Universidade Estadual do Centro-Oeste
Campus Universitário Centro Politécnico - CEDETEG
Setor de Ciências Exatas e de Tecnologia
Departamento de Fı́sica
Curso:
Licenciatura em Fı́sica
Nome:
4o Ano
Série:
GABARITO
Data: 02/09/2011
1) [0,5 pt] Prove a igualdade:
~
∇
~r − ~r 0
1
=
−
3
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 | 2
Solução:
Se ~r = x~i + y~j + z~k e ~r 0 = x0~i + y 0~j + z 0~k , logo:
~r − ~r 0 = (x − x0 )~i + (y − y 0 )~j + (z − z 0 )~k.
(1)
Lembrando da definição de modulo de um vetor, podemos escrever:
|~r − ~r 0 | =
q
ou ainda:
~
∇
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
"
1
1
~ p
=∇
0
0
2
|~r − ~r |
(x − x ) + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
1
∂
∂ ∂
~
∇
= ~i
+ ~j ~k
|~r − ~r 0 |
∂x
∂y ∂z
~
∇
"
(2)
#
1
p
0
2
(x − x ) + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
#
1
−2(x − x0 )
−2(y − y 0 )
~j
= ~i
+
+
0
|~r − ~r |
2 [(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ]3/2
2 [(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ]3/2
+~k
−2(z − z 0 )
2 [(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2 ]3/2
Usando a Eq. (2), a igualdade acima se torna:
~
∇
0
0
0
1
~i (x − x ) + ~j (y − y ) + ~k (z − z )
=
−
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |3/2
|~r − ~r 0 |3/2
|~r − ~r 0 |3/2
~
∇
h
i
1
1
~i(x − x0 ) + ~j(y − y 0 ) + ~k(z − z 0 )
=
−
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |3/2
E por fim, substituindo a Eq. (1) na igualdade acima, provamos a igualdade:
~
∇
~r − ~r 0
1
=
−
3
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 | 2
2) [0,5 pt] Mostre que:
~ · ∇
~ ×A
~ = 0.
∇
Solução:
Considere o potencial vetor sendo um vetor qualquer definido da seguinte maneira:
~ = Ax~i + Ay~j + Az~k
A
~
~
∇×A=
~i
~j
∂
∂x
∂
∂y
Ax Ay
~k ∂
∂z
Az Resolvendo o determinante, temos:
~ ×A
~ = ~i ∂Az − ∂Ay
∇
∂y
∂z
+ ~j
∂Ax ∂Az
−
∂z
∂x
∂Ay
∂Ax
+ ~k
−
∂x
∂y
~ × A,
~ temos:
Realizando o divergente de ∇
~ · ∇
~ ×A
~ = ∂
∇
∂x
∂Az
∂Ay
−
∂y
∂z
+
∂
∂y
∂Ax ∂Az
−
∂z
∂x
+
∂
∂z
∂Ay
∂Ax
−
∂x
∂y
2
2
2
2
2
2
~ · ∇
~ ×A
~ = ∂ Az − ∂ Ay + ∂ Ax − ∂ Az + ∂ Ay − ∂ Ax
∇
∂x∂y ∂x∂z
∂y∂z
∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y
Logo,
~ · ∇
~ ×A
~ = 0.
∇
2