Exercı́cio 1. Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0 e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V0
e em x = L igual a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas
considerando duas situações: Densidade de carga entre as placas igual à zero;
Densidade de carga entre as placas é contante igual à ρ.
1
Figura 1: Esquema
Resolução. No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equação de Laplace:
∇2 V =
d2 V
=0
dx2
Logo:
V = ax + b
Assim, pelas condições do problema, como para x = 0, V = V0 , então:
b=V
Além disso, como para x = L, V = 0, então
a=−
V0
L
Logo:
V0
+V
L
Podemos calcular também o campo, assim:
V (x) = −
~ =− d
E
dx
V0
V0
− x + V0 î = î
L
L
No segundo caso temos ρ = ρ0 , assim, pela equação de Poisson:
2
∇2 V = −
d2 V
ρ0
ρ0
→
=
−
ε0
dx2
ε0
Logo:
V =−
ρ0 x2
+ ax + b
2ε0
Aplicando as condições de contorno:
(
V (0) = V0 → b = V0
V (L) = 0 → a = − VL0 +
ρ0 L
2ε0
Logo:
V0 ρ0 L
ρ 0 x2
+ − +
V (x) = −
x + V0
2ε0
L
2ε0
Também podemos calcular o potencial, assim:
~ =− d
E
dx
ρ 0 x2
V0 ρ0 L
ρ0
V0 ρ0 L
î
−
+ − +
x + V0 î =
x+
−
2ε0
L
2ε0
2ε0
L
2ε0
3