Faculdade de Engenharia
FVVV – função composta e
função inversa
X
Y
x1 ,, xn 
 y1 ,  , ym 
F
Z
z ,, z 
1
G
p
FVVV – função composta
Faculdade de Engenharia
Seja
G : V  m   p
F : D  n  m
X   x1 ,  , xn   Y  F  X    y1 ,  , ym 
Y   y1 ,  , ym   Z  G Y   z1 ,  , z p 
D aberto
V aberto e
F D   V
G  F : D  n   p
Então
X  x1 ,  , xn   Z  G  F  X   z1 ,  , z p 
X
Y
x1 , , xn 
 y1 ,  , ym 
F
Z
z ,, z 
1
p
G
GF
AM2
FVVV – derivada da função composta
Faculdade de Engenharia
F : D  n  m
G : V  m   p
Y   y1 ,  , ym   Z  G Y   z1 ,  , z p 
X  x1 ,  , xn   Y  F  X    y1 ,  , ym 
D aberto e
X0  D
Y0  F  X 0 
X
 x1 ,  , x n 
F D   V
V aberto e
Z
Y
F
 y1 ,  , y m 
G
z ,  , z 
1
p
GF
G  F : D  n   p
X  x1 ,  , xn   Z  G  F  X   z1 ,  , z p 
Se
F derivável em X 0
G derivável em Y0
então
G  F derivável em X 0 e
J G  F  X 0   JG Y0 JF  X 0 
AM2
FVVV – derivada da função composta
Faculdade de Engenharia
EXEMPLO:

2
Seja F  x, y , z   xy ,2  x

 


e G  x, y   ln x 2  y 2  1 , xy ,1
Calcule
a) J G  F 1,0,1
b)
J F  G 0,1
AM2
FVVV – derivada da função composta
Faculdade de Engenharia
F derivável em X 0
G derivável em Y0
X
x1 ,  , x n 
Z
Y
F
 y1 ,  , y m 
G
z
1
, , z p 
GF
G  F derivável em X 0 e
J G  F  X 0   JG Y0 JF  X 0 
 z
z1   y1
y1 

J G  F  X 0    1 




ym 
x
xn
 y1
 1






 

z p   ym
y m 
 z p




xn 
ym  X  x1
 y1
X0
0
 z1
z1 

 x


x
1
n






z p 
 z p




x
xn  X
 1
0
z1 z1 y1 z1 y2
z y


 1 m
x1 y1 x1 y2 x1
ym x1
AM2
FVVV – derivada da função composta, alternativa
Faculdade de Engenharia
para calcular
z1

x1
contabilizar todos os “caminhos” que levam de x1 até z1
X
Z
Y
x1 ,  , x n 
F
 y1 ,  , y m 
G
z ,  , z 
1
p
GF
z1

zp
y1
x1


xn
ym
y1
x1

xn
z1 z1 y1 z1 y2
z y


 1 m
x1 y1 x1 y2 x1
ym x1

ym
AM2
FVVV – função inversa
Faculdade de Engenharia
PROBLEMA:
Seja
n
Seja F : D    
F : D  n  n
n
Em que condições F tem inversa?
, D aberto
k
F de classe C , k  1
condições suficientes
mas não necessárias
X 0  D tal que det JF  X 0   0
Então
existe aberto V  D tal que X 0  V
existe aberto W   n tal que F  X 0   W
1
k
F : V  W tem inversa F : W  V de classe C
1
JF 1 F  X 0    JF  X 0 
AM2
FVVV – função inversa, exemplos
Faculdade de Engenharia
1.
2.

Mostre que F  x, y   e sin y , x cos y

x
3
3
Mostre que G  x, y   x , y
x


é invertível próximo de  x, y    2
é invertível próximo de
0,0 
AM2