Introdução à Bioestatı́stica
Inferência e Intervalo de Confiança
Enrico A. Colosimo/UFMG
http://www.est.ufmg.br/˜enricoc/
Depto. Estatı́stica - ICEx - UFMG
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Tabela Normal Padrão
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Inferência Estatı́stica
1
Observe que supomos conhecidos:
probabilidade de nascer um menino (0.5);
média e desvio-padrão do teor de gordura;
média e desvio-padrão da pressão diastólica, etc.
2
No mundo real, usualmente, estas quantidades não são
conhecidas.
3
Na verdade, o nosso objetivo, é exatamente buscar informações
sobre estas quantidades a partir de uma amostra da população.
Lembre: (primeiras aulas)
4
comparar cirurgia e fisioterapia para pacientes com incontinência
urinária.
prevalência de depressão em idosos (Profa. Marisa).
preferência do eleitorado por um candidato X, etc.
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Inferência Estatı́stica
1
Utilizar Método Estatı́stico + Amostra para responder à pergunta
de interesse.
2
Inferência Estatı́stica consiste, essencialmente, em:
Estimativa pontual e intervalar (intervalo de confiança).
Teste de hipóteses.
Previsão.
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Resultado Fundamental 1: Distribuição de X̄
Suponha uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma
população normal com média µ e varância σ 2 . Então
√
X̄ ∼ N(µ, σ/ n)
ou
X̄ − µ
√
∼ Z
σ/ n
.
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Resultado Fundamental 2: Teorema Central do Limite
Suponha uma amostra aleatória de tamanho n retirada de uma
população qualquer com média µ e varância σ 2 . Representando tal
amostra por n variáveis aleatórias independentes (X1 , ..., Xn ) e,
denotando sua média por X̄ , temos que:
X̄ − µ
√ →Z
σ/ n
quando n → ∞ e com Z ∼ N(0, 1).
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Teorema Central do Limite
Em palavras, o teorema garante que para n grande a distribuição
da média amostral, devidamente padronizada, se comporta
segundo um modelo Normal com média 0 e variância 1.
Pelo teorema temos que quanto maior o tamanho da amostra,
melhor é a aproximação.
Estudos envolvendo simulações, mostram que, em muitos casos,
valores de n ao redor de 30 fornecem aproximações bastante
boas para as aplicações práticas.
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Simulação
media
media
Binomial (n=10)
Binomial (n=30)
Binomial (n=100)
Binomial (n=500)
Binomial (n=1000)
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
0.46
5.0
5.5
0.50
0.52
0.54
0.47
0.49
0.51
0.53
7.7
7.8
7.9
8.0
8.1
8.2
8.3
8.4
150
Frequency
0
50
40
0
20
Frequency
20
10
Frequency
0
4.5
0.48
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
7.85
7.95
8.05
8.15
media
media
media
Exponencial (n=10)
Exponencial (n=30)
Exponencial (n=100)
Exponencial (n=500)
Exponencial (n=1000)
0.8
1.0
media
1.2
1.4
0.8
1.0
1.2
media
1.4
0.8
0.9
1.0
media
1.1
1.2
1.3
80
0
40
Frequency
60
0
20
10
0
5
Frequency
Frequency
15
8
6
4
Frequency
0
2
2.0
1.0
0.6
120
media
3.0
media
0.0
0.4
0.56
30
8
6
4
Frequency
0
2
2.0
1.0
4.8
0.52
150
Frequency
media
4.6
0.48
0
media
60
0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65
3.0
0.44
50
60
40
Frequency
0
20
15
10
0
5
Frequency
12
Frequency
0 2 4 6 8
2.0
1.0
Frequency
0.0
Uniforme (n=1000)
media
0.0
Frequency
Uniforme (n=500)
0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60
4.4
Frequency
Uniforme (n=100)
80
Uniforme (n=30)
3.0
Uniforme (n=10)
0.85
0.95
media
1.05
1.15
0.95
1.00
1.05
1.10
media
Figura: Efeito do tamanho da amostra sobre a distribuição de X̄
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Exemplo
Suponha que para crianças nascidas com peso abaixo de 750g, o
nı́vel de bilirrubina sérico tem distribuição Normal com média
8, 5mg/dl e desvio padrão 3, 5mg/dl.
Calcule a probabilidade que a média amostra X̄ , para uma
amostra de 16 crianças:
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Seja menor que 8 mg/dl
Temos que:
X̄ ∼ N(8, 5; 3, 5/4)
8 − 8, 5 = −0, 5
3, 5/4 = 0, 875
−0, 5 / 0, 875 = −0, 5714
Então,
Pr (X̄ < 8) = Pr (Z < −0, 5714) = Pr (Z >
0, 57) = 0, 5 − 0, 2157 = 0, 28
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Seja maior que 8,2 mg/dl
Temos que:
8, 2 − 8, 5 = −0, 3
3, 5/4 = 0, 875
−0, 3 / 0, 875 = −0, 3428
Então,
Pr (X̄ > 8, 2) = Pr (Z > −0, 3428) =
P(0 < Z < 0, 34) + 0, 5 = 0, 6330
E se a distribuição de bilirrubina não tivesse distribuição normal?
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Intervalo de Confiança para a Média µ
Em uma certa população sabemos que a pressão diastólica de seus
habitantes tem uma distribuição normal com média desconhecida µ e
desvio-padrão σ = 10, 2 mmHg. Forneça uma estimativa pontual e
intervalar (95% de confiança) para µ baseado em uma amostra de
tamanho 100 em que foi obtido x̄ = 82, 4 mmHg.
Estimativa pontual: 82, 4 mmHg
Estimativa intervalar:
[x̄ − 1, 96 ∗ σ/10 ; x̄ + 1, 96 ∗ σ/10]
[82, 4 − 1, 96 ∗ 1, 02 ; 82, 4 + 1, 96 ∗ 1, 02]
[80, 4 ; 84, 4] mmHg
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Intervalo de Confiança para a Média µ
1
Como estimar µ se a distribuição não for Normal?
Resposta: n = 100 deve ser suficientemente grande para X̄ ter
uma distribuição aproximadamente normal pelo Teorema Central
do Limite. Desta forma, os resultados anteriores continuam
válidos.
2
Como estimar µ se o desvio-padrão σ for desconhecido e n não
for suficientemente grande para usarmos o TCL?
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Resultado Fundamental 3: Distribuição T- Student
Estimamos a média amostral x̄ e o desvio-padrão amostral s;
E substituı́mos σ por s e a distribuição normal pela distruibuição
t-Student com n − 1 graus de liberdade.
Ou seja,
t=
x̄ − µ
√ ∼ tn−1
s/ n
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0.4
Distribuição Normal versus t
0.2
0.1
0.0
Densidade
0.3
Normal (0,1)
t2
t5
t20
−4
−2
0
2
4
x
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Tabela T- Student
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Intervalo de Confiança para a Média µ com σ desconhecido.
O crescimento de bebês durante o primeiro mês de vida pode ser
modelado pela distribuição Normal.
Uma amostra de 10 recém nascidos na região foram sorteados e sua
altura acompanhada, fornecendo as seguintes medidas de
crescimento em centı́metros: 5,03 ; 5,02 ; 4,95 ; 4,96 ; 5,01 ; 4,97 ; 4,9
; 4,91 ; 4,9 ; 4,93 (x̄ = 4, 96; s = 0, 049)
Forneça uma estimativa pontual e intervalar (95% de confiança) para µ
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Intervalo de Confiança para a Média µ com σ desconhecido.
Estimativa pontual: 4, 96 cm
Estimativa intervalar:
√
[x̄ − t9;0,975 ∗ s/ 10 ; x̄ + t9;0,975 ∗ s/sqrt10]
[4, 96 − 2, 26 ∗ 0, 049/3, 16 ; 4, 96 + 2, 26 ∗ 0, 049/3, 16]
[4, 96 − 2, 26 ∗ 0, 015 ; 4, 96 + 2, 26 ∗ 0, 015]
[4, 96 − 0, 035 ; 4, 96 + 0, 035]
[4, 92 ; 4, 99] cm
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