Ensino Superior
Lógica Matemática e Computacional
1 – Introdução à Lógica
Amintas Paiva Afonso
1.1 Conceito de Lógica
Para Aristóteles, a Lógica não era uma ciência
teórica, prática ou produtiva, mas, sim, um
instrumento para todas as ciências. A Lógica
Matemática lida com a formalização e a análise
de
tipos
de
Matemática.
argumentação
utilizados
na
Conceito de Lógica
Parte do problema com a formalização da
argumentação matemática é a necessidade de
se
especificar
linguagem
de
maneira
matemática
formal.
precisa
uma
Linguagens
naturais (Português ou Inglês) não servem para
este propósito: elas são muito complexas e
estão em constante modificação, além de serem
ambíguas.
Conceito de Lógica
Por outro lado, linguagens de programação, que
são rigidamente definidas, são muito mais
simples e menos flexíveis que as linguagens
naturais. Diante disso, a Lógica tenta justamente
combinar os benefícios das duas anteriores.
Exercícios de lógica
1. Lógica matemática:

Qual a lógica da seqüência dos números e quem é x?
2,4,4, 6,5, 4,4,4, 4,x
10 11 12 13  x = 9
 2,10,12,16,17,18,19, x ?
x = 200
 2,4,4,6,5,4,4,4,4,
x?
 1,11,21,1211,111221,
x?
x = 312211
2. Charadas: lógica filosófica.

Um homem olhava uma foto, e alguém lhe perguntou:
“De quem é essa foto? Ao que ele respondeu: “Não
tenho irmãos nem irmãs, mas o filho deste homem é
filho de meu pai. De quem é esta foto?
O homem olhava a foto de seu pai.
Testes de Lógica
1. Você está numa cela onde existem duas portas, cada uma
vigiada por um guarda. Existe uma porta que dá para a
liberdade, e outra para a morte. Você está livre para escolher
a porta que quiser e por ela sair. Poderá fazer apenas uma
pergunta a um dos dois guardas que vigiam as portas. Um
dos guardas sempre fala a verdade, e o outro sempre mente
e você não sabe quem é o mentiroso e quem fala a verdade.
Que pergunta você faria?
Pergunte a qualquer um deles: Qual a porta que o seu
companheiro apontaria como sendo a porta da liberdade?
Explicação: O mentiroso apontaria a porta da morte como sendo a porta que o
seu companheiro (o sincero) diria que é a porta da liberdade. E o sincero,
sabendo que seu companheiro sempre mente, diria que ele apontaria a porta da
morte como sendo a porta da liberdade.
Conclusão: Os dois apontariam a porta da morte como sendo a porta que o seu
companheiro diria ser a porta da liberdade. Portanto, é só seguir pela outra porta.
Testes de Lógica
2. Você é prisioneiro de uma tribo indígena que conhece todos
os segredos do Universo e portanto sabem de tudo. Você
está para receber sua sentença de morte. O cacique o
desafia: "Faça uma afirmação qualquer. Se o que você falar
for mentira você morrerá na fogueira, se falar uma verdade
você será afogado. Se não pudermos definir sua afirmação
como verdade ou mentira, nós te libertaremos. O que você
diria?
Afirme que você morrerá na fogueira.
Explicação: Se você realmente morrer na fogueira, isto é uma verdade,
então você deveria morrer afogado, mas se você for afogado a afirmação
seria uma mentira, e você teria que morrer na fogueira.
Conclusão: Mesmo que eles pudessem prever o futuro, cairiam neste
impasse e você seria libertado.
Testes de Lógica
3. Epiménides era um grego da cidade de Minos. Dizem que ele tem a fama
de mentir muito.
Certa vez, o mesmo citou esta passagem:
Era uma vez um bode que disse:
- Quando a mentira nunca é desvendada, quem está mentindo sou eu.
Em seguida o leão disse:
- Se o bode for um mentiroso, o que o dragão diz também é mentira.
Por fim o dragão disse:
- Quem for capaz de desvendar a minha mentira, então, ele estará dizendo
a verdade.
Qual deles está mentindo?
Este teste é mais conhecido como paradoxo de Epiménides!
Ao tentar responder ao enigma, encontram-se informações que se ligam
umas às outras e acabam não levando a resposta alguma. Esse enigma
pode ser denominado como Paradoxo do mentiroso.
Veja o exemplo de um paradoxo simples e interessante:
A afirmação abaixo é verdadeira.
A afirmação acima é falsa.
UFMG 2006

Raquel, Julia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo,
Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa.
Sabe-se que:
Essas pessoas formam quatro casais; e Carolina
não é esposa de Paulo.
Em um dado momento, observa-se que a mulher
de Fernando está dançando com o marido de
Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antonio,
Paulo e Rita estão sentados, conversando.
Quem é a esposa de Antônio ?
Lógica – Jota Quest

Exagero de vida
Exagero de amor
Exagero de ego
Exagero da falta
Falta de vida, de amor, de
valor.
Falta de graça e de grana
Falta dos irmãos.
A vida é dura é injusta
A vida é crua e assusta
A vida é jogo e é luta
A vida é fogo e é cruz
A vida passa
A vida é pouco.
A vida é sua

A vida é pouco a pouco...
Entre a vida e a morte
Onde esta a lógica?
Entre a guerra e a paz
O amor não tem lógica
Amor por tudo
Amor profundo
Um amor maior que o
mundo
Amor sem paz
Amor que dói demais
Amor de mãe e pai
Entre a vida e a morte
Onde está a lógica?
entre a guerra e a paz
O amor não tem lógica
A Lógica e o nosso contexto.

O que é Lógica? O que significa estudar Lógica?
Qual a sua definição?
“A Lógiga é a análise de métodos de raciocínio”. No estudo desses
métodos a Lógica está interessada principalmente na forma e não no
conteúdo dos argumentos. Exemplos de argumentos:


Todo homem é mortal. Sócrates é um homem. Portanto, é mortal.
Todo cão late. Totó é um cão. Portanto, Totó late.
Do ponto de vista da Lógica, esses argumentos têm a mesma estrutura
ou forma.

Todo X é Y. Z é X. Portanto Z é Y.
A Lógica é o estudo de tais estruturas. Alguns autores dizem que a Lógica
é essencialmente o estudo da natureza do raciocínio e as formas de
incrementar sua utilização.
Outras definições de Lógica.






Estudo do raciocínio;
Estudo do pensamento correto e verdadeiro;
Regras para demonstração científica verdadeira;
Regras para pensamentos não-científicos;
Regras sobre o modo de expor o conhecimento;
Regras para verificação da verdade ou falsidade de
um pensamento.
Tais definições são muito gerais e sintéticas. Não é fácil
definir de forma precisa o que é Lógica, um tema tão amplo.
Por que estudar Lógica?
Estamos na Era do Conhecimento, onde os principais produtos da mente
humana são as idéias. Após o surgimento de uma grande idéia, seus
fundamentos serão criticados e analisados logicamente.





Aumentar a capacidade de análise crítica dos argumentos mentais
utilizados na organização das idéias e dos processos criativos;
Tomar consciência dos elementos fundamentais à capacidade de
argumentar e expor suas idéias;
Tornar mais capaz na racionalização e organização de suas idéias;
Estudar como as pessoas devem raciocinar;
Em suma, para saber adequadamente e concretizar os sonhos, o
primeiro passo é tomar consciência da natureza do raciocínio, como
devemos raciocinar.
O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na
compreensão de conceitos básicos, na verificação formal de programas e
melhor os prepara para o entendimento do conteúdo de tópicos mais
avançados.
Introdução
Neste curso, o principal objetivo será a investigação da validade de
ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO
e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente
divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS.
ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, a
conclusão é também verdadeira.
Premissa: "Todo homem é mortal."
Premissa: "João é homem."
Conclusão: "João é mortal."
Esses argumentos serão objeto de estudo neste curso.
ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar
a verdade da conclusão.
Premissa: "É comum após a chuva ficar nublado."
Premissa: "Está chovendo."
Conclusão: "Ficará nublado."
Não trataremos do estudo desses argumentos neste curso.
Introdução
As premissas e a conclusão de um
argumento, formuladas em uma linguagem
estruturada, permitem que o argumento
possa ter uma análise lógica apropriada
para a verificação de sua validade. Tais
técnicas de análise serão tratadas no
decorrer deste curso.
Portanto …
Ao lógico só interessa a correção do processo, uma vez completado.
Sua interrogação é sempre esta: A conclusão a que chegou deriva das
premissas usadas ou pressupostas?
Se as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a
afirmação da verdade das premissas garante a afirmação de que a
conclusão também é verdadeira, então o raciocínio é correto. No caso
contrário é incorreto.
A distinção do raciocínio correto e o incorreto é o problema central
que incumbe à lógica tratar.
Os métodos e as técnicas do lógico foram desenvolvidos,
primordialmente, com a finalidade de elucidar essa distinção.
O lógico está interessado em todos os raciocínios, independentemente do
seu conteúdo, mas só a partir desse ponto de vista especial.
Uma Classificação da Lógica
Alguns autores dividem o estudo da Lógica em:
LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da probabilidade (não será
abordada neste roteiro).


LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida em:

LÓGICA CLÁSSICA - Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. É o que
chamamos hoje de CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1ª ORDEM com ou sem
igualdade e de alguns de seus subsistemas.
Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da IDENTIDADE, da
CONTRADIÇÃO e do TERCEIRO EXCLUÍDO os quais serão abordados mais
adiante.

LÓGICAS COMPLEMENTARES DA CLÁSSICA: Complementam de algum
modo a lógica clássica estendendo o seu domínio. Exemplos: lógicas modal,
deôntica, epistêmica , etc.

LÓGICAS NÃO-CLÁSSICAS: abolem algum ou alguns dos princípios da lógica
clássica. Exemplos: paracompletas e intuicionistas (o princípio do terceiro
excluído); paraconsistentes (o princípio da contradição); não-aléticas (o terceiro
excluído e o da contradição); não-reflexivas (o princípio da identidade);
probabilísticas, polivalentes, fuzzy-logic, etc...
Citação 1
É
razoável esperar que a relação entre
a computação e a lógica matemática
produza tantos frutos ... quanto a que
se instalou entre a Análise Matemática
e a Física no curso do século XIX
(John McCarthy).
Citação 2

As conexões entre a Lógica e a Informática
crescem e se aprofundam rapidamente. Ao lado
da demonstração automática, da programação em
lógica, da especificação e verificação de
programas, outros setores revelam uma fascinante
interação mútua com a Lógica, como a teoria de
tipos, a teoria do paralelismo, a inteligência
artificial, a teoria da complexidade, as bases de
dados, a semântica operacional e as técnicas de
compilação (José Meseguer).
Lógica e Computadores
A Lógica é extensivamente usada em áreas como Inteligência Artificial, e
Ciência da computação.
Nas décadas de 50 e 60, pesquisadores previram que quando o
conhecimento humano pudesse ser expresso usando lógica com notação
matemática, supunham que seria possível criar uma máquina com a
capacidade de pensar, ou seja, inteligência artificial. Isto se mostrou mais
difícil que o esperado em função da complexidade do raciocínio humano. A
programação lógica é uma tentativa de fazer computadores usarem
raciocínio lógico e a linguagem de programação Prolog é comumente
utilizada para isto.
Na lógica simbólica e lógica matemática, demonstrações feitas por
humanos podem ser auxiliadas por computador. Usando demonstração
automática de teoremas os computadores podem achar e checar
demonstrações, assim como trabalhar com demonstrações muito extensas.
Na ciência da computação, a álgebra booleana é a base do projeto de
hardware.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lógica
1.2 Aspectos Históricos
da Lógica
Períodos da História da Lógica
• PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.)
A história da Lógica tem início com o filósofo grego ARISTÓTELES (384 –
322 a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na Macedônia. Aristóteles criou a
ciência da Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de
argumento válido). Seus escritos foram reunidos na obra denominada
Organon ou Instrumento da Ciência.
Na Grécia, distinguiram-se duas grandes escolas de Lógica, a PERIPATÉTICA
(que derivava de Aristóteles) e a ESTÓICA fundada por Zenão (326-264a.C.). A
escola ESTÓICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250a.C.) a partir da escola
MEGÁRIA (fundada por Euclides, um seguidor de Sócrates). Segundo Kneale
(O Desenvolvimento da Lógica), houve durante muitos anos uma certa
rivalidade entre os Peripatéticos e os Megários e que isto talvez tenha
prejudicado o desenvolvimento da lógica, embora na verdade as teorias destas
escolas fossem complementares.
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) merece ser citado, apesar de
seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram
apreciados e conhecidos no século XIX .
Períodos da História da Lógica
• PERÍODO BOOLEANO (± 1840 a ± 1910)
Inicia-se com GEORGE BOOLE (1815-1864) e AUGUSTUS DE
MORGAN (1806-1871). Publicaram os fundamentos da chamada Álgebra
da lógica, respectivamente com MATHEMATICAL ANALYSIS OF LOGIC e
FORMAL LOGIC.
GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no desenvolvimento da
lógica com a obra BEGRIFFSSCHRIFT de 1879. As idéias de Frege só
foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É
devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se seguiu.
GIUSEPPE PEANO (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti, Vacca,
Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda simbologia da matemática se deve a
essa escola italiana.
Períodos da História da Lógica
• PERÍODO ATUAL (1910 - ...)
Com BERTRAND RUSSELL (1872-1970) e ALFRED NORTH WHITEHEAD
(1861-1947) se inicia o período atual da lógica, com a obra PRINCIPIA
MATHEMATICA.
DAVID HILBERT (1862-1943) e sua escola alemã com von Neuman, Bernays,
Ackerman e outros.
KURT GÖDEL (1906-1978) e ALFRED TARSKI (1902-1983) com suas
importantes contribuições.
Surgem as Lógicas não-clássicas: N.C.A. DA COSTA com as lógicas
paraconsistentes , L. A. ZADEH com a lógica "fuzzy" e as contribuições dessas
lógicas para a Informática, no campo da Inteligência Artificial com os Sistemas
Especialistas.
Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lógica englobam muitas
áreas do conhecimento.
Origem

Aristóteles - filósofo grego - 342 a.C, sistematizou os conhecimentos
existentes em Lógica, elevando-os à categoria de ciência. Para ele, a
lógica não era uma ciência teórica, prática ou produtiva, mas, sim, uma
ciência para todas as ciências.

Em sua obra chamada Organum (ferramenta para o correto pensar),
estabeleceu princípios tão gerais e tão sólidos que até hoje são
considerados válidos.

Aristóteles se preocupava com as formas de raciocínio que, a partir de
conhecimentos considerados verdadeiros, permitiam obter novos
conhecimentos.

A partir dos conhecimentos tidos como verdadeiros, caberia à Lógica a
formulação de leis gerais de encadeamentos lógicos que levariam à
descoberta de novas verdades. Essa forma de encadeamento é
chamada, em Lógica, de argumento.
Origem


Aristóteles fez um estudo minucioso de certos tipos básicos de
argumentos, estabelecendo regras para distinguir os que são válidos
daqueles que não o são. Estes últimos são chamados de “falácias” ou
“sofismas”. Exemplos:
 Parar de fumar é uma bobagem, meu avô fumou a vida inteira e
morreu com 87 anos.
 Todas as pessoas que morreram de câncer nos últimos 50 anos
bebiam água, logo…
Aristóteles procurou eliminar as frases ambíguas, trabalhando
apenas com as que não deixassem dúvida quanto ao seu
significado. Exemplos:


“Pássaros comem insetos”, por “Todos os pássaros comem insetos”
ou “Alguns pássaros comem insetos”.
“Índios não são carecas”, por “Nenhum índio é careca” ou “Alguns
índios não são carecas”
1.3 Postulados Clássicos
Princípios Fundamentais das Proposições
1) Princípio da contradição
Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação
da outra), uma delas é falsa.
2) Princípio da não-contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo.
3) Princípio do terceiro excluído
Uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não
havendo outra alternativa, isto é, verifica-se sempre um
desses casos e nunca um terceiro.
4) Princípio da identidade
Todo objeto é idêntico a si mesmo.
Princípios aristotélicos da lógica

Princípio da identidade – se um enunciado é
verdadeiro, essa é sua identidade.

A lei da não contradição – duas proposições
contraditórias não podem ser verdadeiras.

A lei do terceiro excluído – ou é V ou F, exclui uma
terceira possibilidade.

Não se pode negar e afirmar algo simultaneamente.