Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
Departamento de Métodos Matemáticos
Gabarito da 1a Prova de Geometria I - Matemática - Monica
04/05/2015
1a Questão: (3 pontos) (solução na folha 1) Dê uma prova ou um contra-exemplo:
1. É possı́vel dar um exemplo de um quadrilátero não convexo com duas diagonais que
não se intersectam.
Solução
É possı́vel. Seja ABCD o quadrilátero da figura. O quadrilátero não é convexo
pois a reta r que contém os pontos B e C, determina dois semi-planos, um contendo
o vértice A e outro contendo o vértice D, isto é, ABCD não está inteiramente contido
em um só semi-plano determinado por r, reta contendo um lado do quadrilátero.
Além disso, a diagonal AC está contida no interior do quadrilátero e a diagonal BD
está contida no exterior do quadrilátero e não se intersectam.
2. Na geometria do motorista de taxi, a distância entre dois pontos (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) do
plano cartesiano é calculada por |x1 − x2 | + |y1 − y2 |. Seja C1 o cı́rculo centrado no
ponto A1 e raio de comprimento igual a 1. Seja A2 ∈ C1 . Seja C2 o cı́rculo centrado
no ponto A2 e raio de comprimento igual a 2. Então C1 e C2 se intersectam em um
único ponto.
Solução Falso. Contra-exemplo:
Seja C1 o cı́rculo centrado no ponto A1 = (0, 0) e raio de comprimento igual a 1, que
na geometria do motorista de taxi tem equação |x| + |y| = 1.
Seja C2 o cı́rculo centrado no ponto A2 = (1, 0) e raio de comprimento igual a 2, que
na geometria do motorista de taxi tem equação |x − 1| + |y| = 2.
Repare na figura que a interseção dos cı́rculos é igual aos segmentos y = x + 1, −1 ≤
x ≤ 0 e y = −x − 1, −1 ≤ x ≤ 0, isto é, C1 e C2 se intersectam em mais de um ponto.
2a Questão: (4 pontos) (solução na folha 2)
1. Seja OAB um triângulo isósceles com base AB. Seja M o ponto médio de AB.
Mostre que a mediana OM é perpendicular a AB.
Solução
Temos que:
• AM = BM (M é ponto médio de AB)
• OM = OM (lado comum)
• AO = BO ( o triângulo OAB é isósceles)
cO = B M
cO. Mas,
Logo, por congruência LLL, M AO = M BO. Em particular, AM
◦
c
c
c
c
AM O + B M O = 180 , pois A, M e B são colineares. Logo, AM O = B M O = 90◦ e
a mediana OM é perpendicular a AB.
2. Sejam A e B pontos de um cı́rculo e M o ponto médio de AB. Sejam C e D pontos do segmento AB equidistantes do ponto médio. Mostre que C e D também são
equidistantes do centro do cı́rculo.
Solução
Seja O o centro do cı́rculo.
• Se M = O, como C e D são pontos equidistantes do ponto médio M = O então
C e D também são equidistantes do centro do cı́rculo.
• Se M 6= O, ligamos os pontos A, C, D e B ao centro O. Considere os triângulos
OAB e OCD. Como A e B são pontos do cı́rculo, OA = OB e OAB é isósceles.
Temos:
– M C = M D (C e D são pontos equidistantes do ponto médio M )
cO = DM
cO = 90◦ (pelo item anterior, OM é perpendicular a AB.
– CM
2
– M O = M O (lado comum)
Logo, por congruência LAL, M CO = M DO. Em particular, CO = DO, isto é,
C e D também são equidistantes do centro do cı́rculo.
3a Questão: (3 pontos) (solução na folha 3)
1. Dê a definição de semi-plano determinado por uma reta n.
Solução Ver no livro.
2. Complete a seguinte sentença: ’Dizemos que uma semi-reta divide um semi-plano
quando ...’
Solução Ver no livro.
3. Sejam m e n duas retas. Mostre que se m está contida em um dos semi-planos
determinados por n, então, ou m = n ou m e n não se intersectam. (use axiomas de
medição de ângulos)
Solução
Supomos que m e n se intersectam no ponto P . Sejam E, D ∈ m tal que E − P − D.
Sejam A, B ∈ n tal que A − P − B.
Como m ⊂ PnE , as semi-retas SP E e SP D dividem PnE . Logo, pelo axioma de medição
de ângulos e pelo fato de A, P e B serem colineares, temos
APbE + E PbD + B PbD = 180◦ .
Mas, E, P e D também são colineares e
E PbD = 180◦ .
Logo APbE = B PbD = 0◦ e m = n.
Portanto m = n ou m e n não se intersectam.
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