Processos Estocásticos
Terceira Lista de Exercı́cios
22 de julho de 2013
1 Seja X uma VA contı́nua com função densidade de probabilidade f dada por
f (x) =
1 −|x|
e
2
∀x ∈ R
.
Calcule P (1 < |X| < 2).
A fdp dada tem o seguinte gráfico:
0.5
f (x)
−2 −1
1
2
x
A soma das áreas em cinza corresponde à probabilidade procurada. Como o gráfico da função f é simétrico,
podemos calcular somente o valor da área no intervalo positivo e a seguir multiplicar esse valor por 2. Assim,
temos:
Z 2
P (1 < |X| < 2) = 2
f (x)dx
1
Z
1 2 −x
=2·
e dx
2 1
= [−e−x ]21
= e−1 − e−2
= 0.2325
2 Seja X uma VA contı́nua indicando a vida em horas de um certo componente eletrônico com função densidade de probabilidade dada por
0,
x < 100
f (x) =
100/x2 , x ≥ 100
Determine a probabilidade de um componente sobreviver até 1150 horas de operação.
1
1150
Z
P (X ≤ 1150) =
f (x)dx
−∞
Z
1150
= 100
100
1
dx
x2
h 1 i1150
= 100 −
x 100
1
1 = 100 −
+
1150 100
21
=
= 0.9130
23
3 Suponha que o perı́odo de vida útil de dois aparelhos elétricos D1 e D2 tenham distribuições N1 (42, 36) e
N2 (45, 9), respectivamente.
a. Se o perı́odo de uso planejado é de 45 horas, qual dos dois aparelhos deve preferencialmente ser
utilizado?
b. E se o perı́odo for de 49 horas?
Xi : tempo de vida do aparelho i, (i = 1, 2).
Parâmetros das distribuições normais: µ1 = 42 σ1 = 6 µ2 = 45 σ2 = 3.
a. Calcular P (X1 > 45) e P (X2 > 45):
Vamos usar a distribuição normal padrão. Para isso é necessário calcular duas novas variáveis normalizadas,
dadas por
Xi − µi
Zi =
i = 1, 2 .
σi
Então as probabilidades de Xi podem ser reescritas em função de Zi . Assim:
X − 42
45 − 42 1
>
6
6
= P (Z1 > 1/2)
P (X1 > 45) = P
= 0.308 (veja na tabela da Normal)
e
X − 45
45 − 45 2
>
3
3
= P (Z2 > 0)
P (X2 > 45) = P
= 0.5
Como P (X2 > 45) > P (X1 > 45), então o aparelho D2 é preferı́vel.
b. Mesmo cálculo, com 49 horas de limite:
P (X1 > 49) = P (Z1 > 7/6) = P (Z1 > 1.17) = 0.1210
P (X2 > 49) = P (Z2 > 4/3) = P (Z2 > 1.33) = 0.0918
Assim, nesse caso o aparelho D1 é preferı́vel.
4 O diâmetro de um certo fio de aço é uma VA com distribuição normal de média 1 mm e desvio padrão
2
0.2 mm. Se o diâmetro de um fio diferir da média por mais de 0.3 mm, ele é vendido por R$ 5,00; caso
contrário, ele é vendido por R$ 10,00. Qual o preço médio de venda dos fios?
X: VA normal indicando o diâmetro do fio em mm.
VA normal padrão: Z = X−1
0.2 .
Diferença da média por ±0.3mm ⇒ X < 0.7 e X > 1.3.
X − 1
1.3 − 1 >
0.2
0.2
= P (Z > 1.5)
P (X > 1.3) = P
= 0.0668
X − 1
0.7 − 1 >
0.2
0.2
= P (Z < −1.5)
P (X < 0.7) = P
= P (Z > 1.5)
(simetria da Normal)
= 0.0668
Logo, 13.36% dos fios diferem da média por ±0.3mm: P (X < 0.7) + P (X > 1.3) = 2 · 0.0668 = 0.1336 .
Sendo assim, o preço médio de venda dos fios é R$ 9,33 (= 0.1336 · 5, 00 + 0.8664 · 10, 00).
5 Uma fábrica de monitores determinou que a vida média dos seus LCDs é de 800 horas de uso contı́nuo, seguindo uma distribuição exponencial. Qual a probabilidade de que a fábrica tenha de substituir um monitor
gratuitamente, se ela oferece uma garantia de 300 horas de uso?
T : VA exponencial indicando as horas de vida de um monitor.
Sabe-se do enunciado que E[T ] = 800. Logo, como E[T ] = 1/λ, temos que λ = 1/800.
Z
P (T < 300) =
300
λe−λx dx
0
= 1 − e−
300/800
= 1 − 0.6873
= 0.3127
6 O tempo médio de vida de um transistor é de 500 horas, seguindo uma distribuição exponencial.
a. Calcule a probabilidade do transistor durar mais que 500 horas.
b. Calcule a probabilidade do transistor durar entre 300 e 1000 horas.
c. Sabendo que o transistor já durou 500 horas, calcule a probabilidade dele durar mais 500 horas.
T : VA exponencial com λ = 1/500.
a.
1
P (T > 500) = e−λt = e− 500 ·500 = e−1 = 0.3679
b.
P (300 < T < 1000) = P (T > 300) − P (T > 1000) = e−0.6 − e−2 = 0.4135
3
c. Usando os resultados dos itens anteriores e o teorema de Bayes, temos
P (T > 1000) · P (T > 500 | T > 1000)
P (T > 500)
P (T > 1000) · 1
=
P (T > 500)
−2
e
= −1
e
= e−1 = 0.3679
P (T > 1000 | T > 500) =
Observação: Para qualquer VA exponencial T e para todo s, t > 0, a seguinte propriedade é válida:
P (T > s + t | T > s) = P (T > t) .
Essa propriedade é conhecida como “falta de memória” (memorylessness, em inglês). Esse termo é usado
pois não importa o que aconteceu no passado (T ≤ s) somente o momento em que se inicia a observação
(podendo ser considerado como instante zero). Neste contexto, a distribuição exponencial é inadequada
para representar o “tempo de vida” de itens que sofrem efeito de fadiga.
7 Seja X um ponto escolhido aleatoriamente no intervalo [0, 1].
a. Qual é a fdp para este experimento?
b. Qual é a função de distribuição acumulada?
c. Calcule o valor esperado e a variância de X.
Como o ponto é escolhido aleatoriamente, qualquer valor no intervalo possui a mesma probabilidade de ser selecionado. Logo, temos uma distribuição uniforme com parâmetros α = 0 e β = 1. Para todos os três itens do
enunciado basta substituir os valores dos parâmetros nas fórmulas da distribuição uniforme:
a.
f (x) =
b.
1, para x ∈ [0, 1]
0, para x 6∈ [0, 1]

 0,
x,
F (x) =

1,
para x < 0
para 0 ≤ x < 1
para x ≥ 1
E[X] = 1/2
V (X) = 1/12
c.
8 Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Calcule:
a. P (Z > 1.65);
b. P (Z < 1.65);
c. P (−1 < Z < 1);
d. P (−2 < Z < 2);
e. P (−3 < Z < 3);
f. P (Z > 6);
g. O valor de z, tal que P (−z < Z < z) = 0.90;
4
h. O valor de z, tal que P (−z < Z < z) = 0.99.
Distribuição normal padrão possui µ = 0 e σ = 1. Para resolver esse exercı́cio basta consultar uma tabela da
distribuição. Por exemplo, no livro do Barbetta (Tabela 3, pág. 377).
a. P (Z > 1.65) = 0.0495.
b. P (Z < 1.65) = 1 − P (Z > 1.65) = 1 − 0.0495 = 0.9505.
c. Note que o intervalo −1 < Z < 1 corresponde exatamente a 2σ. Áreas com intervalos de amplitude
baseadas no desvio padrão são sempre constantes na distribuição normal. Assim P (−1 < Z < 1) = 0.683,
como visto em aula.
d. Idem item anterior com intervalo 4σ. Logo, P (−2 < Z < 2) = 0.955.
e. Idem item anterior com intervalo 6σ. Logo, P (−3 < Z < 3) = 0.997.
f. O valor de z está fora do limite da tabela, mas como a curva da normal é decrescente sabe-se que
P (Z > 6) < P (Z > 5) = 0.000000287 .
Logo, P (Z > 6) ≈ 0.
g. Como a curva é simétrica, temos que
P (−z < Z < z) = 1 − 2 · P (Z > z) .
E como P (−z < Z < z) = 0.90, então
1 − 2 · P (Z > z) = 0.90 ⇒ P (Z > z) = 0.05 .
Fazendo uma busca reversa na tabela da distribuição normal pelo valor 0.05 vemos que P (Z > 1.64) =
0.0505 e P (Z > 1.65) = 0.0495. Assim, z ≈ 1.645.
h. Mesmo argumento do item anterior ⇒ z ≈ 2.575.
9 Um setor de manutenção de uma empresa fez um levantamento de falhas de um equipamento e constatou
que há, em média, 0.75 falhas por ano e que o intervalo entre falhas segue uma distribuição exponencial.
Qual é a probabilidade do equipamento não falhar no próximo ano?
Temos uma distribuição exponencial com λ = 0.75 e queremos
P (T > 1) = e−λt = e−0.75·1 = 0.4724
5
.