MA502 – Análise I
Responsável: Olivaine S. de Queiroz
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Lista preliminar de exercı́cios
O intuito desta primeira lista é simplesmente fazer com que os estudantes recordem de
maneira independente alguns conceitos básicos sobre funções e conjuntos que serão úteis no
decorrer do curso. Além disso, a resolução destes exercı́cios servirá como um aquecimento para
a disciplina.
Não vamos nos preocupar em relembrar os conceitos básicos da Teoria ingênua dos conjuntos,
apesar de serem vitais para o curso. Porém, iniciamos com alguns comentários sobre um dos
conceitos mais importantes de toda a Matemática que é o de função.
Uma definição conhecida de todos deve ser a seguinte: uma função f de um conjunto A
em um conjunto B é uma regra de correspondência que associa a cada elemento x ∈ A um único
elemento f (x) ∈ B.
Apesar da definição acima ser bastante sugestiva e, de certa forma, paupável, ela necessita
ainda de algum esclarecimento. De fato, existe uma certa dificuldade para se interpretar a frase
“regra de correspondência”. Em princı́pio, o leitor pode pensar que não há nada de errado
com esta definição, mas não é difı́cil de se convencer que uma definição dada inteiramente em
termos da linguagem de conjuntos seria com certeza mais clara em termos matemáticos.
Definição 1. Sejam A e B dois conjuntos e considere o produto cartesiano
A × B := {(a, b) | a ∈ A; b ∈ B},
que é o conjunto dos pares ordenados (a, b), com a ∈ A e b ∈ B. Uma função de A em B é um
subconjunto f de A × B tal que, para cada a ∈ A, existe um único b ∈ B com (a, b) ∈ f .
O conjunto A é chamado de domı́nio de f e denotado por D( f ). O conjunto de todos os
elementos b ∈ B para os quais existe um a ∈ A com (a, b) ∈ f é chamado de imagem de f e
denotado por Im( f ). Note que, apesar de A = D( f ), temos somente que Im( f ) ⊂ B.
Observe que uma interpretação essencial da definição de uma função f é que se (a, b) ∈ f
e (a, b0 ) ∈ f , então b = b0 . Esta é a conhecida condição da reta vertical, que possui um significado
geométrico bastante elucidativo.
A notação
f: A→B
é usada para indicar que f é uma função de A em B. Se (a, b) ∈ f , é de costume escrever
b = f (a)
ou a 7→ b.
Você pode estar pensando que trocamos uma definição intuitiva por uma bem mais abstrata
com a qual você poderá facilmente se confundir. Entretanto, não tem nada que lhe impeça de
pensar em uma função como uma regra, desde que você se lembre da abstração envolvida. Na
verdade, nem esta definição mais intuitiva nem a dada em termos da lingugem de conjuntos
são as maneiras mais paupáveis de se pensar em uma função. Sem dúvida a melhor maneira é
fazer um esboço do gráfico da função. Mas isto requer, como você já verificou no seu curso de
Cálculo, o conhecimento de várias ferramentas interessantes que procuraremos trabalhar com
mais detalhes no curso de Análise I, no caso particular em que A, B ⊂ R.
Agora você pode recordar todos os conceitos de operações com funções e composição para
trabalhar os exercı́cios abaixo.
1
2
Exercı́cio 2. Seja f (x) = x2 para x ∈ R e considere os conjuntos
E := {x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 0},
F := {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1}.
Mostre que E ∩ F = {0} e que f (E ∩ F) = {0}, enquanto f (E) = f (F) = {y ∈ R | 0 ≤ y ≤ 1}. Assim,
f (E ∩ F) é um subconjunto próprio de f (E) ∩ f (F). O que acontece se 0 é deletado dos conjuntos E e F?
Exercı́cio 3. Sejam f , E e F como no Exercı́cio 2. Encontre os conjuntos E \ F e f (E) \ f (F) e mostre que
não é verdade que f (E \ F) ⊂ f (E) \ f (F).
Exercı́cio 4. Mostre que se f : A → B e G, H são subconjuntos de B, então f −1 (G∪H) = f −1 (G)∪ f −1 (H)
e f −1 (G ∩ H) = f −1 (G) ∩ f −1 (H). Qual a relação entre f (E ∩ F) e f (E) ∩ f (F) quando E, F ⊂ A?
Exercı́cio 5. Dada f : A → B, prove que f (X \Y) ⊃ f (X)\ f (Y), para quaisquer subconjuntos X, Y ⊂ A.
Mostre ainda que, se f for injetiva, então f (X \ Y) = f (X) \ f (Y) para quaisquer X, Y ⊂ A.
Exercı́cio 6. Mostre que f : A → B é injeteiva se, e somente se, f (A \ X) = f (A) \ f (X) para todo X ⊂ A.
Seja Λ um conjunto cujos elementos chamaremos de ı́ndices e representaremos por λ. Dado
um conjunto X, uma famı́lia de elementos de X com ı́ndices em L é uma função x : L → X. Neste
contexto, o valor de x em λ ∈ Λ é denotado por xλ , ao invés de x(λ).
Se a cada ı́ndice λ ∈ Λ associamos um conjunto Aλ , isto é, se X é um conjunto de conjuntos,
então a famı́lia assim obtida é chamada de famı́lia de conjuntos, e denotada por (Aλ )λ∈Λ .
Exercı́cio 7. Dada uma famı́lia de conjuntos (Aλ )λ∈Λ , seja Y um conjunto com as seguintes propriedades:
a) para todo λ ∈ Λ, tem-se que Y ⊃ Aλ ;
b) se Z ⊃ Aλ para todo λ ∈ Λ, então Z ⊃ Y.
S
Nesta condições, prove que Y = λ∈Λ Aλ .
Exercı́cio 8. Enuncie e demontre um resultado análogo ao Exercı́cio 7 caracterizando
T
λ∈Λ Aλ