Solução de Exercı́cio - Prof. Eduardo F. Costa
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Exercı́cio 1 (4.23 Meyer). Um ponto é escolhido ao acaso, sobre uma reta de comprimento L. Qual é a probabilidade de que o quociente do segmento mais curto para
o mais longo seja menor que 1/4?
Obs. Na solução abaixo, usamos o exercı́cio como motivação para deduzir a f.d.p. de
uma v.a. com distribuição uniforme.
Solução. Passo 1) Vamos estabelecer a função densidade de probabilidade, f (x).
Dos dados do enunciado, concluı́mos que a probabilidade de o ponto estar em um
intervalo de comprimento δ centrado em algum ponto x é igual a um certo valor, para
todo x ∈ [0, L] (e zero fora deste intervalo). Também podemos concluir que este valor
é proporcional ao tamanho do intervalo. Matematicamente, temos:
P(x − δ/2 ≤ X ≤ x + δ/2) = kδ,
∀x ∈ [0, L].
R x+δ/2
Agora, da definição de probabilidade, temos que x−δ/2 f (s)ds = P(x − δ/2 ≤ X ≤
x + δ/2) = kδ, ∀x ∈ [0, L]. Desta equação, deduzimos a forma de f :
(
k 0 ≤ x ≤ L,
f (x) =
0 caso contrário
sendo k uma constante a ser determinada. (Verifique que f de fato satisfaz a integral
acima!)
Falta encontrar o valor de k. Para isto, lembrando que uma f.d.p. deve satisfazer o
segundo axioma da definição de f.d.p., temos:
1=
Z ∞
−∞
f (s)ds =
Z L
kds = kL,
0
de onde vem que k = 1/L. Enfim,
(
1/L
f (x) =
0
0 ≤ x ≤ L,
caso contrário
(1)
Quando uma v.a. X tem a f.d.p. acima, dizemos que ela tem distribuição uniforme.
Passo 2) Vamos definir constantes k1 , k2 tais que:
1
k1
= ⇒ k1 = L/5
L − k1 4
L − k2 1
= ⇒ k2 = 4L/5.
k2
4
Note que se X ≤ k1 , temos
X
k1
≤
= L/4,
L−X
L − k1
1
(2)
de forma que X no intervalo [0, k1 ] = [0, L/5] atende a condição do enunciado (de
que a razão entre os segmentos é menor que 1/4). Analogamente, para X ≥ 4L/5 a
condição do enunciado também é satisfeita, e temos:
P(‘a razão dos segmentos é menor que 1/4’)
= P(0 ≤ X ≤ L/5 ∪ 4L/5 ≤ X ≤ L)
= P(0 ≤ X ≤ L/5) + P(4L/5 ≤ X ≤ L)
Enfim, da definição de probabilidade em termos da f.d.p., e de (1), encontramos
P(‘a razão dos segmentos é menor que 1/4’) =
Z L/5
0
= 2/5.
2
(1/L)ds +
Z L
4L/5
(1/L)ds