Funções densidade de probabilidade para estimativa da
intensidade de seca em Cascavel, Paraná
Jailson de Araujo Rodrigues 1 4
Ana Paula Coelho Madeira Silva 2
Jaime dos Santos Filho3
Joel Augusto Muniz 3
1 Introdução
Medir dados de seca é muito importante em diversos contextos, tais como produtividade de
culturas agrı́colas, manejo dos recursos hı́dricos e avaliação ambiental. A obtenção da correta
distribuição para intensidade de seca é relevante no planejamento agrı́cola, no que diz respeito
à instalação de culturas. Além da influência na agricultura, secas muito intensas afetam o nı́vel
de água dos mananciais e dos reservatórios das usinas hidrelétricas, trazendo problemas para
a geração de energia elétrica e no abastecimento urbano. Dessa forma, diferentes modelos
probabilı́sticos têm sido propostos para descrever intensidade, perı́odo e magnitude de seca. Por
exemplo, uma generalização do modelo gama foi introduzida por [3] para estudar dados de secas
ocorridas nas oito regiões climaticas do Estado norte-americano de Nebraska, os resultados
indicaram que a nova distribuição fornecia um ajuste melhor que o obtido com o modelo gama
usual. A severidade de secas ocorridas em Yellow River no Norte da China foi analisada por
[7] utilizando a distribuição gama, os resultados obtidos indicaram o bom ajuste do modelo. A
distribuição gama também foi empregada com sucesso por [6] para descrever a severidade de
secas ocorridas em Taiwan e [5] utilizaram a distribuição exponencial para descrever o perı́odo
de seca e as distribuições Weibull e log-normal para descrever sua intensidade, com isso foi
possı́vel analisar a magnitude da seca, obtida pelo produto, perı́odo de seca × intensidade.
O objetivo deste trabalho foi avaliar as distribuições exponencial, gama e Weibull na modelagem da intensidade de secas ocorridas em Cascavel no Estado do Paraná. A estimação
dos parâmetros foi feita via método da máxima verossimilhança. As respectivas aderências dos
modelos foi verificada por meio do teste de Kolmogorov-Smirnov ao nı́vel de 5% de probabilidade. A escolha do modelo que apresentou melhor ajuste foi feita via Critério de Informação
de Akaike corrigido.
1 DEPEN-IFBA.
4 Agradecimento
2 CSL
3 DEX
e-mail: [email protected]
ao IFBA pelo apoio financeiro.
- UFSJ.
- UFLA.
1
2 Materiais e métodos
2.1
Índice Padronizado de Precipitação (SPI)
Na literatura, é possı́vel encontrar vários ı́ndices que permitem determinar o grau de intensidade da seca. O mais utilizado no Brasil é o Índice Padronizado de Precipitação (SPI), ver [4].
Esse ı́ndice quantifica o déficit ou o excesso de precipitação em diferentes escalas de tempo.
Essa caracterı́stica torna o SPI uma valiosa ferramenta para todos os estudos de disponibilidade
hı́drica. A escala temporal mais analisada é a mensal (SPI-1 mês).
O evento seca começa quando o SPI torna-se negativo e termina quando este volta a apresentar valores positivos. Dentro de sua escala, magnitudes menores ou iguais a -2 indicam seca
extrema. Na Tabela 1 é apresentada essa classificação que foi desenvolvida por [4].
Tabela 1. Classificação da severidade da seca.
Valores do SPI
0, 00 a −0, 99
−1, 00 a −1, 49
−1, 50 a −1, 99
≤ −2, 00
Categoria de seca
Seca ligeira
Seca moderada
Seca severa
Seca extrema
Considerando que a seca ocorre quando o valor do SPI é menor que zero, o perı́odo de seca
é a somatoria dos meses consecutivos em que o SPI é negativo. Dessa forma, se P representa o
perı́odo de seca, a intensidade da seca, denotada por S, é a soma do valores do SPI no perı́odo
de seca. Por conveniência, assumiremos a intensidade da seca como uma grandeza positiva e
assim, pode-se escrever:
P
S = − ∑ SPIi
(1)
i=0
Os dados de SPI explorados neste trabalho foram coletados na estação meteorológica X2453023
com coordenadas geográficas −24, 93333 de latitude, −53, 43333 de longitude e 760m de altitude, localizada na cidade de Cascavel no Estado do Paraná. A base de dados corresponde a
uma série histórica de medições mensais do SPI no perı́odo de janeiro de 1976 até dezembro de
2005.
2.2 Modelos
Modelo exponencial: Uma variável aleatória tem distribuição exponencial quando sua
função densidade de probabilidade (fdp) para x > 0 é dada por:
f (x) = β exp (−βx)
2
(2)
sendo que β > 0 é um parâmetro de escala.
Se X1 , . . . , Xn é uma amostra aleatória de (2), a estimativa de máxima verossimilhança β̂ para
o parâmetro β é dada por:
n
b
β= n .
(3)
∑ xi
i=0
Modelo gama: Uma variável aleatória tem distribuição gama quando sua fdp para x > 0 é
dada por:
βα xα−1
f (x) =
exp (−βx)
(4)
Γ (α)
sendo que α > 0 é um parâmetro de forma, β > 0 é um parâmetro de escala e Γ(·) representa a
função gama,
∫ ∞
Γ (α) =
t α−1 exp (−t) dt.
(5)
0
O modelo exponencial apresentado anteriormente e um caso particular da distribuição gama
quando α = 1.
be
Se X1 , . . . , Xn é uma amostra aleatória de (4), as estimativas de máxima verossimilhança α
b
β para os parâmetros α e β podem ser obtidas resolvendo o sistema de equações não lineares,
n
b
nα
− ∑ xi = 0
b
β i=0
(
b − n log
n log n + n log α
)
n
(6)
n
∑ xi − nψ (αb) + ∑ log xi = 0
i=0
(7)
i=0
sendo que ψ (·) é a função digama,
ψ (x) =
dΓ(x)
.
dx
(8)
Modelo Weibull: Uma variável aleatória tem distribuição Weibull quando sua fdp para
x > 0 é dada por:
[
]
f (x) = αβ (βx)α−1 exp − (βx)α
(9)
sendo que α > 0 é um parâmetro de escala e β > 0 é um parâmetro de forma.
be
Se X1 , . . . , Xn é uma amostra aleatória de (9), as estimativas de máxima verossimilhança α
b
β para os parâmetros α e β podem ser obtidas resolvendo o sistema de equações não lineares,
(
b
β=
1 n αb
∑ xi
n i=0
)−1/αb
−1
(
)(
)−1
n
n
n
1
b =  ∑ xiαb log xi
α
∑ xiαb − n ∑ log xi .
i=0
i=0
i=0
3
(10)
(11)
2.3 Teste de aderência de Kolmogorov-Smirnov
O teste estatı́stico de Kolmogorov-Smirnov (KS-teste) é um dos dispositivos mais utlizados para verificar aderência de distribuições, além de não depender do número de classes do
agrupamento dos dados, esse teste oferece mais vantagens computacionais. O referido teste,
utilizado para avaliar a aderência das distribuições estudadas, baseia-se na discrepância entre as
√
distribuições, Dn = n supx |Fn (x) − F0 (x)| em que Fn (x) denota a distribuição teórica e F0 (x)
a distribuição ajustada. Essa estatı́stica é usada para testar a hipótese nula H0 : F = F0 versus hipótese alternativa H1 : F ̸= F0 . O p-valor correspondente é dado por P (K > dn ) sendo
que dn representa o valor observado de Dn e K é a variável aleatória especificada pela fd
√
( 2)
2 2
P (K ≤ x) = 2π/x ∑∞
i=1 exp{−(2i − 1) π / 8x }.
2.4 Critério de informação de Akaike
Dentre as metodologias empregadas para seleção de modelos probabilı́sticos, uma das mais
utilizadas é o critério de informação de Akaike (AIC). Neste trabalho, utilizaremos como mecanismo de escolha o critério de informação de Akaike corrigido (AICc), ver [1], baseado na
teoria de decisão o AICc é definido como a quantidade:
AICc = −2L + 2p + 2
p (p + 1)
n− p−1
(12)
em que L representa o logaritmo do máximo da função de verossimilhança e p denota o número
de parâmetros. De acordo com esse critério, o melhor dentre os modelos considerados na
construção do problema é aquele que apresenta o menor valor de AICc.
3 Resultados e discussão
Na Tabela 2 podem ser observadas as estimativas de máxima verossimilhança encontradas
nos ajustes das distribuições exponencial, gama, e Weibull.
Tabela 2. Estimativas dos parâmetros.
α
...
1, 073
1, 033
Modelos Probabilı́sticos
Exponencial
Gama
Weibull
β
0, 597
0, 640
0, 589
A aderência das distribuições foi verificada segundo o KS-teste. Todas as distribuições
apresentaram p-valores superiores a 0, 05 indicando que essas distribuições descrevem satisfatoriamente os dados observados de intensidade de seca, Tabela 3.
4
Tabela 3. p-valores do KS-teste e AICc.
Modelos Probabilı́sticos
Exponencial
Gama
Weibull
p-valores
0, 892
0, 918
0, 904
AICc
259, 790
261, 625
261, 740
Para selecionar a distribuição com melhor ajuste foi utilizado o AICc. Na Tabela 3 pode-se
observar que a distribuição exponencial apresentou um ajuste melhor, seguida pela distribuição
gama e o pior ajuste foi obtido pela distribuição Weibull.
4 Conclusões
Através dos teste de Kolmogorov-Smirnov a nı́vel de 0, 05 de significância, observou-se que
as distribuições exponencial, gama e Weibull apresentaram aderência em relação aos dados de
intensidade de seca.
O AICc indicou que a distribuição exponencial obteve melhor ajuste dos dados de seca,
seguida pela distribuição gama e o pior ajuste foi obtido pela distribuição Weibull.
Referências
[1] BOZDOGAN, H. Model selection and Akaike´s information criterion (AIC): The general
theory and its analytical extensions. Psychometrica, v.52, p.345-370, 1987.
[2] CHAMBERS, J.; CLEVELAND, W.; KLEINER, B.; TUKEY, P. Graphical Methods for
Data Analisys, Boston: Duxbury Press, 1983, 395p.
[3] NADARAJAH, S.; GUPTA, A. K. A generalized gamma distribution with application to
drought data. Mathematics and Computers in Simulation, v.74, p. 1-7, 2007.
[4] McKEE, T. B.; DOESKEN, N. J.; KLEIST, J. Drought monitoring with multiple time scales. 9th Conference on Applied Climatology, Preprints, American Meteorological Society,
Boston, p. 233-236, 1995.
[5] YANG, D. W.; NADARAJAH, S. Drought modeling and products of random variables
with exponential kernel. Stoch Environ Res Risk Assess, v. 21, p. 123-129, 2006.
[6] SHIAU, J. T. Fitting drougth duration and severity with two-dimensional copulas. Water
Resources Management, v.20, p. 795-815, 2006.
[7] SHIAU, J. T.; FENG, S.; NADARAJAH, S. Assessment of hydrological droughts for the
Yellow River, China, using copulas. Hydrological Processes, v.21, p. 2157-2163, 2007.
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