04/05/2015
1a Prova de GAAL-COMPUTAÇÃO, LICENCIATURA
Nome/RGM:
1. (2 ptos.) Escreva a matriz A = [aij ] do tipo 2x3 sabendo que:
aij = 2i − 3j se i ̸= j e aij = 3i − 2j se i = j.
Escreva a matriz B = [bij ] do tipo 3x2 sabendo que:
bij = 2i − 3j se i = j e bij = 3i − 2j se i ̸= j.
Calcule A · B.
Resposta:


[
]
[
]
−1 −1
−66 −28
1 −4 −7


A=
e B =  4 −2  . Portanto, A · B =
−28 −30
1 2 −5
7
5
2. (2 ptos.) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Sabendo que o
traço vale 9 e o determinante 15, calcule os elementos x e y da matriz:


3

z .
y
1 2

 0 x
0 0
Resposta: Por hipótese sabemos que: i) 1 + x + y = 9 e ii) xy = 15. Substituindo a equação i) na ii), obtemos
x(9 − x − 1) = 15 ⇔ x2 − 8x + 15 = 0. E portanto, x = 3 ou x = 5. Substiuindo x = 3 em i) temos que y = 5. Se
x = 5, temos que y = 3.
3. (1 pto.) Use o método da substituição para resolver o sistema abaixo.

x1 + 2x2 + 2x3 + x4




3x2 + x3 − 2x4

−x3 + 2x4



4x4
= 5
= 1
= −1
= 4
Resposta: Devido a sua forma triangular, o sistema é fácil de resolver. Da quarta equação, temos que 4x4 = 4 e
assim, x4 = 1. Usando esse valor na terceira equação, obtemos −x3 + 2 · 1 = −1 ou x3 = 1. Usando x3 = 1 e x4 = 1
na segunda equação, temos que x2 = 23 . Finalmente, se substituirmos na primeira equção os valores já encontrados,
temos que x1 = 23 . Logo, a solução do sistema é (x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( 32 , 23 , 1, 1).
4. (1.0 pto.) Calcule o valor de k para que o sistema abaixo seja:
i) Compatı́vel determinado;
ii) Compatı́vel indeterminado.
{
2x + 6y
4x + ky
= 0
= 0
Resposta: Multiplicando a primeira linha por −2 e somando com a segunda, temos:
{
2x + 6y
4x + ky
= 0
∼
= 0
{
2x + 6y
(k − 12)y
= 0
= 0
Assim, se k ̸= 12 o sistema é compatı́vel e determinado e a única solução é a trivial, ou seja (x, y) = (0, 0). Se
k = 12 o sistema é compatı́vel indeterminado e as infinitas soluções são da forma x = −3y. Portanto, para qualquer
α real, o par (−3α, α) é solução do sistema.
5. (2 ptos.) Resolva o seguinte sistema de Cramer:


 2x + y + 7z
x + 3y + 2z


5x + 3y + 4z
=
=
=
16
−5
11
Resposta: Escrevendo o sistema na forma matricial AX = B e obtendo A−1 , temos que a solução X = A−1 B.
Sendo assim, precisamos considerar a matriz ampliada [AI] e, por meio das operações elementares, transformá-la na
matriz ampliada na forma [IA−1 ].

2 1 7 1 0

 1 3 2 0 1
5 3 4 0 0
 

x
 

 y =
z


6
0
1 0 0 − 66
− 17
66


6
27
0  ∼ . . . ∼  0 1 0 − 66
66
1
12
1
0 0 1
66
66
 
 
6
19
− 66
3
− 17
16
66
66
 
6
3  
27
=
·
−4
− 66
−5
−
 
66
66  
1
12
5
2
−
11
66
66
66
19
66
3
− 66
5
− 66


.



e a solução do sistema é (3, −4, 2).
6. (2 ptos.) Dada a matriz A, calcule:
i) det(A);
Resposta: Desenvolvendo
o determinante
de
A
1 0 1 1
4 5 |A| = 1 · (−1) · 1 1 −1 + 1 · (−1) · 1
0 2 3 0
−1
ii) A ;
Resposta:



[AI] = 

0
1
1
0
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
−1
3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

pela primeira
linha, temos:
0 0 1 1 = 7 + 2 = 9.
2 0 




 ∼ ... ∼ 


1
0
0
0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1

2/9 −1/9
1/3
1/3 

 = [IA−1 ].
2/9 −1/9 
−2/9 1/9
−2/9 7/9
−1/3 −1/3
7/9 −2/9
2/9
2/9
iii) det(A−1 );
Resposta: Visto que A−1 · A = I então |A−1 · A| = |A−1 ||A| = |I| = 1, então |A−1 | = 1/|A|. Assim, |A−1 | = 1/9.
iv) A · A−1 e A−1 · A.
Resposta:

 
−2/9 7/9
2/9 −1/9

  −1/3 −1/3 1/3
1/3

 

·

  7/9 −2/9 2/9 −1/9
2/9
2/9 −2/9 1/9

 
−2/9 7/9
2/9 −1/9
0 0 1 1
 −1/3 −1/3 1/3
  1 0 0 1
1/3

 

·
 7/9 −2/9 2/9 −1/9   1 1 1 −1
2/9
2/9 −2/9 1/9
0 2 0 3


0 0 1 1
 1 0 0 1 


A=

 1 1 1 −1 
0 2 0 3
0
1
1
0
0
0
1
2
1
0
1
0
1
1
−1
3
2


 
 
=
 


 
 
=
 
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1



.




.
