Gabarito da segunda lista complementar
Pode haver erros de digitação...
2
1- F = m ddt2r = −mRω 2 [cos(ωt)x̂ + sin(ωt)ŷ]
2- Feita na monitoria. Checar com alguém que tem a resolução.
3- v(t) = v0 eαt .
4- v(x) = v0 eαx .
5- a) F (x) = nxn−1 , b) F (x) = α cos(αx), c) F (x) = 2αx cos(αx2 ).
6- a) V (x) = xn+1 /(n + 1) + C, n 6= −1, b) V (x) = − sin(αx)/α + C, c) V (x) = eαx /α + C. C é uma constante que
depende de onde está o ponto em que V = 0. .
7- ∂V /∂x = 2kx, ∂V /∂y = 2ky.
8- a) ∂V /∂x = y, ∂V /∂y = x. b) ∂V /∂x = y cos(xy), ∂V /∂y = x cos(xy). c) ∂V /∂x = yexy , ∂V /∂y = xexy . d)
∂V /∂x = 2xy, ∂V /∂y = x2 .
∂V
9- Apenas siga a prescrição: F = −x̂ ∂V
∂x − ŷ ∂y .
10- Para a força com as duas componentes com sinal positivo, V = −xy + C, em que C é uma constante. Para a
força com o sinal trocado, note que o potencial mais geral capaz de levar a Fx = y seria da forma V = −xy + G(y),
em que G é uma função de y apenas. Assim, quando derivamos essa expressão parcialmente com relação a x, o termo
envolvendo G desaparece (não envolve y) e o termo −xy leva a Fx = y. Entretanto, quando derivamos parcialmente
com relação a y para obter Fy , obtemos −∂V /∂y = x − dG/dy. Isso de modo algum pode ser igual a −x, que é o Fy ,
já que dG/dy, assim como G, é uma função apenas de y.
d
11- dK
dt = dt
mdv/dt = F .
(1
2 mv
2
)
= mv dv
dt . Isso é pa se usamos que mv = p e a = dv/dt. Isso também é F v se usamos que
12- dE/dt = mdv/dtv + vdV /dx. Como o movimento obedece às leis de Newton, mdv/dt = F . Mas F = −dV /dx,
de modo que o que temos é: dE/dt = F v − F v = 0.
13- dV /dx = kx no primeiro caso e dV /dx = k cos(kx) no segundo caso. Os pontos de equilı́brio são aqueles em
que a força se anula. Isso ocorre para x = 0 no primeiro caso e para x = ±π/2, ±3π/2, ±5π/2, ..., no segundo caso.
14- Forma similar a uma parábola com a boca voltada para cima, na forma de um U . Não precisa necessariamente
ser uma parábola, mas ter um aspecto similar.
15- Estava com preguiça de digitar. Favor checar comigo pessoalmente...
16- Forças que agem em um elemento de comprimento ∆x: T (x + ∆x), para cima; T (x), para baixo; ∆mg, para
baixo, em que ∆m é a massa do segmento. Adote para cima como o sentido positivo. Com o sistema em equilı́brio,
segue que
T (x + ∆x) − T (x) − ∆mg = 0.
(1)
(x)
Mas ∆m = µ∆x, logo T (x + ∆x) − T (x) = µ∆xg. Divida tudo por ∆x para obter T (x+∆x)−T
= µg. No limite
∆x
de ∆x → 0, isso se torna dT /dx = µg, logo T = µgx + C, em que C é uma constante. A constante C pode ser
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determinada impondo que, na parte mais baixa do cabo, não há tensão, pois essa parte não sustenta peso algum.
Com T (0) = 0, segue que C = 0. Outro modo é impondo que, no ponto mais alto, a tensão tem que sustentar todo
o peso. Então T (L) = µgL, que é o peso da barra. Comparando com a expressão que obtivemos, segue, novamente,
que C = 0.
17- Ver a resposta do próprio Moysés! Se ele estiver certo (e se houver resposta)...
18- a = g + b/m > g, na subida. a = g − b/m < g, na descida.
19- Equação de movimento: mdv/dt = mg − bv. Se a velocidade não muda no tempo, dv/dt = 0, logo v = mg/b.
Essa velocidade é denominada velocidade terminal. É a velocidade a que o corpo tenderá durante a queda. A solução
exata do problema nos mostraria que, se a velocidade do corpo for menor que a velocidade terminal, ele seria acelerado
cada vez mais lentamente, de modo a estabilizar em v = mg/b. Se o corpo estivesse com velocidade maior, contudo,
ele seria desacelerado até essa mesma velocidade mg/b. Assim, não é preciso usar armaduras de ”adamântio” ao
andar na chuva... Apenas a tı́tulo de curiosidade, a solução exata desse problema, supondo que a queda se inicie do
repouso, é
v(t) =
b
mg
(1 − e− m t ).
b
(2)
Para verificar isto, basta calcular dv/dt e, então, substituir dv/dt e v explicitamente na equação do movimento.
Note que já estamos quase aptos a obter essa solução sem a necessidade de contratar uma cartomante: se g fosse
0, esse problema seria muito parecido com o exercı́cio 3 (contudo, não conclua que v(t) = 0 sempre quando g = 0,
pois a solução apresentada não é geral, mas admite queda a partir do repouso, quando a velocidade é 0; se a força
é proporcional à velocidade, então a força é 0, e a partı́cula continuará parada; para esse problema fazer sentido
com g = 0, devemos considerar v(0) = v0 , como no exercı́cio 3). Como g não é 0, precisaremos de mais algumas
ferramentas, a serem discutidas, provavelmente, no inı́cio do curso de Fı́sica II. Observe também que, dado dv/dt,
você pode calcular a força em função do tempo a partir de F (t) = ma(t). Compare com a força do exercı́cio 2, que é
um dado do problema.