y, z R 3 : z fŸx, y e Ÿx, y D f
.
Para campos escalares escalares definidas em R n , com n 2,
podemos definir matematicamente o gráfico, mas não o podemos
representar geometricamente.
A visualização de gráficos faz-se frequentemente pela sua
intersecção com certos planos simples de R 3 — geralmente
planos paralelos aos planos coordenados, isto é,
x C1, y C2 e z C3.
Conjuntos de Nível
Têm a vantagem de também poderem ser visualizados para
campos escalares definidos em R 3 .
Definição: Seja f : D ` R n v R um campo escalar e c um real.
Ao conjunto
LŸc x R n : x D e fŸx c .
chama-se conjunto de nível associado a c.
Em R 2 designa-se por curva de nível ou linha de nível;
em R 3 designa-se por superfície de nível.
Exemplos: superfícies isobáricas e isotérmicas.