Processos Estocásticos
Segunda Lista de Exercı́cios
01 de julho de 2013
1 Uma indústria fabrica peças, das quais 1⁄5 são defeituosas. Dois compradores, A e B, classificam os lotes de
peças adquiridos em categorias I e II, pagando R$ 1,20 e R$ 0,80, respectivamente, da seguinte forma:
– Comprador A: retira uma amostra de 5 peças e se encontrar mais que uma peça defeituosa, classifica
o lote como categoria II. Caso contrário, classifica como categoria I.
– Comprador B: retira uma amostra de 10 peças e se encontrar mais que duas peças defeituosas, classifica
o lote como categoria II. Caso contrário, classifica como categoria I.
a. Em média, qual comprador oferece maior lucro?
b. Se o comprador B pagasse R$ 1,30 e R$ 0,70, respectivamente, você mudaria a conclusão do item (a)?
Probabilidade de defeito: p̂ = 1/5.
X: VA discreta indicando o número de peças defeituosas na amostra.
Distribuição binomial ⇒ peça é defeituosa ou não.
Comprador A: distribuição binomial com n = 5 e p̂ = 1/5.
P (XA > 1) = 1 − P (XA = 0) − P (XA = 1)
5
1 5
5
1 4 1 =1−
· 1−
−
· 1−
·
0
5
1
5
5
4 5 4 4
=1−
−
5
5
821
= 0.26272
=
3125
Comprador B: distribuição binomial com n = 10 e p̂ = 1/5.
P (XB > 2) = 1 − P (XB = 0) − P (XB = 1) − P (XB = 2)
10
1 9 1 10
10
1 10
1 8 1 2
−
· 1−
·
−
·
=1−
· 1−
· 1−
0
5
1
5
5
2
5
5
10
9
8
4
4
4
= 1 − 10 − 10 · 10 − 45 · 10
5
5
5
3, 146, 489
≈ 0.3222
=
9, 765, 625
a. A probabilidade do comprador A classificar o lote na categoria II é menor, logo ele oferece o maior lucro.
b. Mudando os valores para k peças no lote, temos:
Lucro A = (1 − 0.2627) · k · 1.20 + 0.2627 · k · 0.8
= 0.8848 · k + 0.2102 · k
= 1.095 · k
1
Lucro B = (1 − 0.3222) · k · 1.30 + 0.3222 · k · 0.7
= 0.8811 · k + 0.2255 · k
= 1.107 · k
Logo, nesse caso o comprador B oferece maior lucro.
2 Suponha que a VA discreta X possa tomar os valores 2, 4, 6, . . . , 30 e que esses valores são igualmente
prováveis. Qual a média e a variância de X?
X = {2, 4, 6, . . . , 30} ⇒ 15 valores possı́veis.
A probabilidade de cada valor é a mesma ⇒ p(x) = P (X = x) = 1/15.
Os valores de X formam uma PA (progressão aritmética) com x1 = 2, xn = 30 e n = 15. Relembrando, o valor
da soma de uma PA é dado por
n
X
n · (x1 + xn )
.
xi =
2
i=1
Logo, o valor esperado de X é
E[X] =
n
X
xi · p(xi ) =
i=1
n
1 X
1 15 · (2 + 30)
·
xi =
·
= 16 .
15 i=1
15
2
Para calcular a variância precisamos saber o valor de E[X 2 ]:
E[X 2 ] =
n
X
i=1
(xi )2 · p(xi ) =
n
1 X
1
4960
·
(xi )2 =
· (4 + 16 + 36 + . . . + 900) =
15 i=1
15
15
.
Temos então que
V (X) = E[X 2 ] − (E[X])2 =
4960
− 256 ≈ 74.67 .
15
3 O número de carros vendidos numa loja pode ser descrito como uma VA de Poisson, onde a média é 2 nos
dias de sol e 1 nos dias chuvosos. Assumindo que há sol em 70% dos dias do ano, qual a probabilidade da
loja vender pelo menos 3 carros em um dia qualquer?
N : número de carros vendidos por dia (VA de Poisson).
Dia de sol ⇒ E[Ns ] = λs = 2
Dia de chuva ⇒ E[Nc ] = λc = 1
Buscamos o valor de P (N ≥ 3), que pode ser calculado como
P (N ≥ 3) = 0.7 · P (Ns ≥ 3) + 0.3 · P (Nc ≥ 3) ,
(1)
onde os coeficientes das probabilidades na soma acima foram obtidos a partir dos percentuais de dias de sol e
chuva. Os valores de P (Ns ≥ 3) e P (Nc ≥ 3) são calculados a seguir.
Dia de sol: λs = 2
2
P (Ns ≥ 3) = 1 − P (Ns = 0) − P (Ns = 1) − P (Ns = 2)
e−2 · 20
e−2 · 21
e−2 · 22
−
−
0!
1!
2!
= 1 − 0.1353 − 0.2706 − 0.2706
=1−
= 0.3235
.
Dia de chuva: λc = 1
P (Nc ≥ 3) = 1 − P (Nc = 0) − P (Nc = 1) − P (Nc = 2)
e−1 · 10
e−1 · 11
e−1 · 12
−
−
0!
1!
2!
= 1 − 0.3679 − 0.3679 − 0.1839
=1−
= 0.0803
.
Substituindo os valores na equação (1) temos que P (N ≥ 3) = 0.2505.
4 Lança-se um dado honesto até sair a face 6. Seja X o número de lances até a primeira ocorrência da face 6.
Calcule o valor esperado e a variância de X.
Como o dado é honesto a probabilidade de se obter qualquer uma das faces é 1⁄6. Verificamos então que X segue
uma distribuição geométrica com parâmetro p̂ = 1/6. Usando-se as fórmulas apresentadas em aula temos
E[X] =
V (X) =
1
1
= 1 =6
p̂
/6
1 − p̂
1 − 1/6
= 1 2 = 30 .
2
p̂
( /6)
5 Uma fábrica de automóveis verificou que ao testar os seus carros numa pista de prova há, em média, um
estouro de pneu a cada 300 km. Assumindo que o número de pneus estourados segue uma distribuição de
Poisson, qual a probabilidade de que:
a. Num teste de 900 km haja no máximo um pneu estourado?
b. Um carro ande 450 km na pista sem estourar nenhum pneu?
Se em média há um estouro de pneu a cada 300 km, a frequência f de estouro por kilômetro é f = 1/300.
Seja N o número de pneus estourados em n km. Então N é uma VA de Poisson com parâmetro λ = n · f .
a. Na : número de estouros em 900 km ⇒ λa = 900 · 1/300 = 3.
P (Na ≤ 1) = P (Na = 0) + P (Na = 1)
e−3 · 30
e−3 · 31
+
0!
1!
= 0.0498 + 0.1494
=
= 0.1992
3
.
b. Nb : número de estouros em 450 km ⇒ λb = 450 · 1/300 = 1.5.
e−1.5 · (1.5)0
0!
= 0.2231 .
P (Nb = 0) =
6 Em um canal de comunicação digital, a probabilidade de se receber um bit com erro é de 0.0002. Se 10,000
bits forem transmitidos por esse canal, qual a probabilidade de que mais de quatro bits sejam recebidos com
erro?
Seja X uma VA aleatória indicando o números de bits com erro transmitidos. Temos então que X é uma VA
binomial com n = 10, 000 e p̂ = 0.0002. Como n é grande e p̂ pequeno, podemos aproximar a distribuição
binomial pela de Poisson, com λ = n · p̂ = 10, 000 · 0.0002 = 2. Logo
P (X > 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 1 − F (4) = 1 − 0.9473 = 0.0527
onde o valor de F (4) é obtido da Tabela 2 (Barbetta, pág 376).
7 Suponha que 10% dos clientes que compram a crédito em uma loja deixam de pagar regularmente as
prestações. Se em um certo dia, a loja vende a crédito para 10 pessoas, qual a probabilidade de que mais de
20% delas deixem de pagar regularmente as contas?
Seja X: o número de clientes que atrasam as contas. Temos que X é uma VA binomial com p̂ = 0.1 e n = 10.
Temos também que 20% de 10 corresponde a 2 ou mais pessoas. Logo:
P (X > 2) = 1 − p(0) − p(1) − p(2)
= 1 − 0.3487 − 0.3874 − 0.1937
= 0.0702
.
8 Em uma rede de comunicação, existe uma probabilidade de 0.05 de um pacote de dados ser transmitido com
erro. Foram transmitidos 20 pacotes para se testar a confiabilidade da rede.
a. Qual é o modelo de distribuição de probabilidade mais adequado para esse caso? Por quê?
b. Calcule a probabilidade de ocorrer um erro na transmissão.
c. Calcule a probabilidade de ocorrer um erro em exatamente 2 dos 20 pacotes de dados.
d. Qual é o número esperado de erros no teste realizado?
a. O modelo de distribuição mais adequado é o binomial pois é possı́vel tomar cada transmissão de um pacote
como um ensaio de Bernoulli, onde define-se “sucesso” como ocorreu erro na transmissão. Nesse caso,
temos X como uma VA binomial com parâmetros p̂ = 0.05 e n = 20.
b.
P (X > 0) = 1 − P (X = 0)
20
=1−
· p̂0 · (1 − p̂)20−0
0
= 1 − 0.9520 = 0.6415
4
.
c.
P (X = 2) =
20
· p̂2 · (1 − p̂)20−2 = 190 · 0.052 · 0.9518 = 0.1887
2
.
d.
E[X] = n · p̂ = 20 · 0.05 = 1 erro.
9 Uma central telefônica recebe, em média, 300 chamadas por hora no perı́odo de maior demanda, e pode
processar, no máximo, 10 ligações por minuto. Utilizando a distribuição de Poisson, calcule a probabilidade
de que a capacidade da central seja excedida em um minuto qualquer do perı́odo de pico.
Seja X uma VA de Poisson indicando o número de chamadas ativas em um minuto qualquer. Se a média de
chamadas por hora é 300, como estamos usando uma distribuição de Poisson podemos considerar as chamadas
igualmente distribuı́das ao longo do tempo. Assim, sabemos que λ = 300/60 = 5 chamadas por minuto. Logo:
P (X > 10) = 1 − P (X ≤ 10) = 1 − F (10) = 1 − 0.9863 = 0.0137
.
10 Placas de circuito integrado são avaliadas após a solda dos chips. Considere que foi produzido um lote
de 20 placas, das quais 5 foram selecionadas para avaliação. Calcule a probabilidade de se encontrar pelo
menos uma placa defeituosa, supondo que o lote tenha um total de 4 peças com problema e que tenha sido
realizada:
a. uma amostragem aleatória com reposição;
b. uma amostragem aleatória sem reposição.
Seja X uma VA indicando o número de placas com defeito encontradas.
a. Como a amostragem é feita com reposição, temos que X é uma VA binomial com parâmetros n = 5 e
p̂ = 4/20 = 1/5. Logo:
P (X ≥ 1) = 1 − p(0)
5
· p̂0 · (1 − p̂)5−0
=1−
0
= 1 − (1 − p̂)5
= 1 − (1 − 1/5)5 = 0.6723
.
b. Quando não há reposição temos que a distribuição é hipergeométrica com parâmetros N = 20, n = 5 e
r = 4. Substituindo na fórmula, temos:
P (X ≥ 1) = 1 − p(0)
16
4
0 · 5
=1−
20
5
4, 368
= 0.7183
=1−
15, 504
.
11 Suponha que uma moeda é lançada três vezes e que a probabilidade de se obter cara em cada lançamento é
0.7. Seja X a VA indicando o número de caras obtidas nos lançamentos. Determine a função de probabilidade de X.
5
Temos que X é uma VA binomial com n = 3 e p̂ = 0.7. A função p é dada por:
p(0) = (0.3)3 = 0.027
p(1) = 3 · (0.3)2 · (0.7) = 0.189
p(2) = 3 · (0.3) · (0.7)2 = 0.441
p(3) = (0.7)3 = 0.343 .
12 Suponha que nós queremos gerar uma VA X de Bernoulli, onde os valores 0 e 1 são equiprováveis. Para
tal, temos à nossa disposição somente uma moeda viciada que, quando lançada, resulta em cara com uma
certa probabilidade (desconhecida) p̂. Considere o seguinte procedimento:
1. Lança-se a moeda e toma-se R1 como o resultado (tanto cara quanto coroa).
2. Lança-se a moeda novamente e toma-se R2 como o resultado.
3. Se R1 e R2 são iguais, retorna-se para o passo 1.
4. Se R2 é cara, toma-se X = 0, caso contrário, toma-se X = 1.
Mostre que a VA X gerada por esse procedimento tem a mesma chance de obter os valores 0 e 1.
Enquanto os resultados dos lançamentos forem iguais, fica-se em loop no procedimento. Basta então considerar a
primeira vez em que se obtém lados diferentes. Então:
P (X = 0) = P [(T, H)|(T, H) ou (H, T )]
=
p̂(1 − p̂)
1
=
2p̂(1 − p̂)
2
6
.