Universidade Federal Fluminense
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
ESTATÍSTICA V
Lista 6: Distribuições Contı́nuas. Distribuição Normal.
1. A distribuição dos pesos de coelhos criados numa granja pode muito bem ser representada por uma distribuição Normal,
com média 5 kg e desvio padrão 0,9 kg. Um abatedouro comprará 5000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com
o peso do seguinte modo: 15% dos mais leves como pequenos, os 50% seguintes como médios, os 20% seguintes como
grandes e os 15% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação?
2. Uma enchedora automática de refrigerantes está regulada para que o volume médio de lı́quido em cada garrafa seja de
1000 cm3 e desvio padrão de 10 cm3 . Admita que o volume siga uma distribuição normal.
(a) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de lı́quido é menor que 990 cm3 ?
(b) Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de lı́quido não se desvia da média em mais do que dois desvios
padrões?
(c) Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 4 tenham volume de lı́quido
superior a 1002 cm3 ?
(d) Se garrafas vão sendo selecionadas até aparecer uma com volume de lı́quido superior a 1005 cm3 , qual é a
probabilidade de que seja necessário selecionar pelo menos 3 garrafas?
3. Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo), e garante a restituição da quantia paga se
qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de seis meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos
televisores tem distribuição normal sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e desvio padrão de 2 meses e no tipo
B,com média de 11 meses e desvio padrão de 3 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1200
u.m. e 2100 u.m. respectivamente e, caso haja restituição, com prejuı́zo de 2500 u.m. e 7000 u.m. respectivamente.
(a) Calcule as probabilidades de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B.
(b) Calcule o lucro médio para os televisores do tipo A e para os televisores do tipo B.
(c) Baseando-se nos lucros médios, a empresa deveria incentivar as vendas dos aparelhos do tipo A ou do tipo B?
4. Suponha que o tempo necessário para atendimento de clientes em uma central de atendimento telefônico siga uma
distribuição normal de média de 8 minutos e desvio padrão de 2 minutos.
(a) Qual é a probabilidade de que um atendimento dure menos de 5 minutos?
(b) E mais do que 9,5 minutos?
(c) E entre 7 e 10 minutos?
(d) 75% das chamadas telefônicas requerem pelo menos quanto tempo de atendimento?
5. A distribuição dos QI’s médio de crianças entre 8 e 10 anos é considerada normal com média 110 e desvio-padrão 6.
Será aplicado um teste em crianças dessa faixa etária no intuito de classificá-las quanto ao QI como baixo, normal e
alto do seguinte modo: 15% dos menores resultados como QI baixo; os 70% seguintes como normal e os restantes como
alto. Determine os limites de valores para o QI em cada classificação.
6. Suponha que o tempo necessário para resposta a um estı́mulo visual siga uma distribuição normal com média de 1
minuto e desvio padrão de 1/3 minuto.
(a) Qual é a probabilidade de que a resposta seja dada em menos de 1/2 minuto?
(b) E mais do que 1.5 minutos?
(c) E entre 0.5 e 1.5 minuto?
(d) 75% das chamadas respostas requerem pelo menos quanto tempo de estimulação?
7. Mensa é a sociedade internacional de indivı́duos de alto QI. Para fazer parte da Mensa, uma pessoa precisa ter um QI
de 132 ou mais. Se as contagens de QI são distribuı́das normalmente com uma média de 100 e um desvio-padrão de
15, que porcentagem da população se qualifica para membro da Mensa?
8. A prefeitura de uma certa cidade distribui cestas básicas para pessoas com renda inferior a R$150,00. A distribuição
de renda desta população tem distribuição normal com média de R$300,00 e desvio-padrão de R$150,00.
(a) Que proporção da população é beneficiada pelas cestas básicas?
(b) Que valor deveria a prefeitura definir como renda máxima para que 60% da população fosse beneficiada pelas
cestas básicas?
9. Um fabricante de máquinas de lavar sabe que a duração de suas máquinas tem distribuição normal com média de 1000
dias e desvio padrão de 200 dias. Suponha que o termo de garantia seja de 2 anos.
(a) Qual a porcentagem de máquinas do fabricante que duram mais do que o termo de garantia?
(b) Se uma pessoa compra uma destas máquinas, qual a probabilidade de que dê defeito antes de vencer a garantia?
(c) Qual a probabilidade de a máquina durar entre 900 e 1300 dias?
10. Suponha que os tempos de vida em horas de 2 marcas de pilhas sejam variáveis aleatórias X1 e X2, onde X1 ∼
N (µ = 42, σ = 6) e X2 ∼ N (µ = 45, σ = 3).
(a) Se uma pilha deve ser usada por um perı́odo de 45 horas, qual marca deve ser preferida?
(b) E se for por um perı́odo de 49 horas?
11. Um teste de aptidão para o exercı́cio de uma certa profissão exige uma sequência de operações a serem executadas
rapidamente uma após a outra. Para passar no teste, o candidato deve completá-lo em, no máximo, 90 minutos.
Admita que o tempo, em minutos, para completar a prova seja uma variável aleatória normal com média 50 minutos
e desvio padrão 20 minutos. Que porcentagem de candidatos completarão o teste antes de 60 minutos?
12. O diâmetro (em cm) X de rolamentos de esfera fabricados por certa fábrica tem distribuição normal com média 0,6140
e desvio padrão 0,0025. O lucro T de cada esfera depende do seu diâmetro:
T = 0.10 se a esfera é boa, isto é, 0.6100 < X < 0.6180
T = 0.05 se a esfera é recuperável, isto é, 0.6080 < X < 0.6100 ou 0.6180 < X < 0.6200
T = -0, 10 se a esfera é defeituosa, isto é, X < 0.6080 ou X > 0.6200 Calcule as probabilidades de as esferas serem
boas, recuperáveis e defeituosas e avalie o lucro médio.
13. Se o tempo entre chegadas de automóveis em um lava jato tem função de distribuição acumulada dada por
F (x) =

x
 1 − e− 12 ,
se
x ≥ 0,
0,
se
x < 0.

Qual é a probabilidade de que o tempo entre chegadas de veı́culos neste lavajato seja maior que 10 minutos?
14. Se o tempo entre chegadas de clientes na fila de um caixa tem função de distribuição acumulada dada por
F (x) =

x
 1 − e− 3 ,
se
x ≥ 0,
0,
se
x < 0.

Qual é a probabilidade de que o tempo entre chegadas de clientes neste caixa seja menor do que 1 minuto?
Gabarito
As respostas foram realizadas no programa R que pode ser obtido gratuitamente em
http://cran-r.c3sl.ufpr.br/bin/windows/base/
As respostas compreendem os comandos e resultados de comandos do programa R.
1. X ∼ N(µ=5;σ=0.9)
pequeno: até x1 = 4.07 (P(X≤ x1 )=0.15)
médio: de x1 = 4.07 até x2 = 5.35 (P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = 0.65)
grande: de 5.35 até 5.93
extra: acima de 5.93
> qnorm(0.15, 5, 0.9)
[1] 4.06721
> qnorm(0.15)
[1] -1.036433
> qnorm(0.5 + 0.15, 5, 0.9)
[1] 5.346788
> qnorm(0.65)
[1] 0.3853205
> qnorm(0.2 + 0.5 + 0.15, 5, 0.9)
[1] 5.93279
2. X ∼ N(µ=1000;σ=10)
(a) P(X<990)
> pnorm(990, 1000, 10)
[1] 0.1586553
(b) P(1000-2*10 < X < 1000+2*10) = P(-2<z<2)
> pnorm(2) - pnorm(-2)
[1] 0.9544997
(c) Seja Y o numero de garrafas com liquido superior a 1002
Y ∼ b(10, p) em que p = P(X>1002)=P(Z>0,2)
> 1 - pnorm(0.2)
[1] 0.4207403
Pede-se P(Y≤4)
> pbinom(4, 10, 1 - pnorm(0.2))
[1] 0.5803194
(d) Seja G= garrafa com volume de lı́quido superior a 1005. Seja V o número de garrafas selecionada até aparecer
G.
P(G)= P(X>1005)
> 1 - pnorm(1005, 1000, 10)
[1] 0.3085375
P(V≥ 3) = 1-P(V<3)= 1- P(V≤ 2)= 1 - [P (G) + P (GG)]= 1 - (P(G)+(1-P(G))P(G))
> 1 - ((1 - pnorm(1005, 1000, 10)) + (1 - pnorm(1005, 1000, 10)) *
+
pnorm(1005, 1000, 10))
[1] 0.4781203
3. XA = tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tipo A. XA ∼ N (µ = 10, σ = 2). XB = tempo para
ocorrência de algum defeito grave nos televisores tipo B. XB ∼ N (µ = 11, σ = 3).
(a) Prob. de restituição do televisor tipo A: P (XA ≤ 6)
> pnorm(6, 10, 2)
[1] 0.02275013
Prob. de restituição do televisor tipo B: P (XB ≤ 6)
> pnorm(6, 11, 3)
[1] 0.04779035
(b) Lucro do televisor tipo A = 1200 ∗ P (XA > 6) − 2500 ∗ P (XA ≤ 6)
> -2500 * pnorm(6, 10, 2) + 1200 * (1 - pnorm(6, 10, 2))
[1] 1115.825
Lucro do televisor tipo B = 2100 ∗ P (XB > 6) − 7000 ∗ P (XB ≤ 6)
> -7000 * pnorm(6, 11, 3) + 2100 * (1 - pnorm(6, 11, 3))
[1] 1665.108
(c) Tipo B pois o lucro esperado é maior.
4. X= tempo necessário para atendimento de clientes.X ∼ N (µ = 8, σ = 2).
(a) P(X<5)
> pnorm(5, 8, 2)
[1] 0.0668072
(b) P(X>9.5)
> 1 - pnorm(9.5, 8, 2)
[1] 0.2266274
(c) P (7 ≤ X ≤ 10)
> pnorm(10, 8, 2) - pnorm(7, 8, 2)
[1] 0.5328072
(d) Obter t tal que P (X ≥ t)=0.75 ou P (X ≤ t)=0.25
> qnorm(0.25, 8, 2)
[1] 6.65102
5. X ∼ N(µ=110;σ=6)
baixo: até x1 tal que (P(X≤ x1 )=0.15)
médio: de x1 até x2 tal que (P (x1 ≤ X ≤ x2 ) = 0.85)
alto: acima de x2
x1 e x2 :
> qnorm(0.15, 110, 6)
[1] 103.7814
> qnorm(0.7 + 0.15, 110, 6)
[1] 116.2186
6. X= tempo necessário para resposta a um estı́mulo visual.X ∼ N (µ = 1, σ = 1/3).
(a) P(X<0.5)
> pnorm(0.5, 1, 1/3)
[1] 0.0668072
(b) P(X>1.5)
> 1 - pnorm(1.5, 1, 1/3)
[1] 0.0668072
(c) P (0.5 ≤ X ≤ 1.5)
> pnorm(1.5, 1, 1/3) - pnorm(0.5, 1, 1/3)
[1] 0.8663856
(d) Obter t tal que P (X ≥ t)=0.75 ou P (X ≤ t)=0.25
> qnorm(0.25, 1, 1/3)
[1] 0.7751701
7. X= QI da populacao. X ∼ N (µ = 100, σ = 15).
P(X>132)
> 1 - pnorm(132, 100, 15)
[1] 0.01644870
8. X= distribuição de renda desta população. X ∼ N (µ = 300, σ = 150).
(a) P (X ≤ 150)
> pnorm(150, 300, 150)
[1] 0.1586553
(b) Obter x tal que P (X ≤ x)=0.6
> qnorm(0.6, 300, 150)
[1] 338.0021
9. X=duração de máquinas. X ∼ N (µ = 1000, σ = 200).
(a) P(X>2*365 dias)
> 1 - pnorm(2 * 365, 1000, 200)
[1] 0.911492
(b) P (X ≤ 2 ∗ 365)
> pnorm(2 * 365, 1000, 200)
[1] 0.088508
(c) P(900<X<1300)
> pnorm(1300, 1000, 200) - pnorm(900, 1000, 200)
[1] 0.6246553
10. X1 ∼ N (µ = 42, σ = 6) e X2 ∼ N (µ = 45, σ = 3)
(a) P(X1>45) e P(X2>45)
> 1 - pnorm(45, 42, 6)
[1] 0.3085375
> 1 - pnorm(45, 45, 3)
[1] 0.5
Logo é melhor a pilha 2.
(b) P(X1>49) e P(X2>49)
> 1 - pnorm(49, 42, 6)
[1] 0.1216725
> 1 - pnorm(49, 45, 3)
[1] 0.09121122
Logo é melhor a pilha 1.
11. P (X ≤ 60) com X ∼ N (µ = 50, σ = 20)
> pnorm(60, 50, 20)
[1] 0.6914625
12. X ∼ N (µ = 0.6140, σ = 0.0025)
P(T=0.10)
> pnorm(0.618, 0.614, 0.0025) - pnorm(0.61, 0.614, 0.0025)
[1] 0.8904014
P(T=0.05)
> pnorm(0.62, 0.614, 0.0025) - pnorm(0.608, 0.614, 0.0025) - (pnorm(0.618,
+
0.614, 0.0025) - pnorm(0.61, 0.614, 0.0025))
[1] 0.09320351
P(T=-0.10)
> 1 - (pnorm(0.62, 0.614, 0.0025) - pnorm(0.608, 0.614, 0.0025))
[1] 0.01639507
Lucro médio por esfera, E(T):
> 0.1 * (pnorm(0.618, 0.614, 0.0025) - pnorm(0.61, 0.614, 0.0025)) +
+
0.05 * (pnorm(0.62, 0.614, 0.0025) - pnorm(0.608, 0.614,
+
0.0025) - (pnorm(0.618, 0.614, 0.0025) - pnorm(0.61,
+
0.614, 0.0025))) - 0.1 * (1 - (pnorm(0.62, 0.614, 0.0025) +
pnorm(0.608, 0.614, 0.0025)))
[1] 0.09206081
13. P(X>10) = 1- F(10)
> 1 - pexp(10, 1/12)
[1] 0.4345982
14. P(X<1) = F(1)
> pexp(1, 1/3)
[1] 0.2834687