Inferências sobre Média de Grandes Amostras
Gustavo Teodoro Laureanoa , Clarimar José Coelhob , Anderson da Silva Soaresc ,
Daniel Vitor de Lucenad
a
Universidade Católica de Goiás, Departamento de Computação, E-mail:
[email protected]
b
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c
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d
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Palavras chaves: controle de qualidade, inferência estatı́stica, média de grandes amostras.
Determinar inferências empregando intervalos de confiança para grandes amostras (n >
35)[2]. A análise é feita a partir de um novo software desenvolvido para análise multivariada. Devido ao teorema do limite central [1], à medida que n aumenta, as distribuições amostrais da população aproximam-se da normal, independentemente da distribuição populacional. A distribuição amostral multivariada das médias X̄ é distribuı́da
como Np (µ, n1 Σ)[3]. A média da distribuição amostral tende para a média populacional
µ. Sua matriz de covariâncias tende para n1 Σ [1]. A densidade normal multivariada com p
dimensões é dada por f (x) =
1
p
(2π) 2
1
|Σ| 2
e
−(x−µ)0 Σ−1 (x−µ)
2
. O expoente (x − u)0 Σ−1 (x − u) é
o contorno constante da densidade para uma distribuição normal p-dimensional que forma
elipsóides centradas em µ com eixos definidos por auto valores e auto vetores de X̄. As
elipsóides têm distribuição aproximada a χ2p (α) com p graus de liberdade e probabilidade
1 − α. Seja {X1 , X2 , . . . , Xn }, observações independentes
de qualquer população com
√
média µ e matriz de covariâncias finita Σ. Então, n(X − µ) tem distribuição aproximada de Np (0, Σ), quando n for muito grande em relação a p. A matriz de covariâncias
da população aproxima-se de Σ em probabilidade. Substituindo Σ por S o efeito sobre
cálculos probabilı́sticos é desprezı́vel. Diz-se que n(X̄ − µ)0 S−1 (X̄ − µ) aproxima-se da
distribuição χ2p para n − p muito grande e nı́vel de significância α. Devido a aproximação
com distribuição qui-quadrado, testes de hipóteses e intervalos de confiança podem ser
construı́dos sem a suposição de
da população [1]. Intervalos de confiança são
qnormalidade
p sii
2
calculados pela fórmula xi ± χp (α) ( n ) com nı́vel de significância α e probabilidade
1 − α do intervalo conter µi . Casos pequenos que afastam as amostras das teorias de normalidade não causam qualquer dificuldade pra n muito grande, mas casos extremos que
possam indicar uma não normalidade da população possibilitam problemas na definição
desses intervalos. É necessário uma forma de detectar os outliers e aplicar as ações corretas para eliminar esse problema. Outra forma de construir esses intervalos de confiança é
basear osp
cálculos na distribuiçãop
normal padrão. Nesse caso, µi está contido no intervalo
x̄ − z( α2 ) snii ≤ µi ≤ x̄ + z( α2 ) snii , onde z( α2 ) é o percentil superior 100( α2 ) da distribuição normal padrão. Os resultados obtidos utilizando esse método, demonstram uma
maior precisão nos intervalos de confiança em comparação aos outros métodos especı́ficos
para pequenas amostras. Os intervalos, com o mesmo nivel de significância, são um pouco
mais estreitos em relação aos outros, mas essa diferença é mı́nima. O teste baseado na
distribuição χ2p obteve resultados significativos na determinação desses intervalos, mas os
cálculos utilizando a abordagem de uma distribuição normal padrão demostraram maior
eficiência na determinação desses valores.
Agradecimentos: PROPE UCG.
Referências:
[1] R. A. Johnson D. W. Wichern. Applied Multivariate Statistical Analysis, Prentice Hall
(2002).
[2] David M. Levine, Mark L. Berenson and David Stephan Estatı́stica: Teoria e aplicações,
Spectrochimica Acta, v. B, (1997), n. 52, p. 2151-2161.
[3] James, Barry R., 1942 Probabilidade: Um curso em nı́vel intermediário (Segunda
Edição)