LISTA 4 - EDO-I
Profa. Márcia Federson
1. Dar a ordem das seguintes equações diferenciais:
0
000
00
0 2
a) y +(xy−cos x) = 0
b) y +xy +(2y ) +xy = 0
3 2 2 4
dw
dw
d)
−
+ vw = 0
e) y 0 = x2 .
3
dv
dv 2
d2 v dv
c) 2 +x
dx dx
dv
dx
2
+v = 0
2. Resolva cada um dos P.V.I. abaixo:
(
ty 0 − 2y − ln t = 0
a)
y(1) = 0
(
(1 + t2 )y 0 − ty = 1
b)
y(0) = 5
3. Achar uma curva que passa pelo ponto (0, 2) de modo que o coeficiente angular da tangente
em qualquer um de seus pontos seja igual ao triplo da ordenada do mesmo ponto.
4. Em cada caso verifique se a função dada é uma solução da e.d.o. correspondente e
determine c de modo que a solução particular resultante satisfaça à condição dada.
a) y 0 + y = 1; y(x) = 1 + c e−x , y = 3 quando x = 0.
b) t y 0 = 3 y; y(t) = c t3 , y = 1 quando t = −2.
5. Para cada uma das equações abaixo, ache a solução geral:
a) y 0 + y = cos x + senx
c) t y 0 − y = (t − 1)et
dz
2
+ 2 t z = t e−t
e)
dt
h) 2 t y y 0 + y 2 = t
b) y 0 cos x + y senx = cos x + senx
d) t y 0 − 2 y = t3
f) y 0 + et y = 3 et
6. A taxa de variação da pressão atmosférica P com altura h é proporcional à pressão.
Supondo que a pressão a 6000 metros seja metade de seu valor P0 ao nı́vel do mar, achar
a fórmula em qualquer altura.
7. Um tanque de 200 litros de capacidade, contém inicialmente 40 litros de água pura. A
partir do instante t = 0, adiciona-se ao tanque uma solução de salmoura com 250 gramas
de sal por litro, à razão de 12 `/min. A mistura, suposta uniforme, escoa do tanque à
razão de 8 `/min. Determinar:
a) o tempo necessário para que ocorra o transbordamento;
b) a concentração de sal na mistura presente no tanque no instante do transbordamento.
1
8. Verifique que y = ϕ(x) = [1 + 23 ln(1 + x3 )] 2 é uma solução do P.V.I.:

x2
 y0 =
,
y(1 + x3 )

y(0) = 1.
Para qual intervalo esta solução é válida?
9. Determine se as equações abaixo são exatas. Se for exata, encontre a solução
1) (2x + 3) + (2y + 2)y 0 = 0
2) (2x + 4y) + (2x − 2y)y 0 = 0
2
0
3) (9x + y − 1) − (4y − x)y = 0
4) (2xy 2 + 2y) + (2x2 + 2x)y 0 = 0
5) (ex seny + 3y)dx − (3x − ex seny)dy = 0
xdx
ydy
6)
3 +
3 = 0
(x2 + y 2 ) 2
(x2 + y 2 ) 2
10. Encontre os valores de b para os quais as seguintes equações são exatas, e ache a solução
para este valor de b.
1) (xy 2 + bx2 y)dx + (x + y)x2 dy = 0
2) (ye2xy + x)dx + bxe2xy dy = 0.
11. Mostre que a equação y 0 = y−4t
não é separável, mas se fizermos a mudança de variável
t−y
y
v = t , então a equação se torna separável em t e v. Ache a solução da equação dada
usanso esta técnica.
12. Resolva os seguintes problemas
dy
x2
dy
1)
=
2)
+ y 2 senx = 0
dx
y
dx
dy
dy
3)
= 1 + x + y 2 + xy 2
4)
= (cos2 x)(cos2 y)
dx
dx
1
13. Resolva a equação y 2 (1 − x2 ) 2 dy = sen−1 xdx no intervalo −1 < x < 1.